第六节多元函数的极值精选文档.ppt

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1、第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值本讲稿第一页，共四十一页实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二

2、元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出本讲稿第二页，共四十一页本讲稿第三页，共四十一页1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值本讲稿第四页，共四十一页(1)例例1 1例例例例本讲稿第五页，共四十一页2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件本讲稿第六页，共四十一页证证本讲稿第七页，共四十一页 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点一阶偏导数极值点一阶偏导数问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？

3、注意：注意：本讲稿第八页，共四十一页本讲稿第九页，共四十一页驻点驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)在在(1,0)处处A=120,B=0,C=6在在(1,0)处取得极小值处取得极小值-5在在(1,2)处处A=120,B=0,C=-6在在(1,2)处没有极值处没有极值本讲稿第十页，共四十一页在在(-3,0)处处A=-12,B=0,C=6在在(-3,0)处没有极值处没有极值在在(-3,2)处处A=-120,B=0,C=-6在在(-3,2)处取得极大值处取得极大值31本讲稿第十一页，共四十一页本讲稿第十二页，共四十一页求最值的一般方法求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所

4、有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值本讲稿第十三页，共四十一页解解如图如图,本讲稿第十四页，共四十一页本讲稿第十五页，共四十一页本讲稿第十六页，共四十一页本讲稿第十七页，共四十一页本讲稿第十八页，共四十一页三三.条件极值条件极值方法：拉格朗日乘数法方法：拉格朗日乘数法作

5、拉格朗日函数作拉格朗日函数1.求z=f(x,y)在满足约束条件 下的极值本讲稿第十九页，共四十一页本讲稿第二十页，共四十一页M(x,y,z)本讲稿第二十一页，共四十一页M(x,y,z)解解:设设M(x,y,z),则长、宽、高分别则长、宽、高分别为为2x,2y,c-z则则V=4xy(c-z)满足满足本讲稿第二十二页，共四十一页所以：长、宽、高分别为所以：长、宽、高分别为a,b,c/2时长方体体积最大时长方体体积最大本讲稿第二十三页，共四十一页本讲稿第二十四页，共四十一页本讲稿第二十五页，共四十一页本讲稿第二十六页，共四十一页多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结本讲稿第二十七页，共四十一页思考题思考题本讲稿第二十八页，共四十一页思考题解答思考题解答本讲稿第二十九页，共四十一页练练 习习 题题本讲稿第三十页，共四十一页本讲稿第三十一页，共四十一页练习题答案练习题答案本讲稿第三十二页，共四十一页