第三节矩阵的秩PPT讲稿.ppt

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1、第三节矩阵的秩第1页，共22页，编辑于2022年，星期二一、矩阵秩的概念矩阵的秩K阶子式阶子式第2页，共22页，编辑于2022年，星期二第3页，共22页，编辑于2022年，星期二定理定理2.2设矩阵设矩阵A中有一个中有一个r阶子式阶子式 ，而所有包含，而所有包含D的的 阶子式（如果存在的话）都等于阶子式（如果存在的话）都等于0，那么矩，那么矩阵阵A的秩为的秩为r，即即 推论推论2.3.4 若若A中有一个中有一个r阶子式不为阶子式不为0，则，则 推论推论2.3.5 若若A中所有的中所有的r阶子式全为阶子式全为0，则，则 第4页，共22页，编辑于2022年，星期二例例1解解第5页，共22页，编辑于

2、2022年，星期二例例2 2解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，第6页，共22页，编辑于2022年，星期二说明：说明：矩阵经初等变换而秩不变矩阵经初等变换而秩不变.用用初等变换初等变换把矩阵中的许多元素变为把矩阵中的许多元素变为0，从而直接看出矩阵，从而直接看出矩阵的秩的秩.譬如，限定只用初等行变换，即可把矩阵变为一种譬如，限定只用初等行变换，即可把矩阵变为一种称为称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，其中，其中非零行的行数非零行的行数即是矩阵的秩即是矩阵的秩.计算矩阵秩的方法计算矩阵秩的方法第7页，共22页，编辑于2022年，星期二例例3 3求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩 解：解：第8页，共22页，编

3、辑于2022年，星期二上上式式最最后后一一个个矩矩阵阵称称为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，它它具具有有下下述述特特性性：每个阶梯只有一行每个阶梯只有一行.从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩.继续施行继续施行初等行变换初等行变换，还可化为最简单的形式：，还可化为最简单的形式：由此看出由此看出第9页，共22页，编辑于2022年，星期二最后一个行阶梯形矩阵具有下述特性：最后一个行阶梯形矩阵具有下述特性：每一个非零行的第一个非零元素均为每一个非零行的第一个非零元素均为1，且含这些元素的列的，且含这些元素的列的其它元素都为其它元素都为0.这个矩阵称为矩阵这个矩阵称为矩

4、阵A A的的行最简形行最简形 矩阵矩阵A A经初等行变换可化为行阶梯形及行最简形，经初等行变换可化为行阶梯形及行最简形，若再经初等列变换，还可化为如下的最简形式：若再经初等列变换，还可化为如下的最简形式：第10页，共22页，编辑于2022年，星期二矩阵矩阵I称为称为A的的标准形标准形，其特点是：，其特点是：I的左上角是一个的左上角是一个r阶单位阵阶单位阵 其它元素都是其它元素都是0.可见若可见若 ，则则A与与B有相同的标准形有相同的标准形.第11页，共22页，编辑于2022年，星期二特别地，当特别地，当A为为n阶方阵且阶方阵且 时时,可知可知故故A的标准形为单位阵的标准形为单位阵E，即即 .因

5、此称行列式值因此称行列式值 不为零的方阵为不为零的方阵为满秩方阵满秩方阵;称行列式值为零的方阵为称行列式值为零的方阵为降秩方阵降秩方阵.下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质:1.2.3.4.若若则则第12页，共22页，编辑于2022年，星期二 例例4解解第13页，共22页，编辑于2022年，星期二第14页，共22页，编辑于2022年，星期二第15页，共22页，编辑于2022年，星期二由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知第16页，共22页，编辑于2022年，星期二第17页，共22页，编辑于2022年，星期二则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.第18页，共22页，编辑于2022年，星期二例例5 5解解分析：分析：第19页，共22页，编辑于2022年，星期二第20页，共22页，编辑于2022年，星期二第21页，共22页，编辑于2022年，星期二小小 结结矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩求法矩阵的秩求法 初等行变换或初等列变换初等行变换或初等列变换第22页，共22页，编辑于2022年，星期二