第三章力学量用算符表达PPT讲稿.ppt

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1、第三章力学量用算符表达第1页，共81页，编辑于2022年，星期二代表对波函数进行某种运算或变换的符号代表对波函数进行某种运算或变换的符号 u=v 表示表示 把函数把函数 u 变成变成 v，就是这种变就是这种变 换的算符。换的算符。1）du/dx=v，d/dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是对函数是对函数 u 微商，微商，故称为微商算符。故称为微商算符。2）x u=v，x 也是算符。也是算符。它对它对 u 作用作用 是使是使 u 变成变成 v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波是没有意义的，仅当它作用于波

2、函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：函数做相应的运算才有意义，例如：算符定义算符定义3.1 算符的运算规则算符的运算规则 第2页，共81页，编辑于2022年，星期二设波函数设波函数，求，求 解：解：例题例题 1第3页，共81页，编辑于2022年，星期二（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)=c11+c22其中其中c1,c2是任意复常数，是任意复常数，1,1是任意两个波函数。是任意两个波函数。满足如下运算规律的满足如下运算规律的 算符算符 称为线性算符称为线性算符（2 2）算符相等）算符相等 若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数对体系的任何波函数 的运算结果都相的运算结果都

3、相 同，即同，即=，则算符，则算符 和算符和算符 相等记为相等记为=。例如：例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。第4页，共81页，编辑于2022年，星期二例题例题 2指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。；解：是线性算符是线性算符第5页，共81页，编辑于2022年，星期二 不是线性算符不是线性算符 是线性算符是线性算符第6页，共81页，编辑于2022年，星期二（3 3）算符之和）算符之和

4、若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数对体系的任何波函数 有：有：(+)=+=则则+=称为算符之和。称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。-=+（-）。）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。很易证明线性算符之和仍为线性算符。第7页，共81页，编辑于2022年，星期二（4 4）算符之积）算符之积若若()=()=则则=其中其中是任意波函数。是任意波函数。一般来说算符之积不满足一般来说算符之积不满足 交换律，即交换律，即

5、 这是算符与通常数运算这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。规则的唯一不同之处。（5 5）对易关系）对易关系若若 ，则称，则称 与与 不对易。不对易。显然二者结果不相等，所以显然二者结果不相等，所以:对易对易关系关系第8页，共81页，编辑于2022年，星期二量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关系。若算符满足若算符满足=-，则称则称 和和 反对易。反对易。写成通式写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。对易，各动量之间相互对易。注意：注意：当当 与与 对易，对易，与与 对易，不能推知对易，不能推知 与与 对易与否。例如：对易

6、与否。例如：第9页，共81页，编辑于2022年，星期二（6 6）对易括号）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号：对易括号：,-这样一来，这样一来，坐标和动量的对易关系坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：不难证明对易括号满足如下对易关系：1),=-,2),+=,+,3),=,+,4),+,+,=0 上面的第四式称为上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。恒等式。第10页，共81页，编辑于2022年，星期二例题例题 3（1）第11页

7、，共81页，编辑于2022年，星期二（2）第12页，共81页，编辑于2022年，星期二角动量算符的对易关系角动量算符的对易关系证：证：第13页，共81页，编辑于2022年，星期二第14页，共81页，编辑于2022年，星期二（7 7）逆算符）逆算符1.1.定义定义:设设=,=,能够唯一的解出能够唯一的解出 ,则可定义则可定义 算符算符 之逆之逆 -1-1 为为:-1-1 =并不是所有算符都存并不是所有算符都存 在逆算符在逆算符,例如投影例如投影 算符就不存在逆算符就不存在逆.2.2.性质性质 I:I:若算符若算符 之逆之逆 -1-1 存在存在,则则 -1-1=-1-1 =I =I,-1-1=0

8、=0 证证:=:=-1-1=-1-1()=()=-1-1 因为因为是任意函数是任意函数,所以所以-1-1 =I =I成立成立.同理同理,-1-1=I =I 亦成立亦成立.3.3.性质性质 II:II:若若 ,均存在逆算符均存在逆算符,则则 ()-1-1=-1-1 -1-1第15页，共81页，编辑于2022年，星期二例如例如例如例如:设给定一函数设给定一函数 F(x),F(x),其各阶导数均存在其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛其幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符 的函数的函数 F()F()为为:（9）复共轭算符复共轭算符算符算符 的复共轭算符的复共轭算符 *就是把就是把 表达式中表达式中

9、的所有量换成复共轭的所有量换成复共轭.例如例如:坐标表象中坐标表象中（8 8）算符函数）算符函数第16页，共81页，编辑于2022年，星期二利用波函数标准条件利用波函数标准条件:当当|x|x|时时,0 0。由于由于、是是 任意波函数任意波函数,所以所以同理可证同理可证:（1010）转置算符转置算符第17页，共81页，编辑于2022年，星期二(11)(11)厄密共轭算符厄密共轭算符由此可得：由此可得：:转置算符转置算符 的定义的定义厄密共轭厄密共轭 算符亦可算符亦可 写成：写成：算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 +定义定义:可以证明可以证明:()+=+(.)+=.+第18页，共81页，编辑

10、于2022年，星期二(12)(12)厄密算符厄密算符1.定义定义:满足下列关系满足下列关系 的算符称为的算符称为 厄密算符厄密算符.2.性质性质性质性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若 +=,+=则则 (+)+=(+)性质性质 II:两个厄密算符之积一般不是厄密两个厄密算符之积一般不是厄密 算符算符,除非二算符对易。除非二算符对易。因为因为 ()+=+=仅当仅当 ,=0 成立时成立时,()+=才成立。才成立。第19页，共81页，编辑于2022年，星期二指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。例题例题 4第20页，共81页，编辑于2022年，星期二第21

11、页，共81页，编辑于2022年，星期二第22页，共81页，编辑于2022年，星期二例题例题 5证明证明 是厄米算符。是厄米算符。所以所以是厄米算符，同理是厄米算符，同理都是厄米算符都是厄米算符第23页，共81页，编辑于2022年，星期二证明：如果算符证明：如果算符和和都是厄米的，那么都是厄米的，那么也是厄米的也是厄米的+（）证：证：也是厄米的。也是厄米的。+（）例题例题 6第24页，共81页，编辑于2022年，星期二问下列算符是否是厄米算符：问下列算符是否是厄米算符：例题例题 7 解：解：因为因为 不是厄米算符。不是厄米算符。第25页，共81页，编辑于2022年，星期二 是厄米算符。是厄米算符

12、。第26页，共81页，编辑于2022年，星期二定理定理I I：体系任何状态：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为下，其厄密算符的平均值必为实数实数。证：证：逆定理：在任何状态下，平均值均逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。为实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有根据假定在任意态下有：证：证：取取=1 1+c+c2 2，其中，其中 1 1 、2 2 也是任意态的波函数，也是任意态的波函数，c c 是任意常数。是任意常数。第27页，共81页，编辑于2022年，星期二因为对任因为对任 意波函数意波函数左式左式=右式右式令令c=1，得：，得：令令c=i，得：，得：二式相加得

13、：二式相加得：二式相减得：二式相减得：所得二式正是厄密算符的定义式，所得二式正是厄密算符的定义式，故逆定理成立。故逆定理成立。实验上的可观测实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，都是实数，因此相应的算符必须因此相应的算符必须 是厄密算符。是厄密算符。所以左右两边头两项相等相消，于是有：所以左右两边头两项相等相消，于是有：第28页，共81页，编辑于2022年，星期二例1：（为实数）例2：动量算符为厄密算符例3：证明Hamilton为厄密算符综上所述综上所述：表示力学量的算符必为线性、厄密算符，但线性厄密算符不一定是力学量算符。所以明确厄米算符的基本性

14、质是讨论力学量的理论基础。所以明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。表示力学量的算符必为线性厄密算符。表示力学量的算符必为线性厄密算符。第29页，共81页，编辑于2022年，星期二力学量的算符为线性厄密算符力学量的算符为线性厄密算符 当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量的当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用，并测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用，并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数值。不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确

15、定的实进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本征值数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本征值相联系。于是提出假设：相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量可以用一个量子力学中每一个力学量可以用一个线性厄米算符来表示，状态用线性厄米算符的本征态表示。线性厄米算符来表示，状态用线性厄米算符的本征态表示。第30页，共81页，编辑于2022年，星期二（1 1）涨落）涨落因为是厄密算符因为是厄密算符必为实数必为实数因而因而也是厄密算符也是厄密算符厄密算符平方的平均值一定大于等于零厄密算符平方的平均值一定大于等于零于是有：于是有：（

16、2 2）力学量的本征方程）力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量在此状态下测量F F所得结果所得结果 是唯一确定的，即：是唯一确定的，即：则称这种则称这种 状态为力状态为力 学量学量 F F 的的 本征态。本征态。可把常数记为可把常数记为Fn，把状态，把状态 记为记为n，于是得：，于是得：其其中中F Fn n,n n 分分别别称称为为算算符符 F F的的本本征征值值和和相相应应的的本本征征态态，上上式式即即是是算算符符F F的的本本征征方方程程。求求解解时时，作作为为力力学学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。量的本征态或

17、本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。证明：证明：3.2 厄米算符的本征值与本征函数厄米算符的本征值与本征函数第31页，共81页，编辑于2022年，星期二定理定理1 1：厄密算符的本征值必为实。：厄密算符的本征值必为实。当体系处于当体系处于 F F 的本征态的本征态n n 时，则每次测量结果都是时，则每次测量结果都是 F Fn n。由由 本征方程可以看出，在本征方程可以看出，在n n（设已归一）态下（设已归一）态下证证（3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定根据上节定理根据上节定理 I测测量量力力学学量量F F时时所所有有可可能能出出现现的的值值，都都对对应应于于线线性性

18、厄厄密密算算符符 F F的的本本征征值值 F Fn n（即即测测量量值值是本征值之一），该本征值由力学量算符是本征值之一），该本征值由力学量算符 F F的本征方程给出：的本征方程给出：第32页，共81页，编辑于2022年，星期二定理定理II:厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交证：设设取复共轭，并注意到取复共轭，并注意到 F Fm m 为实。为实。两边右乘两边右乘 n 后积分后积分二式相减二式相减 得：得：若若FmFn，则必有：，则必有：证毕证毕 第33页，共81页，编辑于2022年，星期二 微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰微观体

19、系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。当体系处于力学量算符当体系处于力学量算符 的本征态时，力学量的本征态时，力学量 具有确具有确定值。这种确定的关系可以表示为：定值。这种确定的关系可以表示为：量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符的本征态量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符的本征态及本征值。但必须随时注意：及本征值。但必须随时注意：力学量算符的本征态可能不止一个。力学量算符的本征态可能不止一个。第34页，共81页，编辑于2022年，星期二 的本征值和本征函数的本征值和本征函数例例1:

20、第35页，共81页，编辑于2022年，星期二例例2:动量分量动量分量 的本征值和本征函数的本征值和本征函数若粒子位置不受限制若粒子位置不受限制,则则 可以取一切实数可以取一切实数,是连续是连续变化的变化的.是平面波是平面波,不能归一化不能归一化.第36页，共81页，编辑于2022年，星期二例例3:一维自由粒子的能量本征值和本征函数一维自由粒子的能量本征值和本征函数一维自由粒子的一维自由粒子的Hamilton量量其本征函数可以取为其本征函数可以取为:相应能量本征值为相应能量本征值为:二重简并二重简并第37页，共81页，编辑于2022年，星期二大致可分为三类：大致可分为三类：（1）连续谱连续谱本征

21、值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征值谱；征值谱；（2）带谱带谱本征值被限定在某些区域，本征值被限定在某些区域，例如固体中的能带；例如固体中的能带；（3）分立谱分立谱本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。能谱。重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或或 分立谱记为分立谱记为 。对应的本征函数分别记为。对应的本征函数分别记为 及及 。力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现。力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个

22、（如若干个（如 f 个）本征态对应一个本征值，称这种情况为个）本征态对应一个本征值，称这种情况为 f 度简并。度简并。力学量算符的本征值被称为力学量算符的本征值被称为力学量谱力学量谱或或本征值谱本征值谱第38页，共81页，编辑于2022年，星期二下列函数哪些是算符下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？的本征函数，其本征值是什么？，解：解：不是不是的本征函数。的本征函数。是是的本征函数，其对应的本征值为的本征函数，其对应的本征值为1。例题例题 8第39页，共81页，编辑于2022年，星期二试试求算符求算符的本征函数的本征函数 解：解：的本征方程为的本征方程为（的本征值）的本征值）例题例题

23、 9第40页，共81页，编辑于2022年，星期二(4)简并情况简并情况上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n是是f f度简并的，则对应度简并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：n1n1,n2 n2,.,.,nfnf 满足本征方程：满足本征方程：一般说来，这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交。并不一定正交。可可以以证证明明由由这这 f f 个个函函数数可可以以线线性性组组合合成成 f f 个个独独

24、立立的的新新函函数数，它们仍属于本征值它们仍属于本征值 F Fn n 且满足正交归一化条件。且满足正交归一化条件。但是但是证证明明由这由这 f 个个n i 线性组合成线性组合成 f 个新函数个新函数 n j可以满足正交归一化条件：可以满足正交归一化条件：证明分证明分如下两如下两步进行步进行1.1.nj nj 是本征值是本征值 F Fn n 的本征函数。的本征函数。2.满足正交归一条件的满足正交归一条件的 f 个新函数个新函数n j可以组成。可以组成。第41页，共81页，编辑于2022年，星期二1.1.njnj是本征值是本征值F Fn n的本征函数。的本征函数。2.满足正交归一条件的满足正交归一

25、条件的f个新函数个新函数nj可以组成。可以组成。方程的归一化条件有方程的归一化条件有 f f 个，正交条个，正交条 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 个，所以共有独立方个，所以共有独立方 程数为二者之和等于程数为二者之和等于 f(f+1)/2f(f+1)/2 。为此只需证明线性为此只需证明线性 叠加系数叠加系数 A Aji ji 的个的个 数数 f f 2 2 大于或等于大于或等于 正交归一条件方程正交归一条件方程 个数即可。个数即可。算符算符 F F 本征值本征值 F Fn n简并的本质简并的本质是：是：当当 F Fn n 确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定后还不能唯一的确定

26、状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，符，F F 算符与这些算符两两对易，其本征值与算符与这些算符两两对易，其本征值与 F Fn n 一起共同确定状态。一起共同确定状态。综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。都是正交归一化的，即组成正交归一系。因为因为 f f2 2-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0-f(f+1)/2=

27、f(f-1)/2 0，所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 A Aji ji 的个数，因而，我们有多的个数，因而，我们有多种可能来确定这种可能来确定这 f f 2 2 个系数使上式成立。个系数使上式成立。f f 个新函数个新函数njnj 的的确是算符确是算符 F F 对应于本征值对应于本征值 Fn Fn 的正交归一化的本征函数。的正交归一化的本征函数。第42页，共81页，编辑于2022年，星期二3.3.1 3.3.1 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导由上节讨论表明，当体系处于力学量由上节讨论表明，当体系处于力学量A A的本征态时的本征态时,若对它测量若对它测量,则可以得

28、到一个确切值则可以得到一个确切值,即相应的本征值即相应的本征值,而不会出现涨落。而不会出现涨落。在在A A的这个本征态下的这个本征态下,如去测量另一个力学量如去测量另一个力学量B,B,是否也可以是否也可以得到一个确定的值得到一个确定的值?不确定度：不确定度：测量值测量值 F Fn n 与平均值与平均值 的偏差的大小。的偏差的大小。（1 1）测不准关系的严格推导）测不准关系的严格推导证：证：3.3 共同本征函数共同本征函数第43页，共81页，编辑于2022年，星期二IIII 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：设二厄密算符对易关系为：是算符或普是算符或普通数通数第44

29、页，共81页，编辑于2022年，星期二最后有：最后有：对任意实数对任意实数 均成立均成立由代数二次式理论可知，该不等式成立由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：的条件是系数必须满足下列关系：两个不对易两个不对易算符均方偏算符均方偏差关系式差关系式测不准关系测不准关系均方偏差均方偏差其中：其中：第45页，共81页，编辑于2022年，星期二坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。另一就越大。测不准关系测不准关系:总之，若两个力学量总之，若两个力学量F和和G不

30、对易，则一般说来不对易，则一般说来 和和 不能同时为零，不能同时为零，即即F与与G不能同时测定，或者说它们不能有共同本征态，反之，若两个厄不能同时测定，或者说它们不能有共同本征态，反之，若两个厄密算符对易，则可以找出这样的态，使密算符对易，则可以找出这样的态，使 和和 ，即可找到它们，即可找到它们的共同本征态。的共同本征态。第46页，共81页，编辑于2022年，星期二（2）两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 体系处于任意状态体系处于任意状态体系处于任意状态体系处于任意状态 （x x x x）时，力学量）时，力学量）时，力学量）时，力学量 F F F F 一般没有确定值。一般没

31、有确定值。一般没有确定值。一般没有确定值。如果力学量如果力学量 F F 有确定值，有确定值，（x x）必为）必为 F F 的本征态，即的本征态，即如果有另一个力学量如果有另一个力学量 G G 在在 态中也有确定值，态中也有确定值，则则 必也是必也是 G G 的一个本征态，即的一个本征态，即结论：结论：当在当在 态中测量力学量态中测量力学量 F F 和和 G G 时，如果同时具有确定值，那么时，如果同时具有确定值，那么 必必是是 二力学量共同本征函数。二力学量共同本征函数。第47页，共81页，编辑于2022年，星期二思考题：思考题：1、若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时、若两个厄米算符

32、对易，是否在所有态下它们都同时 具有确定值？具有确定值？2、若两个厄米算符不对易，是否一定都没有共同本征态？、若两个厄米算符不对易，是否一定都没有共同本征态？3、若两个厄米算符有共同本征态，是否它们就彼此对易？、若两个厄米算符有共同本征态，是否它们就彼此对易？第48页，共81页，编辑于2022年，星期二 两算符对易的物理含义所以所以？是特定函数，是特定函数，非任意非任意函数也！函数也！例如：例如：l =0=0 的态，的态，Y Y m m=Y=Y0000 L Lx x L Lz z 同时有确定值。同时有确定值。但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是但是，如果两个力学量的共同本征函数不止

33、一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。考察前面二式：考察前面二式：第49页，共81页，编辑于2022年，星期二定理：若两个力学量算符有一组共同完备定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征的本征函数系，则二算符对易。函数系，则二算符对易。证：证：由于由于 n n 组成完备系，所以组成完备系，所以任意态函数任意态函数 (x)(x)可以按其可以按其展开：展开：则则因为因为 (x)(x)是是任意函数任意函数第50页，共81页，编辑于2022年，星期二逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成

34、完备系的共同的本征函数。有组成完备系的共同的本征函数。证：证：考察：考察：n n 也是也是 G G 的本征函数，同理的本征函数，同理 F F 的所有本征函数的所有本征函数 n n （n=1n=1，2 2，)也都是也都是 G G 的本的本征函数征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系因此二算符具有共同完备的本征函数系.仅考虑非简并情况仅考虑非简并情况即：即：与与 n n 只差一只差一常数常数 G Gn n第51页，共81页，编辑于2022年，星期二定理：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。充要条件是这组算符两两对易。例例

35、 1 1：例例 2 2：第52页，共81页，编辑于2022年，星期二3.3.2 的共同本征态的共同本征态,球谐函数球谐函数由于角动量的三个分量不对易由于角动量的三个分量不对易,一般无共同本征态一般无共同本征态,但由于但由于 因此可以找出因此可以找出 与与 任何一个分量的共同本征态任何一个分量的共同本征态.采用球坐标采用球坐标:第53页，共81页，编辑于2022年，星期二由于由于的本征函数可以同时也取为的本征函数可以同时也取为 的本征态的本征态此时此时 的本征函数已分离变量的本征函数已分离变量,即令即令带入本征方程带入本征方程是是 的本征值的本征值,无量纲无量纲,待定待定第54页，共81页，编辑

36、于2022年，星期二令令 ,则则连带Legendre方程其解其解:当当 有一个多项式解有一个多项式解本征方程：本征方程：利用正交归一性公式，可以定义一个归一化的利用正交归一性公式，可以定义一个归一化的部分的波函数（部分的波函数（实实）：）：第55页，共81页，编辑于2022年，星期二这样这样,的正交归一的共同本征函数表示为的正交归一的共同本征函数表示为:称为球谐函数称为球谐函数,它们满足它们满足:对应一个对应一个 值，值，m m 取值为取值为 0,1,2,3,.,0,1,2,3,.,共共 (2(2 +1)+1)个值。因此当个值。因此当 确确定后，尚有定后，尚有(2(2 +1)+1)个磁量子状态

37、不确定。个磁量子状态不确定。换言之，对应一个换言之，对应一个 值有值有(2(2 +1)+1)个量子状态，这种现象称为简并，个量子状态，这种现象称为简并，的简并度是的简并度是 (2(2 +1)+1)度。度。由于量子数由于量子数 表征了角动量的大小，表征了角动量的大小，所以称为角量子数；所以称为角量子数；m m 称为磁量子数。称为磁量子数。的本征值为：的本征值为：的本征值为：的本征值为：第56页，共81页，编辑于2022年，星期二由角动量对易关系：由角动量对易关系：代入平均值公式：代入平均值公式：同理：同理：证明在证明在 L LZ Z 本征态本征态 Y Ylm lm 下，下，L=0=0例题例题 1

38、0第57页，共81页，编辑于2022年，星期二利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylm lm 下，下，L Lx x=L Ly y=0=0证：证：由于在由于在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylm lm 中，测量力学量中，测量力学量 L Lz z 有确定值，有确定值，所以所以L Lz z 均方偏差必为零，即均方偏差必为零，即则测不准关系：则测不准关系：平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，必有：欲保证不等式成立，必有：同理：同理：例题例题 11第58页，共81页，编辑于2022年，星期二 3.3.3 3.3.3力学量完全集合力学量

39、完全集合（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为算符的最小（数目）集合称为对易力学量完全集对易力学量完全集(CSCO(CSCO）定义：定义：设有一组彼此对易而又相互独立的力学量算符设有一组彼此对易而又相互独立的力学量算符(1,2,.)，如果它们的共同的本征函数是非简并的，它们的共同本征函数记为如果它们的共同的本征函数是非简并的，它们的共同本征函数记为 k，k是一组量子数的笼统记号。设给定是一组量子数的笼统记号。设给定k之后即给定这组本征之后即给定这组本征值就能够确定体系的一个可能状态，则称这组力学量值

40、就能够确定体系的一个可能状态，则称这组力学量(1,2,.)构成体系的对易力学量完全集。构成体系的对易力学量完全集。第59页，共81页，编辑于2022年，星期二例例 1 1：三维空间中自由粒子，完全确定其状三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：态需要三个两两对易的力学量：例例 2 2：氢原子，完全确定其状态也需要三个氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：两两对易的力学量：例例 3 3：一维谐振子，只需要一个力学量就可一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：完全确定其状态：（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相）力学量完全集中力学量的数目

41、一般与体系自由度数相同。同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。第60页，共81页，编辑于2022年，星期二小结：两个力学量同时有确定值的条件小结：两个力学量同时有确定值的条件 体系恰好处在其共同本征态上。体系恰好处在其共同本征态上。例例：动量算符：动量算符：两两对易，两两对易，共同完备本征函数系：共同完备本征函数系：本征态下有确定值：本征态下有确定值：第61页，共81页，编辑于2022年，星期二体系的任何态总可以用

42、包含体系的任何态总可以用包含在内的一组力学量完全集在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开。的共同本征态来展开。第62页，共81页，编辑于2022年，星期二已知空间转子处于如下状态已知空间转子处于如下状态试问：试问：（1 1）是否是是否是 L L2 2 的本征态？的本征态？（2 2）是否是是否是 L Lz z 的本征态？的本征态？（3 3）求）求 L L2 2 的平均值；的平均值；（4 4）在）在 态中分别测量态中分别测量 L L2 2 和和 L Lz z 时得到的可能值及时得到的可能值及其相应的其相应的几率。几率。解：解：没有确定的没有确定的 L L2 2 的本征值，故的本征值，故 不是不是

43、 L L2 2 的本征态。的本征态。例题例题 11第63页，共81页，编辑于2022年，星期二是是 L Lz z 的本征态，本征值为的本征态，本征值为 。（3 3）求）求 L L2 2 的平均值的平均值方法方法 I I验证归一化：验证归一化：第64页，共81页，编辑于2022年，星期二归一化波函数方法方法 IIII（4 4）第65页，共81页，编辑于2022年，星期二例题例题 12第66页，共81页，编辑于2022年，星期二第67页，共81页，编辑于2022年，星期二第68页，共81页，编辑于2022年，星期二第69页，共81页，编辑于2022年，星期二例题例题 13第70页，共81页，编辑于

44、2022年，星期二例题例题 14第71页，共81页，编辑于2022年，星期二例题例题 15第72页，共81页，编辑于2022年，星期二第73页，共81页，编辑于2022年，星期二总总 结结第74页，共81页，编辑于2022年，星期二（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)=c11+c22一、算符的运算法则一、算符的运算法则（2 2）算符之和）算符之和 (+)=+（3 3）算符之积）算符之积()=()第75页，共81页，编辑于2022年，星期二（3 3）对易关系）对易关系若若 ，则称，则称 与与 不对易。不对易。对易括号：对易括号：,-量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关

45、系。第76页，共81页，编辑于2022年，星期二（4 4）复共轭算符）复共轭算符算符算符 的复共轭算符的复共轭算符*就是把就是把 表达式中表达式中的所有量换成复共轭的所有量换成复共轭.（5 5）转置算符）转置算符（6 6）厄密共轭算符）厄密共轭算符厄密算符：厄密算符：第77页，共81页，编辑于2022年，星期二性质性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若 +=,+=则则 (+)+=(+)性质性质 II:两个厄密算符之积一般不是厄密两个厄密算符之积一般不是厄密 算符算符,除非二算符对易。除非二算符对易。因为因为 ()+=+=仅当仅当 ,=0 成立时成立时,(

46、)+=才成立。才成立。定理定理I I：体系任何状态：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数下，其厄密算符的平均值必为实数。逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。表示力学量的算符必为线性厄密算符。表示力学量的算符必为线性厄密算符。第78页，共81页，编辑于2022年，星期二二、厄密算符的本征值与本征函数二、厄密算符的本征值与本征函数定理定理1 1：厄密算符的本征值必为实。：厄密算符的本征值必为实。定理定理II:厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交凡是提到厄密算符的本征函数时，

47、都是凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化正交归一化的，即组成正交归一系。的，即组成正交归一系。第79页，共81页，编辑于2022年，星期二三、共同本征函数三、共同本征函数两个不对易算符两个不对易算符均方偏差关系式均方偏差关系式测不准关系测不准关系 若两个力学量若两个力学量F和和G不对易，则一般说来不对易，则一般说来 和和 不能同时为零，不能同时为零，即即F与与G不能同时测定，或者说它们不能有共同本征态，反之，若两个厄不能同时测定，或者说它们不能有共同本征态，反之，若两个厄密算符对易，则可以找出这样的态，使密算符对易，则可以找出这样的态，使 和和 ，即可找到它们，即可找到它们的的共同本征态共同本征态。定理：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这充要条件是这组算符两两对易组算符两两对易。第80页，共81页，编辑于2022年，星期二 的共同本征态的共同本征态,球谐函数球谐函数正交归一的共同本征函数表示为正交归一的共同本征函数表示为:称为球谐函数称为球谐函数,它们满足它们满足:的本征值为：的本征值为：的本征值为：的本征值为：第81页，共81页，编辑于2022年，星期二