相似矩阵-华南农业大学精品课程申报.ppt

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1、相似矩阵相似矩阵 设设 A和和B为为 n 阶矩阵。如果存在阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，使得使得 ，则称，则称A相似于相似于B，或说，或说A和和B相似相似。基本性质基本性质（1）反身性反身性 A相似于相似于A。（2）对称性对称性 A相似于相似于B，则，则B相似于相似于A。（3）传递性传递性 A相似于相似于B，B相似于相似于C，则，则A相似于相似于C。定定 义义相似矩阵的性质相似矩阵的性质若若A和和B相似，则（相似，则（1）（2）证明（证明（1）（2）（3）（4）证明证明证明证明（特征多项式相同）（特征多项式相同）（有相等的迹）（有相等的迹）推论推论如果如果n阶方阵阶方阵A相似于对

2、角形矩阵相似于对角形矩阵则则 是是A的全部特征值。的全部特征值。一般方阵的对角化一般方阵的对角化 定理定理 n 阶矩阵阶矩阵A能相似于对角矩阵的充分必能相似于对角矩阵的充分必要条件是要条件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量。充分性充分性设方阵设方阵A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 对应的特征值分别为对应的特征值分别为 ，则，则必要性必要性设设A相似于对角矩阵相似于对角矩阵即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵B，使得使得由由B可逆便知：可逆便知：都是非零向量，因而都是都是非零向量，因而都是A的特征向量，且的特征向量，且 线性无关。线性无关。推论推论 如果如果n阶方阵阶方阵

3、A有有n个不同的特征值个不同的特征值 则则方阵方阵A相似于对角矩阵相似于对角矩阵例例 用相似变换化矩阵为对角形用相似变换化矩阵为对角形解解A的特征方程为的特征方程为得特征值为得特征值为对于对于可可求得特征向量求得特征向量对于对于可可求得线性无关的特征向量求得线性无关的特征向量令令则则且且利用对角化计算矩阵的乘幂利用对角化计算矩阵的乘幂例例设设解解 A的特征方程为的特征方程为特征值为特征值为对应的特征向量为对应的特征向量为对应的特征向量为对应的特征向量为解齐次方程组解齐次方程组解方程组解方程组令令则有则有因此因此定理定理设设A是是n阶阶对称矩阵，则必有正交矩阵对称矩阵，则必有正交矩阵P,P,使得

4、使得其中其中是以是以A的的n个个特征值为特征值为对角元素对角元素的对角矩阵，的对角矩阵，正交矩阵正交矩阵P P的列向量的列向量是是A A的特征值所顺次对应的单位正交特征向的特征值所顺次对应的单位正交特征向量量。对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化例例用正交变换把下列对称矩阵对角化用正交变换把下列对称矩阵对角化解解（）求方阵的特征值（）求方阵的特征值由由得特征值得特征值（）求特征向量（）求特征向量对于对于对于对于解方程组解方程组得一个基础解系得一个基础解系解方程组解方程组得一个基础解系得一个基础解系（）将特征向量组正交化、单位化（）将特征向量组正交化、单位化令令正交化正交化单位化单位化（）构造矩阵，写出相应的对角形矩阵（）构造矩阵，写出相应的对角形矩阵令令则有则有用正交变换把下列对称矩阵对角化