第六章结构位移计算与虚功能量法简述精选文档.ppt

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1、第六章结构位移计算与虚功能量法简述本讲稿第一页，共五十七页6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移n结构位移计算概述 n虚功原理的另一种应用形式-虚力原理n支座移动时静定结构的位移计算本讲稿第二页，共五十七页结构位移计算概述n位移的概念：结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。n结构的位移通常有两种：截面的移动-线位移；截面的转动-角位移。本讲稿第三页，共五十七页结构位移计算概述n结构位移计算的目的：(1)验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。(2)为超静定

2、结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构的一个组成部分。n产生位移的原因：(1)荷载作用；(2)温度变化和材料胀缩；(3)支座的沉降和制造误差。本讲稿第四页，共五十七页虚功原理的另一种应用形式-虚力原理 虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。例.如图6-3所示的静定梁，支座A向上移动一个已知距离C1，求B点的竖向位移。解：在拟求位移的方向设置单位荷载，这个单位荷载与相应的支座反力组成一个虚设的平衡力系。根据平衡条件，可求出支座A的反力 -b/a本讲稿第五页，共五十七页虚功原理

3、的另一种应用形式-虚力原理 虚设平衡力系在图63a中的实际刚体位移上做虚功，得虚功方程如下：结论：在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出虚力方程进行求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。由于 故得：本讲稿第六页，共五十七页支座移动时静定结构的位移计算在图61中，支座A有给定的竖向向上的位移CA,拟求：（1）C点的竖向位移（2）杆CD的转角解：（1）求C点得竖向位移时，应在C点加一个单位竖向荷 载（图64a）（2）求杆CD得转角时，应在杆CD上加一个单位力偶荷载 （图64b），因为力偶作得功等于力偶矩与转角得乘积。本讲稿第七页，共五十

4、七页支座移动时静定结构的位移计算 得出虚功方程如下：解上述方程得：求得的位移都是正值，表明位移得实际方向与所设单位荷载方向一致。本讲稿第八页，共五十七页6-2 结构位移计算的一般公式 n局部变形时静定结构的位移计算举例n局部变形时的位移公式n结构位移计算的一般公式n位移计算的一般步骤n广义位移和虚设状态本讲稿第九页，共五十七页局部变形时静定结构的位移计算举例例61 图65a所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角 。求A点的竖向位移解：图65a中的实际位移状态改用图65b来表示。在B处加铰，把实际位移状态明确的表示为刚体体系的位移状态。虚设力系如图65c所示，在A点沿拟求位移方向虚设单位荷载，在

5、铰B处还必须虚设一对弯矩 。本讲稿第十页，共五十七页局部变形时静定结构的位移计算举例根据平衡条件可求出 的数值：图65c中的平衡力系在图65b中的实际位移上作功，得虚功方程如下：解得：本讲稿第十一页，共五十七页局部变形时静定结构的位移计算举例例62 图66a中，截面B有相对剪切位移 ，试求A点与杆轴成 角的斜向位移分量 。解：如图66b所示，将截面B切开，加上两根平行杆轴的链杆，使能产生相对剪切位移，但不能产生相对轴向位移，从而把实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态本讲稿第十二页，共五十七页局部变形时静定结构的位移计算举例在拟求位移的方向虚设单位荷载。为保证刚体平衡，在截面B的两侧设一对

6、剪力Q，其数值可根据平衡条件求出：图66c中的平衡力系在图66b中的实际位移上作功，得虚功方程：解得：本讲稿第十三页，共五十七页局部变形时的位移公式图67所示为局部变形问题的一个典型情况。悬臂梁除B点附近有微段ds有局部变形外，结构其它部分没有变形。微段的局部变形包括三部分：轴线伸长应变为平均剪切应变为轴线曲率为图67本讲稿第十四页，共五十七页局部变形时的位移公式微段两端截面的三种相对位移（图67b）：相对轴向位移，相对剪切位移，相对转角位移，应用刚体体系虚功原理，根据截面B的相对位移，分别求出A点的位移 。并将结果进行叠加，得局部变形位移公式：本讲稿第十五页，共五十七页结构位移计算的一般公式

7、这里的积分号表示沿杆件长度积分，总和号表示对结构中各杆求和。其中最后一项表示给定支座位移Ck的影响。结构位移计算的一般公式还可用变形体的虚功原理导出：由外虚功内虚功，即：得：一般公式本讲稿第十六页，共五十七页结构位移计算的一般步骤 求结构在某一点沿某一方向的位移，其计算步骤为：(1)虚设一单位荷载状态，在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷载，注意单位荷载应与所求位移相一致。(2)在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构的内力和支反力。(3)利用结构位移计算的一般公式求出相应的位移，计算出的结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反。本讲稿第十七页

8、，共五十七页广义位移的计算 本章所讨论的位移可以引申为广义位移：它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载应与广义位移相一致。如下表所示：广义位移和广义单位荷载示例 本讲稿第十八页，共五十七页广义位移的计算 广义位移和广义单位荷载示例 本讲稿第十九页，共五十七页6-3 荷载作用下的位移计算 n计算步骤n各类结构的位移公式 n截面平均切应变 和系数k 本讲稿第二十页，共五十七页计算步骤计算荷载作用下的位移时，可按下列顺序求出：荷载内力应力应变，下为静定结构的弹性位移的具

9、体计算步骤：（1）根据荷载情况，求出结构各截面的内力；（2）根据内力，求出相应的弯曲、拉伸、剪切应变：（3）将上述应变代入静定结构位移计算的一般公式，可得：本讲稿第二十一页，共五十七页各类结构的位移公式(1)梁和刚架 由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为(2)桁架 桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为 本讲稿第二十二页，共五十七页各类结构的位移公式(3)组合结构桁梁混合结构中，一些杆件以弯曲为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为(4)拱 对于拱结构，当压力线与拱轴线相近时，应考虑弯曲变形和轴向变形，即 本讲稿第二十三页，共五十七页截

10、面平均切应变 和系数k 根据截面切应变的分布函数 ，应用虚功原理推得截面平均切应变为：根据荷载引起的剪力求出切应变，代入上式可进一步推倒出截面形状系数k的公式，根据不同的截面形状，系数k可做如下取值：矩形 6/5圆形 10/9薄壁圆环形 2工字形或箱形 A/A(腹板)本讲稿第二十四页，共五十七页6-4荷载作用下的位移计算举例n梁的位移计算n桁架的位移计算n曲杆的位移计算本讲稿第二十五页，共五十七页梁的位移计算例63 求图示悬臂梁A端的竖向位移 ，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形。解：先求实际荷载（610a）作用下的内力，再求虚设单位荷载（610b）作用下的内力，取A点为坐

11、标原点，任意截面x的内力为:本讲稿第二十六页，共五十七页梁位移计算实际荷载 虚设单位荷载弯曲变形引起的位移为本讲稿第二十七页，共五十七页梁位移计算剪切变形引起的位移为（对矩形截面，k1.2）由于梁的轴力为零，故总位移为比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。二者的比值为本讲稿第二十八页，共五十七页梁位移计算设横向变形系数u=1/3，E/G=2(1+u)=8/3，对于矩形截面，I/A=/12(h为截面高度)，代入上式，得：当梁的高跨比h/l是1/10时，则 1.07，剪力影响约为弯矩影响的百分之一，故对于一般的梁可以忽略剪切变形对位移的影响。但是，当高跨比增大为0.5时，上式的比值增大为0.25，因

12、此，对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。本讲稿第二十九页，共五十七页桁架的位移计算例64 图611a为一屋架，屋架的上弦杆和其它压杆采用钢筋混凝土杆，下弦杆和其它拉杆采用钢杆。计算简图如611b所示。设屋架承受均布荷载q作用。试求顶点C的位移。解（1）求Np先将均布荷载q化为节点荷载Fql/4。求节点荷载作用下的Np。为了简便计算，节点荷载取为单位值（图612），图中给出的内力数值乘以F后，即为轴力Np。本讲稿第三十页，共五十七页桁架的位移计算（2）求 在C点虚设单位竖向荷载，相应的轴力 如图613所示。图612图613本讲稿第三十一页，共五十七页桁架的位移计算杆件FNP(kN)l(cm)

13、A(cm2)材料AD-4.74F0.263lA1钢筋混凝土1。581。97DC-4.42F0.263lA11。581。84/DE-0.95F0.088l0.75A100/CE1.50F0.278lA2钢筋00AE4.50F0.278l3A21。500.63/EG3.00F0.222l2A21。500.5/合计1.13（3）求 根据桁架位移公式，得具体计算过程见表63。由于对称性，计算总和时，在表中只计算了半个桁架，杆EG的长度只取一半。本讲稿第三十二页，共五十七页桁架的位移计算上表中 是上弦杆的截面面积：1824432。表中的 是 22钢筋的截面面积，等于3.8。根据表中的结果，即得：设原始数

14、据给定如下（跨度L12m）：荷载混凝土钢筋代入上式可得：本讲稿第三十三页，共五十七页曲杆的位移计算例65 图614a所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧AB的圆心角为 ，半径为R。设均布竖向荷载q沿水平线作用。试求B点的竖向位移。本讲稿第三十四页，共五十七页曲杆的位移计算解：求B点的竖向位移时，在B点加单位竖向荷载（164b）。分别求实际荷载和单位荷载作用下的内力。取B点作坐标原点，任一点的坐标为（x，y）。实际荷载虚设荷载位移公式为:本讲稿第三十五页，共五十七页曲杆的位移计算用 分别表示 所引起的位移，得：用 作变数，则代入上式并积分得：本讲稿第三十六页，共五十七页曲杆的位移计算如

15、果 ，则本讲稿第三十七页，共五十七页6-5 图乘法 n图乘法及其应用条件n几种常见图形的面积和形心位置n应用图乘法时的几个具体问题本讲稿第三十八页，共五十七页图乘法及其应用条件 根据计算梁和刚架位移的公式：为避免微分运算，以下介绍一种计算方法-图乘法。下图为某直杆段 AB 的两个弯矩图，其中有一个图形为直线(Mi 图),如果抗弯刚度 EI 为常数，则可进行以下计算：本讲稿第三十九页，共五十七页图乘法及应用条件上式中y0是在MK图形心C对应处的Mi图标距，A是MK图的面积，因此：位移计算的问题转化为求图形的面积、形心和标距的问题。本讲稿第四十页，共五十七页图乘法及应用条件应用图乘法应注意两点：1

16、.应用条件：杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距 y0 应取自直线图形中。2.正负号规定：面积 A 与标距 y0 在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。本讲稿第四十一页，共五十七页几种常见图形的面积和形心位置 三角形二次抛物线本讲稿第四十二页，共五十七页常见图形的面积和形心二次抛物线二次抛物线本讲稿第四十三页，共五十七页常见图形的面积和形心三次抛物线n 次抛物线本讲稿第四十四页，共五十七页应用图乘法时的几个具体问题(1)如果两个图形都是直线图形,则标距可任取自其中一个图形。(2)(2)如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。(3)则计算结果应为：本讲稿第四十五页，共

17、五十七页应用图乘法时的几个具体问题(3)如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。如图，两个图形均为梯形，将梯形分为两个三角形再进行图乘。因此：本讲稿第四十六页，共五十七页应用图乘法时的几个具体问题本讲稿第四十七页，共五十七页应用图乘法时的几个具体问题例69 试求出下图所示刚架结点B 的水平位移,EI 为常数。解:作实际状态和单位荷载的弯矩图 本讲稿第四十八页，共五十七页应用图乘法时的几个具体问题本讲稿第四十九页，共五十七页6-6 温度作用时的位移计算 对于静定结构温度变化时，材料发生伸缩变形，结构因而产生位移。位移的计算仍然应用虚功原理。下图所示位移刚架结构，杆件

18、的上边缘温度上升t1，下边缘上升t2，沿截面高度h是按直线变化的，变形后截面仍将保持为平面。本讲稿第五十页，共五十七页6-6 温度改变时的位移计算轴线处温度的升高为：轴向应变和曲率分别为：应用虚功原理可得:当温度、杆的高度沿每一根杆件的全长为常数时，可得:本讲稿第五十一页，共五十七页6-6 温度作用时的位移计算 例613 试求图示刚架C点的竖向位移。梁下侧和柱右侧温度升高10摄氏度，梁上侧和柱左侧温度无改变。各杆截面为矩形，截面高度h60cm，a6m，0.00001。解：在C点加单位竖向荷载，作相应得内力图（628b、c）。本讲稿第五十二页，共五十七页6-6 温度作用时的位移计算 杆轴线处的温

19、度升高值为：上下（左右）边缘温差为：代入式（628b），得代入 0.00001，a=600cm，h=60cm，得：=-0.93cm()本讲稿第五十三页，共五十七页6-7 互等定理 n功的互等定理 n位移互等定理 n反力互等定理 本讲稿第五十四页，共五十七页功的互等定理对两种状态应用虚功原理：外虚功有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态，位移也有两个下标，第一个表示位移的位置，第二个表示引起位移的力状态。功的互等定理：第一状态外力在第二状态位移上所做的功等于第二状态外力在第一状态位移上所做的功。本讲稿第五十五页，共五十七页位移互等定理 两种状态，由功的互等定理可得当两个作用荷载都等于一时，此时的位移记作12和21。这就是位移互等定理本讲稿第五十六页，共五十七页反力互等定理 如图同一线性变形的两种状态。应用功的互等定理可得：进一步有 上式实际上就是反力互等定理:在任一线性变形体中,由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21,等于由位移C2所应起的与位移C1相应的反力影响系数r12。本讲稿第五十七页，共五十七页