一阶微分方程PPT课件.ppt

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1、关于一阶微分方程关于一阶微分方程第一张，PPT共八十八页，创作于2022年6月一、可分离变量方程一、可分离变量方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法第二张，PPT共八十八页，创作于2022年6月例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分典型例题典型例题第三张，PPT共八十八页，创作于2022年6月通解为通解为解解第四张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解由题设条件由题设条件衰变规律第五张，PPT共八十八页，创作于2022年6月例例 4 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器,水从它的底部小孔流水从

2、它的底部小孔流出出,小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图).开始时容器内盛开始时容器内盛满了水满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时间随时间t的变化规律的变化规律.解解由力学知识得由力学知识得,水从孔口流出水从孔口流出的流量为的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度第六张，PPT共八十八页，创作于2022年6月设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,比较比较(1)和和(2)得得:第七张，PPT共八十八页，创作于2022

3、年6月即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为所求规律为第八张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻

4、时刻 的含量为的含量为在在 内内,的通入量的通入量的排出量的排出量第九张，PPT共八十八页，创作于2022年6月的通入量的通入量的排出量的排出量的改变量的改变量6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到第十张，PPT共八十八页，创作于2022年6月二、齐次方程二、齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程1.1.定义定义第十一张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第十二张，PPT共八十八页，创作于2022年6月例例 6 6 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解第十三张，PPT共八

5、十八页，创作于2022年6月例例 7 7 求解微分方程求解微分方程解解第十四张，PPT共八十八页，创作于2022年6月微分方程的解为微分方程的解为第十五张，PPT共八十八页，创作于2022年6月例例 8 8 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例:车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图第十六张，PPT共八十八页，创作于2022年6月得微分方程得微分方程由夹由夹角正角正切公切公式得式得第十七张，PPT共八十八页，创作于2022年6月分离变量分离变量积分得积分得第十八张，PPT共八十八页，创作于2022年6月平方化简得平方化简得抛物线第十九张，PPT共八十八页，创作于20

6、22年6月可化为齐次的方程可化为齐次的方程为齐次方程为齐次方程.（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程.2.解法解法1.1.定义定义第二十张，PPT共八十八页，创作于2022年6月有唯一一组解有唯一一组解.得通解代回得通解代回未必有解未必有解,上述方法不能用上述方法不能用.第二十一张，PPT共八十八页，创作于2022年6月可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量可分离变量.第二十二张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解代入原方程得代入原方程得第二十三张，PPT共八十八页，创作于2022年6月

7、分离变量法得分离变量法得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为第二十四张，PPT共八十八页，创作于2022年6月利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为第二十五张，PPT共八十八页，创作于2022年6月一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.三三、一阶线性方程一阶线性方程第二十六张，PPT共八十八页，创作于2022年6月齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶

8、线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)第二十七张，PPT共八十八页，创作于2022年6月2.线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:第二十八张，PPT共八十八页，创作于2022年6月常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换第二十九张，PPT共八十八页，创作于2022年6月积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方

9、程通解非齐次方程特解非齐次方程特解第三十张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解例例1010第三十一张，PPT共八十八页，创作于2022年6月例例1111 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程第三十二张，PPT共八十八页，创作于2022年6月所求曲线为所求曲线为第三十三张，PPT共八十八页，创作于2022年6月伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式方程为方程为线性微分方程线性微分方

10、程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.伯努利方程伯努利方程解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.第三十四张，PPT共八十八页，创作于2022年6月求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得代入上式代入上式第三十五张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解例例 12第三十六张，PPT共八十八页，创作于2022年6月例例1313 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:解解所求通解为所求通解为第三十七张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为第三十八张，PPT共八十八页，创作于2

11、022年6月解解代入原式代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为另解另解第三十九张，PPT共八十八页，创作于2022年6月四、全微分方程四、全微分方程1.1.定义定义:则则若有全微分形式若有全微分形式例如例如全微分方程或恰当方程所以是全微分方程所以是全微分方程.第四十张，PPT共八十八页，创作于2022年6月2.2.解法解法:应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.通解为通解为 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程第四十一张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解是全微分方程是全微分方程,原方程的通解为原方程的通解为例例1414第四十二张，PPT

12、共八十八页，创作于2022年6月解解是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为例例15第四十三张，PPT共八十八页，创作于2022年6月积分因子法积分因子法定义定义:问题问题:如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?第四十四张，PPT共八十八页，创作于2022年6月1.1.公式法公式法:求解不容易求解不容易特殊地特殊地:第四十五张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第四十六张，PPT共八十八页，创作于2022年6月2.2.观察法观察法:凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到常见的全微分表达式常见的全微分表达式第四十七张，PPT共八十八页，创作于2022年

13、6月可选用的积分因子有可选用的积分因子有解解例例16则原方程为则原方程为第四十八张，PPT共八十八页，创作于2022年6月原方程的通解为原方程的通解为(公式法公式法)可积组合法第四十九张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例17 求微分方程求微分方程原方程的通解为原方程的通解为第五十张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有原方程的通解为原方程的通解为可积组合法例例18 求微分方程求微分方程第五十一张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解1整理得整理得A A 常数变易法常数变易法:B B 公

14、式法公式法:例例19第五十二张，PPT共八十八页，创作于2022年6月解解2 2整理得整理得A A 用曲线积分用曲线积分法法:B B 凑微分法凑微分法:第五十三张，PPT共八十八页，创作于2022年6月C C 不定积分不定积分法法:原方程的通解为原方程的通解为第五十四张，PPT共八十八页，创作于2022年6月五、一阶方程的近似解法五、一阶方程的近似解法定义定义1第五十五张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第五十六张，PPT共八十八页，创作于2022年6月定义定义2等斜线的方程为等斜线的方程为在这条等斜线上的各点处在这条等斜线上的各点处方向场画法方向场画法第五十七张，PPT共八十八页，创作

15、于2022年6月例例2020画出方程画出方程所确定的方向所确定的方向解解方程的等斜线为方程的等斜线为画出五条等斜线画出五条等斜线,场示意图场示意图.第五十八张，PPT共八十八页，创作于2022年6月定义定义3如图，如图，的三条积分曲线的三条积分曲线经过点经过点根据方向场即可大致描绘根据方向场即可大致描绘出积分曲线出积分曲线第五十九张，PPT共八十八页，创作于2022年6月欧拉欧拉-柯西近似法柯西近似法问题问题:方法：方法：近似积分法近似积分法欧拉欧拉柯西近似法柯西近似法一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的充分一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的充分条件如下定理：条件如下定理：第六十张，PPT共

16、八十八页，创作于2022年6月注意注意第六十一张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第六十二张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第六十三张，PPT共八十八页，创作于2022年6月如此一段接一段地如此一段接一段地作下去，得一条折线，作下去，得一条折线，称欧拉折线称欧拉折线第六十四张，PPT共八十八页，创作于2022年6月注意注意初值问题的近似解第六十五张，PPT共八十八页，创作于2022年6月例例2121解解列表计算如下列表计算如下第六十六张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第六十七张，PPT共八十八页，创作于2022年6月分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.

17、两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.六、小结六、小结齐次方程齐次方程齐次方程的解法齐次方程的解法可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程第六十八张，PPT共八十八页，创作于2022年6月齐次方程齐次方程线性非齐次方程线性非齐次方程伯努利方程伯努利方程第六十九张，PPT共八十八页，创作于2022年6月思考题思考题 2求解微分方程求解微分方程方程方程是否为齐次方程是否为齐次方程?思考题思考题 1第七十张，PPT共八十八页，创作于2022年6月思考题思考题 1 解答解答为所求解为所求解.第七十一张，PPT共八十八页，创作于2022年6月思考题思考题 2 解答解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导

18、:原方程原方程是是齐次方程齐次方程.第七十二张，PPT共八十八页，创作于2022年6月练练 习习 题题 1第七十三张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第七十四张，PPT共八十八页，创作于2022年6月练习题练习题 1 答案答案第七十五张，PPT共八十八页，创作于2022年6月练练 习习 题题 2第七十六张，PPT共八十八页，创作于2022年6月练习题练习题 2 答案答案第七十七张，PPT共八十八页，创作于2022年6月练练 习习 题题 3第七十八张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第七十九张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第八十张，PPT共八十八页，创作于2022年6月练习题练习题 3 答案答案第八十一张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第八十二张，PPT共八十八页，创作于2022年6月练练 习习 题题 4第八十三张，PPT共八十八页，创作于2022年6月第八十四张，PPT共八十八页，创作于2022年6月练习题练习题 4 答案答案第八十五张，PPT共八十八页，创作于2022年6月练练 习习 题题 5第八十六张，PPT共八十八页，创作于2022年6月练习题练习题 5 答案答案第八十七张，PPT共八十八页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第八十八张，PPT共八十八页，创作于2022年6月