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1、第四章现代控制理论本讲稿第一页，共六十八页4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义稳定性是系统性能研究的首要问题！稳定性是系统性能研究的首要问题！控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡状态，则状态，则稳定稳定。偏差逐渐变大，不能恢复到原来的。偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则平衡状态，则不稳定不稳定。系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性。系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性。本讲稿第二页，共六十八页经典控制理论经典控制理论

2、对稳定性分析的对稳定性分析的局限性局限性（1 1）局限于描述）局限于描述线性定常系统线性定常系统（2 2）局限于研究系统的）局限于研究系统的外部稳定性外部稳定性经典控制理论经典控制理论的稳定性的稳定性判据判据u劳斯（劳斯（RouthRouth）判据判据u奈氏（奈氏（NyquistNyquist）判据判据本讲稿第三页，共六十八页现代控制理论现代控制理论对稳定性分析的对稳定性分析的特点特点（1 1）稳定判据可用于）稳定判据可用于线性线性/非线性非线性，定常定常/时变时变系统；系统；（2 2）研究系统的）研究系统的外部稳定性外部稳定性和和内部稳定性；内部稳定性；现代控制理论现代控制理论的稳定性的稳定

3、性判据判据u李雅普诺夫（李雅普诺夫（LyapunovLyapunov）稳定性理论稳定性理论（3 3）能够反映系统稳定的本质特征。）能够反映系统稳定的本质特征。本讲稿第四页，共六十八页一、系统状态的运动及平衡状态一、系统状态的运动及平衡状态设系统方程为：设系统方程为：不受外力不受外力n维状态向量n维向量函数展开式为：展开式为：方程的解为：方程的解为：初始状态向量初始时刻本讲稿第五页，共六十八页平衡状态平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化：各分量相对于时间不再发生变化 所有状态的所有状态的变化速度为零变化速度为零，即是，即是静止状态静止状态 线性定常系统：线性定常系统：平衡状态：平衡状态：一个一

4、个平衡状态平衡状态状态空间原点状态空间原点无穷多无穷多个平衡状态个平衡状态本讲稿第六页，共六十八页例：机械位移系统例：机械位移系统 选选平衡状态平衡状态 状态方程状态方程本讲稿第七页，共六十八页平衡状态平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化：各分量相对于时间不再发生变化 所有状态的所有状态的变化速度为零变化速度为零，即是，即是静止状态静止状态 非线性系统：非线性系统：平衡状态：平衡状态：多多个平衡状态个平衡状态例：例：本讲稿第八页，共六十八页例：分析单摆的平衡状态。例：分析单摆的平衡状态。解：解：选取：选取：状态方程：状态方程：平衡状态：平衡状态：本讲稿第九页，共六十八页例：分析单摆的平衡状态

5、。例：分析单摆的平衡状态。解：解：选取：选取：状态方程：状态方程：平衡状态：平衡状态：本讲稿第十页，共六十八页平衡状态的稳定性：平衡状态的稳定性：系统在系统在平衡状态平衡状态邻域的局部的（小范围的）动态邻域的局部的（小范围的）动态行为。行为。线性线性系统系统：只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性：只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性 能够表征整个系统的稳定性。能够表征整个系统的稳定性。非线性非线性系统系统：有多个平衡状态，且可能稳定性不同，：有多个平衡状态，且可能稳定性不同，需将每个平衡点分别讨论。需将每个平衡点分别讨论。本讲稿第十一页，共六十八页欧式范数欧式范数二、稳定性的几个定义二、稳定性的几

6、个定义表示向量表示向量 的长度的长度表示向量表示向量 到到 的距离的距离表示状态空间中，以表示状态空间中，以 为圆心，半径为为圆心，半径为c c的的圆圆表示状态空间中，以表示状态空间中，以 为球心，半径为为球心，半径为c c的的球球本讲稿第十二页，共六十八页欧式范数欧式范数表示向量表示向量 的长度的长度表示向量表示向量 到到 的距离的距离当范数当范数 限制在某一范围之内时，可以表示为限制在某一范围之内时，可以表示为 。且具有明确的几何意义。用此概念来分。且具有明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。析系统的稳定性。本讲稿第十三页，共六十八页 设系统初始状态位于以设系统初始状态位于以平衡状态

7、平衡状态 为球心，为球心，为半径的闭球域为半径的闭球域 内，即内，即若能使系统方程的解在若能使系统方程的解在 的过程中，始终位的过程中，始终位于以于以 为球心，任意规定的半径为为球心，任意规定的半径为 的闭球域的闭球域 内，即内，即则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 在在李雅普诺夫意义下稳定。李雅普诺夫意义下稳定。稳定稳定1 1、李雅普诺夫意义下稳定、李雅普诺夫意义下稳定本讲稿第十四页，共六十八页几何意义：几何意义：初始状态初始状态有界有界，随时间，随时间推移，状态向量距平衡推移，状态向量距平衡点的距离可以维持在一点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到个确定的数值内，而到达不了平衡点。达不

8、了平衡点。任给一个球域任给一个球域 ，若存在一个球域，若存在一个球域 ，使得当使得当 时，从时，从 出发的轨迹不离开出发的轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定的的。本讲稿第十五页，共六十八页几何意义：几何意义：任给一个球域任给一个球域 ，若存在一个球域，若存在一个球域 ，使得当使得当 时，从时，从 出发的轨迹不离开出发的轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定的的。若若 与初始时刻与初始时刻 无关，则称系统的平衡无关，则称系统的平衡状态状态 是是一致稳定一致稳定的。的。时变系统时

9、变系统 与与 有关有关定常系统定常系统 与与 无关无关本讲稿第十六页，共六十八页与与经典控制理论经典控制理论中稳定性的定义中稳定性的定义不同不同。当系统做当系统做不衰减的震荡运动不衰减的震荡运动时，将描绘出一条封闭曲线，时，将描绘出一条封闭曲线，只要不超出只要不超出 ，则认为是，则认为是稳定稳定的。的。本讲稿第十七页，共六十八页 设系统初始状态位于以设系统初始状态位于以平衡状态平衡状态 为球心，为球心，为半径的闭球域为半径的闭球域 内，即内，即则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 是是渐近稳定渐近稳定的的。若系统方程的平衡状态若系统方程的平衡状态 不仅具有李雅普诺夫意义不仅具有李雅普诺夫意义下

10、的稳定性，且有下的稳定性，且有2 2、渐近稳定、渐近稳定若若 与初始时刻与初始时刻 无关，则称系统的平衡状态无关，则称系统的平衡状态 是是一致渐近稳定一致渐近稳定的。的。本讲稿第十八页，共六十八页几何意义：几何意义：初始状态有界，随时间初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡推移，状态向量距平衡点的距离可以无限接点的距离可以无限接近，直至到达平衡点后近，直至到达平衡点后停止运动。停止运动。当当 时，从时，从 出发的轨迹不仅不出发的轨迹不仅不超出超出 ，而且最终收敛于，而且最终收敛于 ，则称系统的平，则称系统的平衡状态是衡状态是渐近稳定渐近稳定的。的。与与经典控制理论经典控制理论中稳定性的定义中

11、稳定性的定义相同相同。本讲稿第十九页，共六十八页初始状态在整个状态空间时，平初始状态在整个状态空间时，平衡状态都渐近稳定。衡状态都渐近稳定。当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。3 3、大范围渐近稳定、大范围渐近稳定几何意义：几何意义：当当 时，从状态空间时，从状态空间任意一点出发的轨迹都收敛于任意一点出发的轨迹都收敛于 。本讲稿第二十页，共六十八页线性系统线性系统稳定性与初始条件稳定性与初始条件无关无关，如果渐，如果渐近稳定，则近稳定，则必然必然大

12、范围渐近稳定。大范围渐近稳定。非线性非线性系统稳定性与初始条件密切系统稳定性与初始条件密切相关相关，如果渐近稳定，如果渐近稳定，不一定不一定大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。本讲稿第二十一页，共六十八页例：机械位移系统例：机械位移系统 本讲稿第二十二页，共六十八页初始状态有界，随时间推初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点越移，状态向量距平衡点越来越远。来越远。如果对于某个实数如果对于某个实数 和任一个实数和任一个实数 ，不管，不管这两个实数有多小，在这两个实数有多小，在 内总存在着一个状态内总存在着一个状态 ，由这一状态出发的轨迹超出由这一状态出发的轨迹超出 ，则称此平衡状态是，则称此平衡

13、状态是不稳定不稳定的。的。4 4、不稳定、不稳定几何意义：几何意义：本讲稿第二十三页，共六十八页4.2 李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）外部稳定性外部稳定性零初始条件零初始条件下，对于任意一个下，对于任意一个有界输入有界输入，若系统所产生的，若系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定外部稳定的。的。外部稳定外部稳定的的充要条件：充要条件：传递函数矩阵中所有元素的极点全传递函数矩阵中所有元素的极点全部位于部位于s s的左半平面。的左半平面。本讲稿第二十四页，共六十八页线性定常系统线性定常系统渐近稳定渐近稳定A A的的所有所有特征值：特征

14、值：李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定A A的的所有所有特征值：特征值：且且 的特征值无重根的特征值无重根不稳定不稳定A A有一个特征值：有一个特征值：或或 的特征值有重根的特征值有重根内部稳定性内部稳定性本讲稿第二十五页，共六十八页与经典控制理论中的稳定性一致与经典控制理论中的稳定性一致渐近稳定渐近稳定不稳定不稳定传函极点即A的特征值本讲稿第二十六页，共六十八页与经典控制理论中的稳定性一致与经典控制理论中的稳定性一致李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定不稳定不稳定本讲稿第二十七页，共六十八页例：例：例：例：设系统方程为：设系统方程为：试确定其外部稳定性、内部稳定性。试确定其外部稳定

15、性、内部稳定性。解解解解 （1）系统的传递函数为：）系统的传递函数为：极点位于极点位于s左半平面，左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。界输入有界输出稳定的。本讲稿第二十八页，共六十八页（2 2）求系统的特征方程：求系统的特征方程：系统不是渐近稳定的。系统不是渐近稳定的。本讲稿第二十九页，共六十八页4.3 李雅普诺夫第二法（直接法）李雅普诺夫第二法（直接法）不必不必求解微分方程，求解微分方程，直接直接判断系统稳定性。判断系统稳定性。系统运动需要能量。系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过程中，在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随

16、时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统即系统渐近稳定渐近稳定。反之，反之，系统则系统则不稳定不稳定。若能量在运动过程中不增不减，则称。若能量在运动过程中不增不减，则称为为李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定。本讲稿第三十页，共六十八页例：机械位移系统例：机械位移系统 选选状态方程状态方程系统能量系统能量 本讲稿第三十一页，共六十八页例：机械位移系统例：机械位移系统 选选系统能量系统能量 能量随时间变化率能量随时间变化率 能量不断衰减能量不断衰减 运动会停止吗运动会停止吗？本讲稿第三十二页，共六十八页例：机械位移系统

17、例：机械位移系统 系统能量系统能量 能量随时间变化率能量随时间变化率 能量不断衰减能量不断衰减 渐近稳定！渐近稳定！本讲稿第三十三页，共六十八页李雅普诺夫第二法的基本思想李雅普诺夫第二法的基本思想 求出系统的求出系统的能量函数能量函数（李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数）标量标量函数。函数。求出能量随时间变化率求出能量随时间变化率 。依据系统的依据系统的状态方程状态方程考察考察能量函数能量函数在运动过程在运动过程 中的变换规律。中的变换规律。利用利用 和和 的符号特征，判断平衡状的符号特征，判断平衡状 态稳定性。态稳定性。本讲稿第三十四页，共六十八页一、标量函数一、标量函数 定号性定号性在零平衡状态

18、在零平衡状态 的邻域内的邻域内正定正定负定负定本讲稿第三十五页，共六十八页一、标量函数一、标量函数 定号性定号性在零平衡状态在零平衡状态 的邻域内的邻域内正半定正半定负半定负半定不定不定本讲稿第三十六页，共六十八页例：例：例：例：已知已知 ，确定标量函数的定号性。，确定标量函数的定号性。解：解：解：解：正定正定解：解：正半定正半定本讲稿第三十七页，共六十八页解：解：解：解：解：解：负半定负半定不定不定本讲稿第三十八页，共六十八页二、二次型二、二次型 定号性定号性二次型二次型：各项均为自变量的：各项均为自变量的二次二次单项式的单项式的标量标量函数函数P P为实对称矩阵为实对称矩阵例：例：例：例：

19、本讲稿第三十九页，共六十八页二次型定号性的判别方法二次型定号性的判别方法二次型二次型正定正定矩阵矩阵P正定正定P的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式0本讲稿第四十页，共六十八页二次型定号性的判别方法二次型定号性的判别方法二次型二次型负定负定矩阵矩阵P负定负定P的各阶顺序主子式负正相间的各阶顺序主子式负正相间本讲稿第四十一页，共六十八页二次型定号性的判别方法二次型定号性的判别方法二次型二次型正半定正半定矩阵矩阵P正半定正半定P的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式二次型二次型负半定负半定矩阵矩阵P负半定负半定P的各阶顺序主子式负正相间，或等于零的各阶顺序主子式负正相间，或等于零本讲稿第四十二页，共六十八页

20、矩阵矩阵P定号性的判别方法二定号性的判别方法二矩阵矩阵P正定正定矩阵矩阵P负定负定矩阵矩阵P正半定正半定矩阵矩阵P负半定负半定本讲稿第四十三页，共六十八页例：例：例：例：确定下列二次型的定号性。确定下列二次型的定号性。解：解：解：解：判别方法一判别方法一正定正定P的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式0本讲稿第四十四页，共六十八页例：例：确定下列二次型的定号性。确定下列二次型的定号性。解：解：解：解：判别方法二判别方法二矩阵矩阵P的特征值的符号有的特征值的符号有正有负，即符号不定正有负，即符号不定不定不定本讲稿第四十五页，共六十八页例：例：例：例：确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。确定下列

21、二次型为正定时，待定常数的取值范围。解：解：本讲稿第四十六页，共六十八页(1)(1)正定正定(2)(2)负定负定(3)(3)则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。大范围（一致）渐近稳定。（线性（线性/非线性非线性)定常定常系统：系统：，其，其中中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数数 满足：满足：定理定理1三、李雅普诺夫第二法主要定理三、李雅普诺夫第二法主要定理本讲稿第四十七页，共六十八页(1)(1)正定正定(2)(2)负半定负半定则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。大范围（一致）渐近稳定。（线性（线

22、性/非线性非线性)定常定常系统：系统：，其，其中中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数数 ，满足：，满足：(4(4)(3)(3)定理定理2本讲稿第四十八页，共六十八页(1)(1)正定正定(2)(2)负半定负半定(3(3)则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定。李雅普诺夫意义下的稳定。（线性（线性/非线性非线性)定常定常系统：系统：，其，其中中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数数 满足：满足：(4)(4)系统保持稳定的等幅振系统保持稳定的等幅振荡，荡，非渐近稳定非渐近稳定！能量不变！能量不变

23、！定理定理3本讲稿第四十九页，共六十八页例：机械位移系统例：机械位移系统 选选状态方程状态方程系统能量系统能量 正定正定 本讲稿第五十页，共六十八页例：机械位移系统例：机械位移系统 系统能量系统能量 正定正定 正定正定 负半定负半定但不恒等于但不恒等于0能量不断衰减能量不断衰减 渐近稳定渐近稳定 本讲稿第五十一页，共六十八页例：机械位移系统例：机械位移系统 系统能量系统能量 正定正定 恒等于恒等于0能量不变能量不变 李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定 选选状态方程状态方程本讲稿第五十二页，共六十八页则系统原点平衡状态则系统原点平衡状态不稳定不稳定。定理定理4 时变系统时变系统 定常定

24、常系统：系统：如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数其中，其中，且满足：且满足：(1)(1)(2)(2)本讲稿第五十三页，共六十八页注注 意意如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数 上述定理是系统平衡状态稳定的上述定理是系统平衡状态稳定的充分充分条件。如条件。如果不满足定理，系统零平衡状态果不满足定理，系统零平衡状态不一定不稳定不一定不稳定！应！应该该重新选取重新选取李雅普诺夫函数进行分析。李雅普诺夫函数进行分析。本讲稿第五十四页，共六十八页仅有数学方程，没有物理意义的系统仅有数学方程，没有物理意义的系统 求出能量随时间变化率

25、求出能量随时间变化率 。依据系统的依据系统的状态方程状态方程考察考察能量函数能量函数在运动过程在运动过程 中的变换规律。中的变换规律。利用利用 和和 的符号特征，判断平衡状的符号特征，判断平衡状 态稳定性。态稳定性。虚构一个与时间有关的虚构一个与时间有关的能量函数能量函数（李雅普诺夫李雅普诺夫函数函数）标量标量函数。函数。本讲稿第五十五页，共六十八页例：分析下列系统平衡状态的稳定性。例：分析下列系统平衡状态的稳定性。解：解：选取：选取：正定正定 负定负定大范围（一致）渐近稳定大范围（一致）渐近稳定本讲稿第五十六页，共六十八页几何意义：几何意义：表示系统状态表示系统状态 到空间原点的距离。到空间

26、原点的距离。表示状态表示状态 趋向原点的速度。趋向原点的速度。本讲稿第五十七页，共六十八页例：分析下列系统平衡状态的稳定性。例：分析下列系统平衡状态的稳定性。解法一：求解法一：求平衡状态平衡状态选取李雅普诺夫函数：选取李雅普诺夫函数：正定正定 负定负定系统原点系统原点平衡状态平衡状态为为大范围（一致）渐近稳定大范围（一致）渐近稳定本讲稿第五十八页，共六十八页例：分析下列系统平衡状态的稳定性。例：分析下列系统平衡状态的稳定性。解法二：求解法二：求平衡状态平衡状态选取李雅普诺夫函数：选取李雅普诺夫函数：正定正定 负半定负半定系统原点系统原点平衡状态平衡状态为为大范围（一致）渐近稳定大范围（一致）渐

27、近稳定只在原点为零只在原点为零本讲稿第五十九页，共六十八页4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用线性定常连续系统线性定常连续系统选取选取正定正定二次型二次型函数为函数为李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数线性连续系统渐近稳定判据线性连续系统渐近稳定判据原点是唯一的平衡状态原点是唯一的平衡状态本讲稿第六十页，共六十八页线性定常连续系统线性定常连续系统选取选取正定正定二次型二次型函数为函数为李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数原点是唯一的平衡状态原点是唯一的平衡状态令令本讲稿第六十一页，共六十八页线性定常连续系统线性定常连续系统选取选取正定正定二次型二次型函数为函数为李雅普诺夫函

28、数李雅普诺夫函数原点是唯一的平衡状态原点是唯一的平衡状态线性定常连续系统线性定常连续系统渐近稳定渐近稳定给定给定存在存在满足满足李雅普诺夫矩阵代数方程李雅普诺夫矩阵代数方程本讲稿第六十二页，共六十八页线性定常连续系统线性定常连续系统渐近稳定渐近稳定给定给定存在存在满足满足李雅普诺夫矩阵代数方程李雅普诺夫矩阵代数方程判别步骤：判别步骤：(2)(2)求解求解(1)(1)选取选取 为为正定正定实实对称对称矩阵（对角阵或单位阵）；矩阵（对角阵或单位阵）；(3)(3)若若P P为为正定正定实实对称对称矩阵，则系统渐近稳定。矩阵，则系统渐近稳定。若若 可选取可选取 为为正半定正半定实实对称对称矩阵矩阵本讲稿第六十三页，共六十八页例：机械位移系统例：机械位移系统 选选状态方程状态方程解法一解法一 选取选取设设本讲稿第六十四页，共六十八页解法一解法一 选取选取设设本讲稿第六十五页，共六十八页正定正定负定负定系统平衡状态系统平衡状态状态空间原点状态空间原点渐近稳定渐近稳定。正定正定本讲稿第六十六页，共六十八页解法二解法二 选取选取设设本讲稿第六十七页，共六十八页正定正定负半定，且不恒为零负半定，且不恒为零系统平衡状态系统平衡状态状态空间原点状态空间原点渐近稳定渐近稳定。正定正定同一个系统的李雅普诺夫函数选择同一个系统的李雅普诺夫函数选择不唯一不唯一。本讲稿第六十八页，共六十八页