第二章第二节行列式性质PPT讲稿.ppt

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1、第二章第二节行列式性质第1页，共21页，编辑于2022年，星期二.例如例如 证明思想证明思想 ：仍然是从定义出发证，祥略。仍然是从定义出发证，祥略。如果行列式有两行（列）完全相同，则此行如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零列式为零.为什么？为什么？.例如例如性质性质 2将行列式的两行将行列式的两行(列列)对调对调,行列式变号行列式变号推论推论第2页，共21页，编辑于2022年，星期二性质性质 3(展开法则展开法则)行列式等于它的任意一行行列式等于它的任意一行(列列)中所中所有元素与它们对应的代数余子式乘积之和有元素与它们对应的代数余子式乘积之和.即即第3页，共21页，编辑于2022年

2、，星期二推论推论行列式中任一行行列式中任一行(列列)中元素与另一行中元素与另一行(列列)对应元素的对应元素的代数余子式乘积之和等于零代数余子式乘积之和等于零,即即证证:由性质由性质3按第按第j行展开得到行展开得到rirj第4页，共21页，编辑于2022年，星期二推论推论行列式中任一行行列式中任一行(列列)中元素与另一行中元素与另一行(列列)对应元素的对应元素的代数余子式乘积之和等于零代数余子式乘积之和等于零,即即证证:由性质由性质3按第按第j行展开得到行展开得到rirj第5页，共21页，编辑于2022年，星期二性质性质 4行列式的某一行行列式的某一行(列列)元素的公因子可提到行列式外面元素的公

3、因子可提到行列式外面,即即例如:第6页，共21页，编辑于2022年，星期二证证:推论推论 行列式的某一行行列式的某一行(列列)元素的全为零元素的全为零,则此行列式为零则此行列式为零.行列式的某两行行列式的某两行(列列)对应元素成比例对应元素成比例,则此行列式为零则此行列式为零.推论推论 第7页，共21页，编辑于2022年，星期二性质性质5若行列式的第若行列式的第i行行(列列)元素的每一个元素都可以表示为两元素的每一个元素都可以表示为两数的和数的和,则该行列式可以表示为两行列式之和则该行列式可以表示为两行列式之和,即即这并不是唯一的分拆这并不是唯一的分拆方法！方法！第8页，共21页，编辑于202

4、2年，星期二性质性质6把行列式的第把行列式的第j行行(列列)元素的元素的k倍加到第倍加到第i行行(列列)的对应元素的对应元素上上,行列式的值不变行列式的值不变.例例 计算行列式计算行列式 运算符号运算符号 ：交换行列式两行（列），记作交换行列式两行（列），记作 行列式第行列式第i i行（列）乘以数行（列）乘以数k k，记作，记作 以数以数k k乘行列式第乘行列式第i i行（列）加到第行（列）加到第j j行（列）上，记作行（列）上，记作第9页，共21页，编辑于2022年，星期二例例 求求 证证第10页，共21页，编辑于2022年，星期二证证:第二行乘以第二行乘以-1-1加到第一行上加到第一行上,

5、第三行乘以第三行乘以-1-1加到第二行上加到第二行上,第第四行乘以四行乘以-1-1加到第三行上，依次之，直到第加到第三行上，依次之，直到第n n行乘以行乘以-1-1加到第加到第n-1n-1行上行上.可得可得第11页，共21页，编辑于2022年，星期二例例 计算行列式计算行列式解解:第二行乘以第二行乘以-1-1加到其它各行上去可得加到其它各行上去可得第12页，共21页，编辑于2022年，星期二例例 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得第13页，共21页，编辑于2022年，星期二第14页，共21页，编辑于2022年，星期二例例 当当解解:第一行乘以第一行乘以-1-1

6、加到其它各行上去可得加到其它各行上去可得第15页，共21页，编辑于2022年，星期二例例 计算计算2n阶行列式阶行列式解解 按第一行展开按第一行展开,有有再对两个再对两个(2n-1)阶行列式各按最后一行展开阶行列式各按最后一行展开,得得第16页，共21页，编辑于2022年，星期二例例 计算计算n阶行列式阶行列式解解:将最后一列写成两数之和的形式将最后一列写成两数之和的形式,再由行列式的性质再由行列式的性质5可得可得第17页，共21页，编辑于2022年，星期二由观察可知由观察可知,上式右端第一个行列式按最后一列展开得上式右端第一个行列式按最后一列展开得Dn-1,而第二个行列而第二个行列式从最后一

7、行开始式从最后一行开始,每后一行乘以每后一行乘以(-1)加到相邻的前一行上加到相邻的前一行上,就变为下三角就变为下三角形形,其值为其值为1,故得故得例例 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式第18页，共21页，编辑于2022年，星期二证证:将第将第n-1行乘以行乘以(-x1)加到第加到第n行行,将第将第n-2行乘以行乘以(-x1)加到第加到第n-1行行,这样依次下去这样依次下去,最后将第最后将第1行乘以行乘以(-x1)加到第加到第2行行,得得按第一列展开按第一列展开,并提出每一列的公因子并提出每一列的公因子(xi-x1)(i=1,2,n),得递推公式得递推公式:第19页，共21页，编辑于2022年，星期二第20页，共21页，编辑于2022年，星期二 (行列式中行与列具有同等的行列式中行与列具有同等的地位地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值值小结行列式的行列式的6个性质个性质第21页，共21页，编辑于2022年，星期二