第四章系统传递函数模型精选文档.ppt
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1、第四章系统传递函数模型本讲稿第一页,共八十九页概述概述传递函数分析法是研究系统动态特性的重要方法之传递函数分析法是研究系统动态特性的重要方法之一。线性系统的传递函数定义为在全部初始条件为零的一。线性系统的传递函数定义为在全部初始条件为零的假设下系统的输出量(响应函数)的拉普拉斯变换与输假设下系统的输出量(响应函数)的拉普拉斯变换与输入量(驱动函数)的拉普拉斯变换之比。入量(驱动函数)的拉普拉斯变换之比。本讲稿第二页,共八十九页本章摘要传递函数定义及其特性传递函数定义及其特性典型环节的传递函数典型环节的传递函数传递函数的其他形式传递函数的其他形式多自由度系统传递函数仿真模型多自由度系统传递函数仿
2、真模型传递函数模型的传递函数模型的SIMULINK仿真模型建立仿真模型建立弹性梁的传递函数模型弹性梁的传递函数模型本讲稿第三页,共八十九页 41 传递函数定义及其特性传递函数定义及其特性 1 传递函数的作用传递函数的作用:传递函数是对线性系统分析和研究的基本数学工具,对标准形式的微分方程进行拉普拉斯变换,可以将其转化为代数方程,这样不仅将实数域中的微分、积分运算简化为复数域中的代数运算,大大简化了运算,而且根据传递函数还可以导出系统的频率特性。利用传递函数可以得到系统的频率特性,利用这些频率特性与系统的参数关系,还可以对系统进行参数识别。本讲稿第四页,共八十九页2传递函数的定义设有线性系统的输
3、入为,输出为,对应的微分方程如下:其中称为微分算子,且有假设各阶导数的初值均为零,对该微分方程两端取拉斯变换,则得:其中是输出量的拉斯变换,是输入量的拉斯变换。则定义传递函数为,如下:本讲稿第五页,共八十九页若给定系统的输入,则系统的输出完全取决于传递函数,其关系如下:再通过拉普拉斯反变换,可以得到时间域内的输出(响应):表示拉斯变换符号,则“”表示拉斯反变换符号。本讲稿第六页,共八十九页 3 传递函数的特性传递函数的特性(1)传递函数只取决于系统结构(或元件)的参数,与外部信号的大小和形式无关。(2)传递函数只能适用于线性定常系统(由拉斯变换的性质可以得到,因为拉斯变换是一种线性变换)。(3
4、)传递函数一般为复变量S的有理分式,它的分母多项式S的最高次数n高于分子多项式S的最高次数m,即。(4)由于传递函数是在零初始条件下定义的,因此它不能反映非零初始条件下的运动情况(即瞬态响应)。(5)一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系,对于多输入多输出系统,要用传递函数矩阵才能表达系统的输入与输出关系。本讲稿第七页,共八十九页 4 传递函数的图示方法传递函数的图示方法将系统分为输入、系统和输出,则可以将整个系统用下图来表示,在动态分析中,如果已知其中的两个部分,分析另一个部分,则形成了正问题和反问题。运算关系:已知,求,称为动态分析正问题;已知,求,称为系统识别问题;已知,求,称
5、为环境预测问题。本讲稿第八页,共八十九页 4.2 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 1 比例环节比例环节凡输出量正比于输入量,其特点是输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节,称为比例环节,其广义动力学方程为:K为环节的放大系数或增益,其传递函数为:本讲稿第九页,共八十九页考察一个不计质量的杠杆的力学性能(力学杠杆原理就是一个比例环节,其比例系数是动力臂与阻力臂的比值)。这里是力的放大系数。因为这里不考虑质量,所以系统不会因为有惯性而产生延迟现象。本讲稿第十页,共八十九页2惯性环节(一阶惯性环节)惯性环节(一阶惯性环节)分析RC串联电路系统的传递函数,以作为电路中电容器上的电荷,为电压,则
6、关于电荷的变化满足的动态方程为:在机械系统中,如图所示不考虑AB杆的质量情况下,设为系统的输入力,为系统的输出位移。对应的机械系统的微分方程为:本讲稿第十一页,共八十九页上述系统我们称为一阶系统,一阶系统最一般的形式可以表示为:对上图所示的机械系统,其标准式为:时间常数为,灵敏度为,其物理含义是系统在静止状态下的静变形。为分析方便,令,以这种归一化系统为研究模型,即:本讲稿第十二页,共八十九页 3 微分环节微分环节凡是系统的输出正比例于系统输入的微分,即:系统的传递函数为其中T称为微分环节的时间常数,一般情况下微分环节在实际中不可能单独存在。在实际应用中,常将微分环节与其他环节联合使用。本讲稿
7、第十三页,共八十九页 4 积分环节积分环节该环节的输出等于系统的输入量对时间的积分成正比,即:这里k为常数,对应的传递函数为:本讲稿第十四页,共八十九页 5 震荡环节(或称二阶振荡环节)震荡环节(或称二阶振荡环节)典型的震荡环节通常使用LRC串联谐振电路来表示,设u为系统的输入电压,uc为电容两端的电压,则根据电路方程有:本讲稿第十五页,共八十九页将后两式代入电压方程中,则有:令:,本讲稿第十六页,共八十九页这个系统的特点是给定系统一个阶跃输入时,在小阻尼情况下,系统的输出呈现出振荡形式,它的标准形式动态方程为:例如:单自由度弹簧质量模型是我们经常见到的典型模型,其动力学方程为:标准形式:可以
8、对比电学方程和力学方程,其数学模型是等价的。本讲稿第十七页,共八十九页4.3 传递函数的其他形式传递函数的其他形式 1 传递函数的零极点形式传递函数的零极点形式其中K称为增益,称为系统的零点,称为系统的极点。极点就是分母多项式等于零的根,不难看出传递函数的极点就是对应的微分方程的特征根。传递函数的零点和极点对系统的动态性能有影响,极点的数目必须要大于或等于零点的数目,或者说,分母的方次要大于等于分子的方次。(对于分子方次大于等于分母方次的时候,通常要转换成余项研究)本讲稿第十八页,共八十九页 例例4-1设系统的动力学方程为:,计算单自由度弹簧质量的传递函数的零极点模型。解:其中为固有频率,为阻
9、尼比将因式分解可以得到系统的极点,在这里,系统的极点就是动力系统的特征根:本讲稿第十九页,共八十九页对于单自由度系统而言,系统的极点是固有频率P和阻尼比的函数当时,极点是一对共轭复数,即:当时,沿单位圆上的点向点移动,同时沿单位圆上的点向点移动,由此可见:在小阻尼情况下,传递函数的极点就是系统的复频率函数。本讲稿第二十页,共八十九页当时,、在同一B点处,说明此时两极点为相同的负实数。当时,两个极点在实数轴上沿反方向运动。本讲稿第二十一页,共八十九页 例例4-2如图所示系统,已知,。试求系统的传递函数。解:系统的动力学方程为:对上两式取拉斯变换以上两式消去变量本讲稿第二十二页,共八十九页 2 传
10、递函数的留数形式传递函数的留数形式我们还可以将传递函数:写成:为系统的极点并假定无重根情况;为系统的留数。可以证明:各个留数可以通过下式求出:本讲稿第二十三页,共八十九页 例例4-3 某系统的传递函数为:将系统模型写成零极点增益模型。解:系统的零点:极点:增益:写成留数形式,则有:本讲稿第二十四页,共八十九页同理:则系统的留数为:传递函数的留数形式为:本讲稿第二十五页,共八十九页 例例4-4 已知系统的传递函数为:将系统模型写成零极点增益模型:解:零极点模型系统的留数模型:本讲稿第二十六页,共八十九页 3 传递函数的并联、串联与反馈链接形式传递函数的并联、串联与反馈链接形式 1)串联形式:设有
11、两个系统的传递函数分别为:和,将两个系统串联,分析两个系统串联后的总系统的传递函数。因为即H1H2H本讲稿第二十七页,共八十九页 结论结论:当两个线性系统模型串联时,其等效系统的传递函数等于串联系统中两传递函数的乘积,即:推广到n个系统串联:或注意这里假定极点比零点数目大1,根据这个表达式我们可以将一个高次传递函数分成一系列简单一次传递函式的串联形式。本讲稿第二十八页,共八十九页 例例4-5设有两个系统的传递函数分别为:试求串联系统的传递函数。解:本讲稿第二十九页,共八十九页2)并联形式:设有两个系统的传递函数分别为:和,将两个系统并联,分析两个系统并联后的总系统的传递函数。因其中则H(s)本
12、讲稿第三十页,共八十九页 结论结论:当两个线性系统模型并联时,其等效系统的传递函数等于并联系统中两传递函数的和,即:推广到n个系统并联:或根据这个表达式我们可以将一个高次传递函数分成一系列简单一次传递函式的并联形式,这是留数形式传递函数的带来的优点之一。本讲稿第三十一页,共八十九页 例例4-6设有两个系统的传递函数分别为:求以上两个系统并联后的系统的传递函数。解:本讲稿第三十二页,共八十九页 3)反馈连接在控制领域中,常常需要根据系统的输出与系统的输入信息相比较后,再将这个新的信息作为系统的输入,使系统达到某种预期的需要,这种系统称为反馈系统。在下图中,设是反馈元件的传递函数,这样就构成了反馈
13、系统。传递函数用表示。C(s)本讲稿第三十三页,共八十九页根据信号的流向,有:又即:得等效传递函数为:如果是正反馈系统,则有:本讲稿第三十四页,共八十九页4 系统的开环传递函数与闭环传递函数系统的开环传递函数与闭环传递函数在动力学控制领域中,经常要分析不同支路之间的传递函数情况,本讲稿第三十五页,共八十九页 如如图所示的反馈系统中,输入信号与反馈信号的差值我们称为误差信号,系统的输出信号用表示,系统传递函数表示为,反馈元件的传递函数表示为。通常在带有反馈系统中,我们定义:(a)前馈传递函数:是系统的主要传递函数。(b)反馈传递函数:它将输出信息通过传递函数返回到系统。本讲稿第三十六页,共八十九
14、页(c)开环传递函数:反馈信号与误差信号的比称为开环传递函数,即:在图中由于有:,则系统的开环传递函数为:在此我们可以看到,开环系统的传递函数相当于系统传递函数与反馈传递函数串联形式,而串联形式的传递函数等于。本讲稿第三十七页,共八十九页开环传递函数也可以理解为系统回路的相加点断开后,以作为系统的输入,经前馈传递函数,反馈传递函数而产生的输出,此时的输出与输入的比值可以认为是一个无反馈的开环系统的传递函数,由于与在相加点的量纲相同。所以,开环系统的传递函数是无量纲的,这个情况是十分重要的。本讲稿第三十八页,共八十九页(d)闭环传递函数:输出信号与输入信号的比称为闭环传递函数,即:由于:则有:得
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