等比数列求和公式及性质精选文档.ppt

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1、等比数列求和公式及性质本讲稿第一页，共二十九页等差数列等比数列定义 通项公式等差（等比）中项下标和公式SnSn=？anan-1=d(n2)(n2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1qn-1(q0)an=amqn-mA=G=若m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则aman=apaq复习复习本讲稿第二页，共二十九页问题提出问题提出 小林和小明做小林和小明做“贷款贷款”游戏，规定：在一月（游戏，规定：在一月（30天）中小明天）中小明第一天贷给小林第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林万元，第二天贷给小林2万元万元以后每天比前以后每天比前一天多贷一天多贷1万

2、元万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二分钱，第二天还天还2分钱，第三天还分钱，第三天还4分钱分钱以后每天还的钱是前一天的以后每天还的钱是前一天的2倍，倍，試计算試计算30天后两人各得的钱数天后两人各得的钱数.设小林设小林30天得到的钱数天得到的钱数T30设小明设小明30天得到的钱数天得到的钱数S 30本讲稿第三页，共二十九页引入新课同学们考虑如何求出这个和？同学们考虑如何求出这个和？1073.741万元万元这种求和的方法,就是错位相减法!本讲稿第四页，共二十九页推导公式推导公式等比数列前等比数列前n项求和公式项求和公式已知：已知：等比数列等比数列

3、an，a1，q，n求：求：Sn解：解：Sn=a1+a2 +a3 +a4 +an qsn=(1-q)Sn=a1-a1qna1qa1q23a1qn-1=a1+a1q+作作减减法法若：q1若q=1,Sn=n a1(1-q )1-q(q=1)(q=1)na1本讲稿第五页，共二十九页(一)用等比定理推导当当 q=1 时时 Sn=n a1因为因为所以所以6本讲稿第六页，共二十九页Sn=a1+a2+a3+.+an-1+an =a1+a1q+a1q2+.+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+.+a1qn-3+a1qn-2)=a1+q Sn-1=a1+q(Sn an)Sn=a1(1 q n)1

4、q(二）公式推导7本讲稿第七页，共二十九页于是等比数列前等比数列前n项求和公式项求和公式通项公式通项公式:an=a1qn-1本讲稿第八页，共二十九页等比数列的前n项和例题解解:例例5（1）求等比数列求等比数列 的前的前10项项的和的和.本讲稿第九页，共二十九页（2）已知等比数列）已知等比数列 a an n 中，中，a a1 1=2,q=3,=2,q=3,求求S S3 3例例6 五洲电扇厂去年实现利税五洲电扇厂去年实现利税300万元，万元，计划在计划在5年中每年比上年利税增长年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第问从今年起第5年的利税是多少？这年的利税是多少？这5年年的总利税是多少？（结果精

5、确到万元）的总利税是多少？（结果精确到万元）本讲稿第十页，共二十九页等比数列的前n项和例题本讲稿第十一页，共二十九页等比数列的前n项和练习11.根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的本讲稿第十二页，共二十九页等比数列的前n项和练习2-32.求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和.从第从第5项到第项到第10项的和项的和:3.求等比数列求等比数列 从第从第3项到第项到第7项的和项的和.从第从第3项到第项到第7项的和项的和:本讲稿第十三页，共二十九页作业：P30.A组8（写在课本）9.10（写在作业本）本讲稿第十四页，共二十九页2、求数列

6、、求数列1，x，x2，x3，xn，的前的前n项和。项和。1、等比数列、等比数列1，2，4，8，从第从第5 5项到项到第第1010项的和为项的和为或或3、求和：、求和：15本讲稿第十五页，共二十九页北师大版高中数学必修5第一章数列等比数列前等比数列前n n项和的公式项和的公式第二课时第二课时本讲稿第十六页，共二十九页等比数列复习等比数列复习本讲稿第十七页，共二十九页（2）（1）（3）若数列 是等比数列，则 也是等比数列 （4）等比数列an的任意等距离的项 构成的数列仍为等比数列等比数列的性质等比数列的性质本讲稿第十八页，共二十九页等比数列判定方法：等比数列判定方法：（1 1）定义法：）定义法：（

7、2 2）递推公式法：）递推公式法：（3 3）看通项法：）看通项法：（4 4）看前）看前n n项和法：项和法：本讲稿第十九页，共二十九页例 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度,都是它在前一分钟上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得 an+1=4/5an因此，数列an是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列热气球在n分时间里上升的总高度本讲稿第二十页，共二十九页例 做边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内做内接正三角形，然后再做新三角形的内切圆.如此下去求前n个内切圆的面积和.本讲稿第二十

8、一页，共二十九页解 设第n个正三角形的内切圆的半径为rn 从第二个三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的1/2，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的1/2，故本讲稿第二十二页，共二十九页设前n个内切圆的面积之和为Sn，则：本讲稿第二十三页，共二十九页练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么答：这个数列的第1项与第2项分别为 与 8消元消元本讲稿第二十四页，共二十九页练习、求和练习、求和分析：公比是字母，分公比是字母，分 q=1 q=1 和和 q1q1两种情况讨论两种情况讨论解：（

9、1）该数列为等比数列，记为an，其中a1=a,q=a当q=1时,Sn=na当q1时,Sn=本讲稿第二十五页，共二十九页（1）如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于多少？练习练习:本讲稿第二十六页，共二十九页思考：求和：.为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.）设，其中为等差数列，（提示：本讲稿第二十七页，共二十九页你能登上你能登上月球吗月球吗?能能?!只要你把你手上只要你把你手上的纸对折的纸对折38次我就次我就能沿着它登上月球。能沿着它登上月球。哇哇M=1+2+4+8+2 （页）页）37列式：列式：本讲稿第二十八页，共二十九页2.2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注意公灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注意公比比q q1.1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；公式的应用；可以求形如的数列的和，其中可以求形如的数列的和，其中3 3.反思推导求和公式的方法反思推导求和公式的方法错位相减法，错位相减法，等差数列等差数列 ，为等比数列，为等比数列.为为课堂小结：课堂小结：本讲稿第二十九页，共二十九页