第四节 幂级数精选文档.ppt

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1、第四节 幂级数1本讲稿第一页，共二十八页定义定义在在收收敛敛域域上上,幂幂级级数数的的和和是是x的的函函数数S(x),称称S(x)为为函函数数项项级数的级数的和函数和函数，记为，记为收敛域为收敛域为和函数为和函数为2本讲稿第二页，共二十八页证明证明O定理定理(阿贝尔定理阿贝尔定理)3本讲稿第三页，共二十八页由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知,证明证明4本讲稿第四页，共二十八页由由(1)结论结论,几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域这与所设矛盾这与所设矛盾.5本讲稿第五页，共二十八页此时正数此时正数 R 称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.规定规定

2、问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?6本讲稿第六页，共二十八页定理定理7本讲稿第七页，共二十八页证明证明8本讲稿第八页，共二十八页证毕证毕.9本讲稿第九页，共二十八页求下列幂级数的收敛半径和收敛域求下列幂级数的收敛半径和收敛域.例例1 1解解发散；发散；收敛。收敛。10本讲稿第十页，共二十八页一般，一般，求下列幂级数的收敛半径和收敛域求下列幂级数的收敛半径和收敛域.例例1 111本讲稿第十一页，共二十八页例例2 2解解例例3 3解解12本讲稿第十二页，共二十八页发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.例例4 4解解13本讲稿第十三页，共二十八页缺少偶次幂的项缺少偶次幂的

3、项级数收敛；级数收敛；例例5 5解解直接应用达朗贝尔判别法，直接应用达朗贝尔判别法，14本讲稿第十四页，共二十八页级数发散级数发散,所以原级数的收敛域为所以原级数的收敛域为级数收敛；级数收敛；级数发散；级数发散；15本讲稿第十五页，共二十八页二、幂级数的和函数二、幂级数的和函数且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.16本讲稿第十六页，共二十八页且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.(2)(2)逐项积分或求导后逐项积分或求导后,端点端点处处的收的收敛敛性性可能可能发发生生如下如下变变化化：逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛；逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛；逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散。逐项求

4、导后，原来收敛的端点可能变发散。17本讲稿第十七页，共二十八页例例6 6逐逐项项求求导导,再再逐逐项项求求导导,18本讲稿第十八页，共二十八页例例6 6逐逐项项积分积分,19本讲稿第十九页，共二十八页例例6 6换元，换元，逐项积分，逐项积分，20本讲稿第二十页，共二十八页例例7 7解解21本讲稿第二十一页，共二十八页例例8 8解解逐逐项项求求导导,22本讲稿第二十二页，共二十八页23本讲稿第二十三页，共二十八页例例9 9解解24本讲稿第二十四页，共二十八页例例9 9解解25本讲稿第二十五页，共二十八页例例1010解解所以所以26本讲稿第二十六页，共二十八页例例1111解解积分得积分得所以所以27本讲稿第二十七页，共二十八页练习：练习：P363 习题八习题八28本讲稿第二十八页，共二十八页