第四节二阶常系数齐次线性微分方程精选文档.ppt

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1、第四节二阶常系数齐次线性微分方程本讲稿第一页，共十六页第四节第四节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程的概念及其性质一、二阶常系数齐次线性微分方程的概念及其性质二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 本讲稿第二页，共十六页证明证明解的线性组合解的线性组合对于二阶常系数齐次线性微分方程，对于二阶常系数齐次线性微分方程，具有下面的性质具有下面的性质 本讲稿第三页，共十六页证毕证毕问题问题:例如例如本讲稿第四页，共十六页例如例如线性无关线性无关例如例如本讲稿第五页，共十六页将其代入

2、上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根(p,q为常数为常数)是方程的解是方程的解.二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法本讲稿第六页，共十六页(1)有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解：两个线性无关的特解：得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为设特征根为设特征根为如如特征方程为特征方程为本讲稿第七页，共十六页(2)有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为如如特征方程为特征方程为本讲稿第八页，共十六页(3)有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次

3、方程的通解为得齐次方程的通解为设特征根为设特征根为如如特征方程为特征方程为本讲稿第九页，共十六页定义定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为称为特征方程法特征方程法.总之总之本讲稿第十页，共十六页解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为(C1,C2为为任意常数任意常数).本讲稿第十一页，共十六页解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为本讲稿第十二页，共十六页解解特征方程为特征方程为解得解得方程的通解方程的通解为为 于是于是 对其求导得对其求导得 所求特解为所求特解为 本讲稿第十三页，共十六页图6.1解解由题意可得微分方程由题意可得微分方程其特征方程其特征方程为为特征根为特征根为本讲稿第十四页，共十六页所以方程的通解为所以方程的通解为若令若令则通解为则通解为本讲稿第十五页，共十六页四、小结四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.作业：作业：P172 P172 练习题练习题6.4 16.4 1，2 2本讲稿第十六页，共十六页