第五章留数及其应用PPT讲稿.ppt

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1、第五章留数及第五章留数及其其应用用第1页，共70页，编辑于2022年，星期三参考用书参考用书复变函数与积分变换复变函数与积分变换,华中科技大学数学系华中科技大学数学系,高等教育出版社高等教育出版社,2003.6,2003.6 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解复变函数与积分变换学习辅导与习题全解,华中科大华中科大,高等教育出版社高等教育出版社 复变函数复变函数,西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社高等教育出版社,1996.5,1996.5 第2页，共70页，编辑于2022年，星期三 目目 录录第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的

2、积分第四章第四章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示第五章第五章 留数及其应用留数及其应用第六章第六章 傅立叶变换傅立叶变换第七章第七章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第3页，共70页，编辑于2022年，星期三 第五章 留数及其应用留数及其应用 本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物，为此先对解析函数的孤立奇点进行分类 第4页，共70页，编辑于2022年，星期三第五章 留数及其应用留数及其应用5.1 孤立奇点5.2 留数5.3 留数

3、在定积分计算中的应用本章小结v 思考题第5页，共70页，编辑于2022年，星期三第一节 孤立奇点一、奇点的分类一、奇点的分类 定义：第6页，共70页，编辑于2022年，星期三孤立奇点分类：(1)主部消失(2)主部仅含有限项(3)主部含有无限多项，解析部分主要部分第7页，共70页，编辑于2022年，星期三例1解：第8页，共70页，编辑于2022年，星期三二、可去奇点二、可去奇点 第9页，共70页，编辑于2022年，星期三?第10页，共70页，编辑于2022年，星期三三、极点三、极点 第11页，共70页，编辑于2022年，星期三第12页，共70页，编辑于2022年，星期三第13页，共70页，编辑于

4、2022年，星期三例2解：第14页，共70页，编辑于2022年，星期三四、本性奇点四、本性奇点 第15页，共70页，编辑于2022年，星期三例3解：第16页，共70页，编辑于2022年，星期三第17页，共70页，编辑于2022年，星期三例4解：第18页，共70页，编辑于2022年，星期三例5解：第19页，共70页，编辑于2022年，星期三五、函数的零点与极点的关系五、函数的零点与极点的关系 定理1第20页，共70页，编辑于2022年，星期三证明：第21页，共70页，编辑于2022年，星期三例6解：定理2证明：第22页，共70页，编辑于2022年，星期三第23页，共70页，编辑于2022年，星期

5、三例7（通过零点阶数判断极点阶数）解：第24页，共70页，编辑于2022年，星期三例8解：法二：第25页，共70页，编辑于2022年，星期三六、函数在无穷远点的性态六、函数在无穷远点的性态 分析：第26页，共70页，编辑于2022年，星期三第27页，共70页，编辑于2022年，星期三 这样，对无穷远点来说，它的特性与其洛朗级数之间的关系就跟有限远点一样，不过只是把正幂项与负幂项的作用互相对调正幂项与负幂项的作用互相对调就是 第28页，共70页，编辑于2022年，星期三第29页，共70页，编辑于2022年，星期三第30页，共70页，编辑于2022年，星期三例9说明：解：第31页，共70页，编辑于

6、2022年，星期三例10例11解：解：第32页，共70页，编辑于2022年，星期三例12解：例13解：第33页，共70页，编辑于2022年，星期三例14解：第34页，共70页，编辑于2022年，星期三例15解：第35页，共70页，编辑于2022年，星期三例16解：第36页，共70页，编辑于2022年，星期三第37页，共70页，编辑于2022年，星期三第二节 留数留数一、留数的概念及留数定理一、留数的概念及留数定理 留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等有着密切的联系 1留数概念 第38页，共70页，编辑于2022年，星期三第39页，共70页，

7、编辑于2022年，星期三留数定义：说明：例1解：第40页，共70页，编辑于2022年，星期三例2解：例3解：第41页，共70页，编辑于2022年，星期三定理1证明：第42页，共70页，编辑于2022年，星期三二、函数在极点的留数二、函数在极点的留数 法则1：证明：结论：先知道奇点的类型，对求留数有时更为有利.第43页，共70页，编辑于2022年，星期三例4解：第44页，共70页，编辑于2022年，星期三法则2：证明：由法则1：第45页，共70页，编辑于2022年，星期三例5解：例6解：第46页，共70页，编辑于2022年，星期三法则3：证明：第47页，共70页，编辑于2022年，星期三例7解：

8、例8解：第48页，共70页，编辑于2022年，星期三例9解：第49页，共70页，编辑于2022年，星期三例10解：再往下计算比较繁琐！第50页，共70页，编辑于2022年，星期三第51页，共70页，编辑于2022年，星期三三、函数在无穷远点的留数三、函数在无穷远点的留数 第52页，共70页，编辑于2022年，星期三定理2证明：第53页，共70页，编辑于2022年，星期三法则4：证明：第54页，共70页，编辑于2022年，星期三例11解：第55页，共70页，编辑于2022年，星期三例12解：例13解：第56页，共70页，编辑于2022年，星期三第三节 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的

9、应用 留数定理为某些类型积分的计算提供了有效的方法应用留数定理计算实变函数的定积分的方法称为围道积分法围道积分法就是把求实变函数的积分化为复变函数沿着围线的积分，然后利用留数定理，使沿着围线的积分计算，归结为留数计算要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，定积分可化为某个沿闭路的积分其实质就是用复积分来计算实积分，这一方法对有些不易求得的定积分和广义积分常常比较有用现在就几个特殊类型举例说明 第57页，共70页，编辑于2022年，星期三一、一、第58页，共70页，编辑于2022年，星期三例1解：第59页，共70页，编辑于2022年，星期三第60页，共70页，编辑于2022年，星期三二、二、第61页，共70页，编辑于2022年，星期三第62页，共70页，编辑于2022年，星期三例2解：第63页，共70页，编辑于2022年，星期三三、三、第64页，共70页，编辑于2022年，星期三第65页，共70页，编辑于2022年，星期三例3解：第66页，共70页，编辑于2022年，星期三例4解：第67页，共70页，编辑于2022年，星期三四、函数在实轴上有奇点的积分四、函数在实轴上有奇点的积分 例5解：第68页，共70页，编辑于2022年，星期三例6证明：第69页，共70页，编辑于2022年，星期三第70页，共70页，编辑于2022年，星期三