第四节 多元复合函数与隐函数的求导法则精选文档.ppt

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1、第四节 多元复合函数与隐函数的求导法则本讲稿第一页，共四十二页复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如如它是由它是由复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体给出没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。微分法。本讲稿第二页，共四十二页一、链式法则一、链式法则证证本讲稿第三页，共四十二页本讲稿第四页，共四十二页上定理的结论可推广到中间变量多于两

2、个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：元函数的情况：本讲稿第五页，共四十二页链式法则如图示链式法则如图示本讲稿第六页，共四十二页称为标准法则或称为标准法则或 这个公式的特征：这个公式的特征：函数函数有两个自变量有两个自变量 x 和和 y故法则中包含故法则中包含两个公式；两个公式；本讲稿第七页，共四十二页由于在复合过程中有两个中间变量由于在复合过程中有两个中间变量 u 和和 v故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分故法则中每

3、一个公式都是两项之和，这两项分别含有别含有 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数变量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”本讲稿第八页，共四十二页本讲稿第九页，共四十二页特殊地特殊地其中其中即即令令两者的区别两者的区别区区别别类类似似本讲稿第十页，共四十二页注注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任意此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形多个自变量的情形如如则则 从以上推

4、广中我们可以得出：所有公式中两两乘积从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关本讲稿第十一页，共四十二页关于多元复合函数求偏导问题关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式和理解公式，在解题时自如地运用公式用图示

5、法表示出函数的复合关系用图示法表示出函数的复合关系函数对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）（项数及项的构成）本讲稿第十二页，共四十二页 的结构是求抽象的复合函的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键数的二阶偏导数的关键 弄清弄清 仍是复合函数仍是复合函数且复合结构与原来的且复合结构与原来的 f(u,v)完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u,v 为中间变量，以为中间变量，以 x,y 为自变量的复为自变量的复合函数合函数因此求它们关于因此求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则的偏导数时必须使链式法则本讲稿第十三页，共四十二页在具体计算中最容易出错的地方

6、是对在具体计算中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步再求偏导数这一步 是与是与 f(u,v)具有相同结构的复合函数易被误认为仅是具有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉的函数，从而导致漏掉原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量注意引用这些公式的条件注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导内层函数可导 的合并问题的合并问题视题设条件视题设条件本讲稿第十四页，共四十二页解解本讲稿第十五页，共四十二页解解例例3 设设均满足复合函数求偏导数的条件均满足复合函数求偏导

7、数的条件 计算计算（两重复合问题）（两重复合问题）解解由链式法则由链式法则本讲稿第十六页，共四十二页故故同理可得同理可得本讲稿第十七页，共四十二页解解令令记记同理有同理有本讲稿第十八页，共四十二页于是于是二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性本讲稿第十九页，共四十二页全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.本讲稿第二十页，共四十二页 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以

8、不加辨认和区分，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错从而为解题带来很多方便，而且也不易出错本讲稿第二十一页，共四十二页例例5 设设各函数满足求导条件各函数满足求导条件求求解一解一变量间的关系如下图所示变量间的关系如下图所示本讲稿第二十二页，共四十二页这里变量间的关系比较混乱这里变量间的关系比较混乱用全微分来解用全微分来解由全微分定理由全微分定理注意到注意到 x,z 是独立自变量是独立自变量 解二解二本讲稿第二

9、十三页，共四十二页由全微分定义由全微分定义注注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错故故 本讲稿第二十四页，共四十二页隐函数的求导法则隐函数的求导法则一、一个方程的情形一、一个方程的情形本讲稿第二十五页，共四十二页解解令令则则本讲稿第二十六页，共四十二页解解令令本讲稿第二十七页，共四十二页则则本讲稿第二十八页，共四十二页解解令令本讲稿第二十九页，共四十二页则则思路：思路：本讲稿第三十页，共四十二页解解令令则则整理得整理得本讲稿第三十一页，共四十二页整理得整理得整理得整理得本讲稿第三十二页，共四十二页二、方程组的情形二、方程组的情形1、对于方程组、对于方

10、程组 怎样求偏导数怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当当 x 给定以后相当于解含关于给定以后相当于解含关于 y,z 的方程组的方程组如果有解且唯一则对于不同的如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了就完全确定了y,z 故方程组确定了两个一元隐函数故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)本讲稿第三十三页，共四十二页 若若 则则怎样求怎样求两边对两边对 x 求导求导 注意左边是复合函数（三个中间变量），注意左边是复合函数（三个中间变量），同理同理本讲稿第三十四页，共四十二页2、本讲稿第三十五页，共四十二页本讲稿第三十六页，

11、共四十二页解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项本讲稿第三十七页，共四十二页本讲稿第三十八页，共四十二页将所给方程的两边对将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得求导，用同样方法得注注这组公式不太好记，具体做题时应用这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想的是其基本思想本讲稿第三十九页，共四十二页关于隐函数求二阶偏导数关于隐函数求二阶偏导数以以为例，为例，主要有三种方法：主要有三种方法：公式法公式法类似地可求得类似地可求得直接法直接法方程两边连续求导两次方程两边连续求导两次本讲稿第四十页，共四十二页解得：解得：两种方法相比，法二较简便，因为可避免商两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。得二阶偏导数，使运算大为简化。本讲稿第四十一页，共四十二页则则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。这样一次就可求得全部的一阶偏导数。全微分法全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分求全微分本讲稿第四十二页，共四十二页