第八节多元函数的极值PPT讲稿.ppt

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1、第八节多元函数的极值第1页，共29页，编辑于2022年，星期三实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元

2、函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出第2页，共29页，编辑于2022年，星期三二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值 1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极值点必须是函数定义域的极值点必须是函数定义域的内点内点.第3页，共29页，编辑于2022年，星期三(1)例例1 1例例例例(2)(2)(3)(3)第4页，共29页，编辑于2022年，星期三2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件第5页，共29页，编辑于2022年，星期三证证第6页，共29页，编辑于2022年，星期三第7页，共29页，编辑于2022年，星期三仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿

3、照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点.注意：注意：有偏导数有偏导数的函数极值点必为驻点；的函数极值点必为驻点；但驻点未必是极值点但驻点未必是极值点.极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？极值点也可能是一阶偏导不存在的点极值点也可能是一阶偏导不存在的点.第8页，共29页，编辑于2022年，星期三定理定理2 2（充分条件充分条件）第9页，共29页，编辑于2022年，星期三第10页，共29页，编辑于2022年，星期三3 3、多元函数的最值、多元函数的最

4、值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值值来求函数的最大值和最小值.设函数设函数 z=f(x,y)在在闭闭区域区域 D 上连续上连续,则则函数在函数在 D 上上必有最大值和最小值必有最大值和最小值.z=f(x,y)的最值既可在的最值既可在 D 的内点处取得的内点处取得,也可在也可在 D 的边界点处取得的边界点处取得.设函数设函数 z=f(x,y)在在闭闭区域区域 D 上连续、可微上连续、可微,且只有且只有有限个极值点有限个极值点,若最值若最值在在 D 内取得内取得,则则最值点必是极最值点必是极值点值点.第11页，共29页，编辑于

5、2022年，星期三 求出函数在求出函数在 D 内的所有驻点、不可求偏导的点内的所有驻点、不可求偏导的点处的函数值和处的函数值和在在 D 的边界上的最大值和最小值的边界上的最大值和最小值相互比相互比较，这些值中最大者即为最大值，最小者即为最小较，这些值中最大者即为最大值，最小者即为最小值值.求最值的一般方法求最值的一般方法：第12页，共29页，编辑于2022年，星期三 求实际问题中，由问题的实际意义可知函数求实际问题中，由问题的实际意义可知函数 f(x,y)有最值，且在有最值，且在 D 内只有唯一的驻点，则该驻点内只有唯一的驻点，则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值的函数值就是所求的最大值或

6、最小值.第13页，共29页，编辑于2022年，星期三三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件无其他条件.实例：实例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题

7、的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点第14页，共29页，编辑于2022年，星期三条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第15页，共29页，编辑于2022年，星期三拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束条件有多个的情况：条件有多个的情况：第16页，共29页，编辑于2022年，星期三第17页，共29页，编辑于2022年，星期三解解则则第18页，共29页，编辑于2022年，星期三解解第19页，共29页，编辑于2022年，星期三第20页，共29页，编辑于2022年，星期三第21页，共29页

8、，编辑于2022年，星期三可得可得即即第22页，共29页，编辑于2022年，星期三可得可得即即第23页，共29页，编辑于2022年，星期三多元函数的极值多元函数的极值条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结第24页，共29页，编辑于2022年，星期三思考题思考题第25页，共29页，编辑于2022年，星期三思考题解答思考题解答第26页，共29页，编辑于2022年，星期三练练 习习 题题第27页，共29页，编辑于2022年，星期三第28页，共29页，编辑于2022年，星期三练习题答案练习题答案第29页，共29页，编辑于2022年，星期三