第八节极值与最值PPT讲稿.ppt
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1、第八节极值与最值第1页,共52页,编辑于2022年,星期三回顾:一回顾:一元函数元函数 y=f(x)的极值概念:的极值概念:总有总有第2页,共52页,编辑于2022年,星期三(1)极值是一个局部概念,它只是对极值点邻)极值是一个局部概念,它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。近范围的所有点的函数值进行比较。(2)(极值存在的必要条件)若)(极值存在的必要条件)若 f(x)在极值点在极值点处可导,则导数一定为处可导,则导数一定为 0,反之不成立。,反之不成立。(3)(驻点为极值点的充分条件)(驻点为极值点的充分条件)设设存在,则有存在,则有(1)如果)如果(3)如果)如果,则,则为为
2、f(x)的极小值;的极小值;(2)如果)如果,则,则为为 f(x)的极大值;的极大值;,定理失效。,定理失效。第3页,共52页,编辑于2022年,星期三定义定义:设:设 z=f(x,y)的定义域为的定义域为 D,总有总有总有总有是是 D 的一个的一个内点内点,则称则称是是 f(x,y)的极大值;的极大值;则称则称是是 f(x,y)的极小值。的极小值。若存在点若存在点 的一个去心邻域的一个去心邻域 极大值和极小值统称为极值极大值和极小值统称为极值;一、一、多元函数的极值多元函数的极值 第4页,共52页,编辑于2022年,星期三例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无
3、极值.使函数取得极值的点称为极值点;同一元函数一样,二元函数极值也是一个局部概念 极值点必是D 的内点;结论:结论:二元函数的极值点是其曲面在某个领域的最高(低)点第5页,共52页,编辑于2022年,星期三问题:问题:什么点可能成为极值点?什么点必定是极值点?定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数,且在点(x0,y0)有极值,则有:证明:如果取y=y0,则函数f(x,y0)是x的一元函数 同理有第6页,共52页,编辑于2022年,星期三极值点的几何意义极值点的几何意义:若曲面z=f(x,y)在点 处有切平面,则切平面使函数的各偏导数同时为0的点,称为驻点.成为平
4、行于xoy坐标面的平面说明:具有偏导数的函数的极值点必定是驻点,但驻点不一定是极值点。极值点也可能是偏导数不存在的点。极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生.例如,有驻点(0,0)第7页,共52页,编辑于2022年,星期三例:例:解:解:得驻点得驻点该函数无极值。该函数无极值。第8页,共52页,编辑于2022年,星期三时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令 1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数则f(x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件如下:问题问题:如何判定一个驻点是否为极值点?第9页,共52页,编辑于
5、2022年,星期三求极值的步骤求极值的步骤第一步 解方程组得一切驻点;第二步 对所求的驻点求出二阶偏导数极值 ACB2第10页,共52页,编辑于2022年,星期三例例1.1.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 求二阶偏导数及判别求二阶偏导数及判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.第11页,共52页,编辑于2022年,星期三在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;第12页,共52页,编辑于2022年,星期三例例2.讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们的驻点,在
6、(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为第13页,共52页,编辑于2022年,星期三解解例例3 3令令代入上式,解得驻点为代入上式,解得驻点为 得得第14页,共52页,编辑于2022年,星期三第15页,共52页,编辑于2022年,星期三二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,为极小 值为最小 值(大大)(大大)依据第16页,共52页,编辑于2022年,星期三 求可微函数最大值和最小
7、值的一般方法:求可微函数最大值和最小值的一般方法:(1)求函数在求函数在 D 内的所有驻点;内的所有驻点;(2)求函数在求函数在 D 的边界上的最大值和最小值;的边界上的最大值和最小值;(3)将函数在所有驻点处的函数值及在将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的的边界上的 最大值和最小值相比较,最大者就是函数在最大值和最小值相比较,最大者就是函数在 D 上上 的最大值,最小者就是最小值。的最大值,最小者就是最小值。在实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数的最在实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数的最 大或最小值存在且一定在大或最小值存在且一定在 D 的内部取得,而函数在的内部取得,
8、而函数在 D 内只有一个驻点,则该驻点就是函数在内只有一个驻点,则该驻点就是函数在 D 上的最大或上的最大或 最小值点。最小值点。第17页,共52页,编辑于2022年,星期三把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面例例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,第18页,共52页,编辑于2022年,星期三令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.第19页,共52页,编辑于2022年,星期三解:解:得唯一驻点得唯一驻点(2)在)在 D 的边界上的边界上所以当所以当断面的
9、面积最大。断面的面积最大。D把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,积最大.问怎样折法才能使断面面例例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,第20页,共52页,编辑于2022年,星期三解解如图如图,第21页,共52页,编辑于2022年,星期三第22页,共52页,编辑于2022年,星期三第23页,共52页,编辑于2022年,星期三解:设箱子的长、宽、高分别为x、y、z,容量为V,则V=xyz,设箱子的表面积为S,则 S=2(xy+yz+zx)例例6.要造一个容量一定的长方形箱子,问选择怎样的尺寸,才能使用的材料最少?解得唯一驻点 根据实际问题可知S一定存在最小值,并一定在D 内部取得,所以当S
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