第六章方程求根PPT讲稿.ppt
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1、第六章方程求根第1页,共85页,编辑于2022年,星期三如果如果f(x)可以分解成可以分解成 其其中中m为为正正整整数数且且 则则称称x*是是f(x)的的m重重零零点点,或或方方程程f(x)=0的的m重根重根.若若f(x)存在存在m阶导数阶导数,则是方程则是方程f(x)的的m重根重根(m1)当且仅当当且仅当当当m=1时称时称x*为为单根单根.零点或根的重数零点或根的重数第2页,共85页,编辑于2022年,星期三 当当f(x)不是不是x的线性函数时的线性函数时,称对应的函数方程为称对应的函数方程为非线性非线性方程方程.如果如果f(x)是多项式函数是多项式函数,则称为则称为代数方程代数方程,若若f
2、(x)是是三三角函数、指数函数、对数函数等角函数、指数函数、对数函数等,称为称为超越方程超越方程.一般称一般称n次多项式构成的方程次多项式构成的方程 为为n次代数方程次代数方程,当当n1 1时时,方程显然是非线性的方程显然是非线性的 一般稍微复杂的一般稍微复杂的3 3次以上的代数方程或超越方程次以上的代数方程或超越方程,很难甚很难甚至无法求得精确解至无法求得精确解.第3页,共85页,编辑于2022年,星期三记笔记记笔记 本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法数值解法区间法区间法迭代法迭代法Newton法法弦截法弦截法抛物线法抛物线法.逐
3、步搜索法逐步搜索法二分法二分法.第4页,共85页,编辑于2022年,星期三 通常方程求根的数值解法大致分为三个步骤进行通常方程求根的数值解法大致分为三个步骤进行通常方程求根的数值解法大致分为三个步骤进行通常方程求根的数值解法大致分为三个步骤进行 判定根的存在性判定根的存在性判定根的存在性判定根的存在性.即方程有没有根?如果有即方程有没有根?如果有即方程有没有根?如果有即方程有没有根?如果有 根根根根,有几个根?有几个根?有几个根?有几个根?确定根的分布范围确定根的分布范围.即将每一个根用区间隔即将每一个根用区间隔 离开来离开来离开来离开来,这个过程实际上是获得方程各根的这个过程实际上是获得方程
4、各根的这个过程实际上是获得方程各根的这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值初始近似值.根的精确化根的精确化根的精确化根的精确化.将根的初始近似值按某种方法将根的初始近似值按某种方法将根的初始近似值按某种方法将根的初始近似值按某种方法 逐步精确化逐步精确化逐步精确化逐步精确化,直到满足预先要求的精度为止直到满足预先要求的精度为止 第5页,共85页,编辑于2022年,星期三w本章介绍本章介绍方程求根的数值解法方程求根的数值解法,它既可以用来求解它既可以用来求解代数方程代数方程,也可以用来解超越方程也可以用来解超越方程,并且仅限于求方并且仅限于求方程的程的实根实根.w运用运用迭代迭代迭代迭代解方
5、程的根应解决以下两个问题解方程的根应解决以下两个问题:n确定根的初值确定根的初值;n将进一步精确化到所需要的精度将进一步精确化到所需要的精度.记笔记记笔记第6页,共85页,编辑于2022年,星期三6.1.1 逐步搜索法逐步搜索法 为明确起见,不妨假定为明确起见,不妨假定f(a)0.从有根区间从有根区间a,b的左端的的左端的x0=a出发,按照某个预定的出发,按照某个预定的步长步长h一步一步地向右跨,每跨一步进行一次根的一步一步地向右跨,每跨一步进行一次根的“搜索搜索”,即检查节点,即检查节点xk=a+kh上的函数值上的函数值f(xk)的符号,一旦发现的符号,一旦发现f(xk)与与f(a)异号异号
6、,则可以确定一个缩小了的有根区间则可以确定一个缩小了的有根区间xk-1,xk,其宽度等于预定的步长其宽度等于预定的步长h第7页,共85页,编辑于2022年,星期三例例6.1 方程方程f(x)=x3-x-1=0,确定其有根区间确定其有根区间.xf(x)0 0.5 1.0 1.50 0.5 1.0 1.5 +可以看出可以看出,在在1.0,1.5内必有一根内必有一根.解:不难发现解:不难发现f(0)0,知知f(x)在在区间区间(0,2)内至内至有一个实根有一个实根 设从设从x=0出发出发,取取h=0.5为步长向右进行根的为步长向右进行根的 搜索搜索,列表如下列表如下第8页,共85页,编辑于2022年
7、,星期三w 用逐步搜索法的关键是选取步长用逐步搜索法的关键是选取步长hw 只要只要h取得足够小取得足够小,利用此法可以得到具有任意精度的利用此法可以得到具有任意精度的近似根近似根.w 相应的相应的,所需要的搜索步数增多,计算量增大所需要的搜索步数增多,计算量增大 第9页,共85页,编辑于2022年,星期三6.1.2 二分法二分法 二分法又称二分区间法二分法又称二分区间法,是求解方程是求解方程(6.1)的近似根的一的近似根的一种常用的简单方法种常用的简单方法.二分法的基本思想二分法的基本思想:首先确定有根区间首先确定有根区间,将区间二等分将区间二等分,通过判断通过判断f(x)的符号的符号,逐步将
8、有根区间缩小逐步将有根区间缩小,直至有根区直至有根区间足够地小间足够地小,便可求出满足精度要求的近似根便可求出满足精度要求的近似根.第10页,共85页,编辑于2022年,星期三 取有根区间取有根区间a,b的中点的中点 将区间分为两个小将区间分为两个小区间区间,然后在然后在a,x0和和x0,b中中确定新的有根区间,记其确定新的有根区间,记其为为a1,b1求根过程求根过程第11页,共85页,编辑于2022年,星期三 对压缩了的有根区间对压缩了的有根区间 施行同样的手法施行同样的手法,即取中点即取中点 ,将区间将区间 再分为两半再分为两半,然然 后再确定有根区间后再确定有根区间 ,其长度是其长度是
9、的的 二分之一二分之一 如此反复下去如此反复下去,若不出现若不出现 ,即可得出一即可得出一 系列有根区间序列:系列有根区间序列:上述每个区间都是前一个区间的一半上述每个区间都是前一个区间的一半,因此因此 的长度的长度 当当k时趋于零时趋于零,这些区间最终收敛于一点这些区间最终收敛于一点x*即为即为 所求的根所求的根.第12页,共85页,编辑于2022年,星期三每次二分后每次二分后,取有根区间取有根区间 的中点的中点作为根的近似值作为根的近似值,得到一个近似根的序列得到一个近似根的序列 该序列以根该序列以根x*为极限为极限 只要二分足够多次只要二分足够多次(即即k足够大足够大),便有便有这里这里
10、为给定精度为给定精度,由于由于 ,则则 (6.2)第13页,共85页,编辑于2022年,星期三当给定精度当给定精度0 0后后,要想要想 成立成立,只要只要取取k满足满足 即可即可,亦即当亦即当:时时,计算得到的计算得到的 就是满足精度要求的近似根就是满足精度要求的近似根.在程序中通常用相邻的在程序中通常用相邻的 与与 的差的绝对的差的绝对值或值或 与与 的差的绝对值是否小于的差的绝对值是否小于来决定来决定二分区间的次数二分区间的次数.第14页,共85页,编辑于2022年,星期三 二二分分法法算算法法实实现现第15页,共85页,编辑于2022年,星期三例例6.2求求方程方程f(x)=x3-x-1
11、=0在区间在区间1.0,1.5内内 的一的一 个实根个实根,使误差不超过使误差不超过0.510-2.第16页,共85页,编辑于2022年,星期三且且f(x)在在2,3上连续上连续,故方程故方程f(x)=0在在2,3内内至少有至少有一个根一个根.证明证明 令令 由由例例6.3 证明方程证明方程 在区间在区间2,3内有一个根内有一个根,使用二分法求误差不超过使用二分法求误差不超过0.510-3 的根要二的根要二 分多少次?分多少次?又又 当当 时时故故f(x)在在2,3上是单调递增函数上是单调递增函数,从而从而f(x)在在2,3上有且仅有一根上有且仅有一根.第17页,共85页,编辑于2022年,星
12、期三 误差限为误差限为 只要取只要取k满足满足 即可即可,亦即亦即 所以需二分所以需二分1010次便可达到要求次便可达到要求.给定误差限给定误差限 0.510-3,使用二分法时使用二分法时第18页,共85页,编辑于2022年,星期三二分法的优点是不管有根区间二分法的优点是不管有根区间 多大多大,总能求出满总能求出满足精度要求的根足精度要求的根,且对函数且对函数f(x)的要求不高的要求不高,只要连续即可只要连续即可,计计算亦简单算亦简单;它的局限性是只能用于求函数的它的局限性是只能用于求函数的实根实根,不能用于求复根不能用于求复根及重根及重根,它的收敛速度与比值为它的收敛速度与比值为 的等比级数
13、相同的等比级数相同.第19页,共85页,编辑于2022年,星期三6.2 迭代法迭代法6.2.1 迭代法过程的收敛性迭代法过程的收敛性 为求解非线性方程为求解非线性方程f(x)=0的根的根,先将其写成便于迭代的先将其写成便于迭代的等价方程等价方程 (6.3)其中其中 为为x的连续函数的连续函数.即即第20页,共85页,编辑于2022年,星期三 任取一个初值任取一个初值 代入式代入式 的右端的右端,得到得到 再将再将 代入式代入式 的右端的右端,得到得到式式(6.3)称为求解非线性方程的称为求解非线性方程的简单迭代法简单迭代法,称称 为为迭代迭代函数函数.(6.4)依此类推依此类推,得到一个数列得
14、到一个数列如果由迭代格式如果由迭代格式 产生的序列产生的序列 收敛收敛,即即 则称迭代法收敛则称迭代法收敛.此时此时x*就是方程就是方程f(x)=0的根的根.第21页,共85页,编辑于2022年,星期三迭代法的几何意义迭代法的几何意义 通常将方程通常将方程f(x)=0化为与它同解的方程化为与它同解的方程的方法不止一种的方法不止一种,有的收敛有的收敛,有的不收敛有的不收敛,这取决于这取决于 的性的性态态,方程方程 的求根问题在几何上就是确定曲线的求根问题在几何上就是确定曲线y=与直线与直线y=x的交点的交点P*的横坐标的横坐标(下图所示下图所示)(a)(b)第22页,共85页,编辑于2022年,
15、星期三第23页,共85页,编辑于2022年,星期三例例6.4 用迭代法求方程用迭代法求方程 在在x=1.5附近的一个根附近的一个根解解 将方程改写成如下两种等价形式将方程改写成如下两种等价形式 相应地可得到两个迭代公式相应地可得到两个迭代公式如果取初始值如果取初始值 1.51.5,用上述两个迭代公式分用上述两个迭代公式分别迭代别迭代,计算结果计算结果第24页,共85页,编辑于2022年,星期三kxk012345671.51.357211.330861.325881.324941.324761.324731.32472收敛!发散!第25页,共85页,编辑于2022年,星期三迭代法收敛的条件迭代法
16、收敛的条件 对方程对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式可以构造不同的迭代公式,但迭代公式但迭代公式并非总是收敛并非总是收敛.那么那么,当迭代函数当迭代函数 满足什么条件时满足什么条件时,相应的迭代公式才收敛呢?即使迭代收敛时相应的迭代公式才收敛呢?即使迭代收敛时,我们也我们也不可能不可能迭代很多次迭代很多次,而是迭代有限次后就停止而是迭代有限次后就停止,这就需要估计迭这就需要估计迭代值的误差代值的误差,以便适时终止迭代以便适时终止迭代.第26页,共85页,编辑于2022年,星期三定理定理6.1 假定假定函数函数 在在a,b上具有连续的一阶导上具有连续的一阶导数数,且满足下列两项条件:且满足
17、下列两项条件:对任意的对任意的xa,b 有有 a,b,存在存在 0 L 1,使所有的使所有的xa,b,有有 L1则方程则方程 在在a,b上的解上的解 存在且唯一存在且唯一,且对任意的且对任意的 a,b,迭代过程迭代过程 均收敛于均收敛于 .并有误差并有误差估计式估计式(6.5)(6.6)第27页,共85页,编辑于2022年,星期三定定理理6.1 假假定定函函数数 在在a,b上上连连续续,且且满满足足下下列列两两项项条件:条件:对任意的对任意的xa,b 有有 a,b,存在存在 0 L 1,使所有的使所有的 a,b,有有则方程则方程 在在a,b上的解上的解 存在且唯一存在且唯一,且对任意且对任意的
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