第五章特征值问题PPT讲稿.ppt

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1、第五章特征值问题第1页，共154页，编辑于2022年，星期三 特征值问题特征值问题在各个层次的理论和应用上都非常在各个层次的理论和应用上都非常重要。重要。泛函分析泛函分析中，矩阵的特征值就是对应的线性中，矩阵的特征值就是对应的线性算子的算子的谱谱。工程应用中，谱分析、傅立叶分析、振。工程应用中，谱分析、傅立叶分析、振动分析等都与特征值问题有密切关系。动分析等都与特征值问题有密切关系。特征值问题也是特征值问题也是矩阵分析矩阵分析以及以及数值线性代数数值线性代数的的研究重点。已经有大量结论、算法和相关软件。研究重点。已经有大量结论、算法和相关软件。第2页，共154页，编辑于2022年，星期三第一章

2、就已经提到，按第一章就已经提到，按“变换变换”的观点，线性方程组的观点，线性方程组 可理解为可理解为一、特殊的变换：一、特殊的变换：特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念1、方阵的特征值与特征向量、方阵的特征值与特征向量第3页，共154页，编辑于2022年，星期三显然显然“变换变换”或或“算子算子”越特殊，越特殊，与与 的关的关系越简单。两向量平行显然是一种简单关系，此时系越简单。两向量平行显然是一种简单关系，此时像像 与原像与原像 成成倍数倍数关系。如果对某些关系。如果对某些原像原像，变，变换后的换后的像像也具有这样的结果，自然极佳。也具有这样的结果，自然极佳。第4页，共154页，编辑

3、于2022年，星期三定义定义1 1 是是 阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在 维维非零非零列向列向量量 及数及数 （实数或复数），使（实数或复数），使 则称数则称数 为为 的的特征值（特征值（eigenvalue），），称非零向称非零向量量 为为 的属于的属于 的的特征向量特征向量(eigenvector),或简或简洁地称洁地称 为为 的的特征对特征对(eigenpair)。显然显然 时也有时也有第5页，共154页，编辑于2022年，星期三例例 2 2 对任意对任意 ，显然，显然例例 3 3 如果有如果有所以所以 为单位矩阵为单位矩阵 的特征对。的特征对。可解得可解得 为任意非零实数；为任意非零

4、实数；或者或者 为任意非零实数。为任意非零实数。从形而从形而下到形下到形而上而上第6页，共154页，编辑于2022年，星期三式可改写为式可改写为这样满足这样满足 式的全体式的全体 的集合就是满足的集合就是满足 式的式的解空间解空间 。所以我们称。所以我们称为为 对应于对应于 的的特征子空间特征子空间。第7页，共154页，编辑于2022年，星期三由于由于 是是 阶方阵，按齐次方程组的理论，阶方阵，按齐次方程组的理论，有非零解的充要条件是系数行列式为零，即有非零解的充要条件是系数行列式为零，即为为 的的特征多项式特征多项式。我们称我们称 为为 的的特征方程特征方程，并称系数行列式，并称系数行列式

5、第8页，共154页，编辑于2022年，星期三展开展开 ，可得首项系数为，可得首项系数为 的关于的关于 的一的一元元 次多项式。这样行列式的问题就变成了方程的次多项式。这样行列式的问题就变成了方程的问题。问题。求矩阵求矩阵 的特征值就变成了求特征多项式的特征值就变成了求特征多项式 的零点即特征方程的根（的零点即特征方程的根（特征根）。特征根）。第9页，共154页，编辑于2022年，星期三 二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法由前所述，可总结出求解矩阵特征对的步骤：由前所述，可总结出求解矩阵特征对的步骤：（1）解特征方程解特征方程 ，求出其全部特征，求出其全部特征根，即根，即 的全

6、部的全部特征值特征值。（2）针对每一个特征值针对每一个特征值 ，分别解线性方程组，分别解线性方程组每个方程组的基础解系就是该特征值对应的每个方程组的基础解系就是该特征值对应的特征向特征向量量。第10页，共154页，编辑于2022年，星期三例例 4 4 求上三角阵求上三角阵 的特征对，其中的特征对，其中第11页，共154页，编辑于2022年，星期三解解：由由 ，即，即得得 的三个特征值为的三个特征值为（三角阵的特征值为其主对角线上的元素三角阵的特征值为其主对角线上的元素）第12页，共154页，编辑于2022年，星期三当当 时，解方程组时，解方程组 ，由，由所以所以 取任意实数，取任意实数，因此特

7、征值，因此特征值 对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为即即 对应的特征子空间为对应的特征子空间为第13页，共154页，编辑于2022年，星期三当当 时，解方程组时，解方程组 ，由，由解得解得所以所以 对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为第14页，共154页，编辑于2022年，星期三当当 时，解方程组时，解方程组 ，由，由解得解得所以所以 对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为第15页，共154页，编辑于2022年，星期三%ex5104.m A=1 6 5;0 2 4;0 0 3V,D=eig(A)使用内置函数使用内置函数eigV=V=1.0000 0.9864 0.9619 1.00

8、00 0.9864 0.9619 0 0.1644 0.2653 0 0.1644 0.2653 0 0 0.0663 0 0 0.0663D=D=1 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 3 0 0 3第16页，共154页，编辑于2022年，星期三%ex5104.m（续）（续）A=1 6 5;0 2 4;0 0 3P,D=MyEig(A)使用自定义函数使用自定义函数MyEigP=P=14.5000 6.0000 1.0000 14.5000 6.0000 1.0000 4.0000 1.0000 0 4.0000 1.0000 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0D=

9、D=3.0000 0 0 3.0000 0 0 0 2.0000 0 0 2.0000 0 0 0 1.0000 0 0 1.0000不计顺序，两不计顺序，两者结果一致！者结果一致！第17页，共154页，编辑于2022年，星期三%MyEig.mfunction V,D=MyEig(A)%只能处理特殊类型的矩阵只能处理特殊类型的矩阵%为输入矩阵，为输入矩阵，V为特征向量矩阵，为特征向量矩阵，D为特征值矩阵为特征值矩阵n=size(A);f=poly(A);%求特征多项式求特征多项式r=roots(f);r=r;%求特征根求特征根D=diag(r);V=;for i=1:n B=A-r(i)*ey

10、e(n);P=null(B,r);%求基础解系中的求基础解系中的“有理有理”基向量基向量 V=V P;end第18页，共154页，编辑于2022年，星期三例例 5 5 求矩阵求矩阵 的特征对，其中的特征对，其中第19页，共154页，编辑于2022年，星期三解解：由由 ，即，即得得 的三个特征值为的三个特征值为第20页，共154页，编辑于2022年，星期三当当 时，解方程组时，解方程组 ，由，由因此因此 取任意实数。取任意实数。所以所以 对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为第21页，共154页，编辑于2022年，星期三当当 时，解方程组时，解方程组 ，由，由解得解得所以所以 对应的全部特征向

11、量为对应的全部特征向量为第22页，共154页，编辑于2022年，星期三%ex5105.mA=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2V,D=eig(A)使用内置函数使用内置函数eigV=V=0 0.4082 0 0.4082 0.40820.4082 0 0.8165 0 0.8165 0.81650.8165 1.0000 -0.4082 1.0000 -0.4082 -0.4082-0.4082D=D=2 0 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1计算结果不准计算结果不准确，因为确，因为V和和D的第三列不的第三列不正确！正确！第23页，共154页，编辑于2022年，星

12、期三%ex5105.m（续）（续）A=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2P,D=MyEig(A)使用自定义函数使用自定义函数MyEigP=P=0 -1.0000 0 -1.0000 -1.0000-1.0000 0 -2.0000 0 -2.0000 -2.0000-2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00001.0000D=D=2.0000 0 2.0000 0 0 0 0 1.0000 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.00001.0000计算结果也不计算结果也不准确，因为准确，因为V和和D的第三列的第三列也不正确！也不正确！第24页，

13、共154页，编辑于2022年，星期三%MyEig.m 中增加的代码中增加的代码%为了输出美观，针对计算误差导致特征值出现很小的虚部，加入了下列代码为了输出美观，针对计算误差导致特征值出现很小的虚部，加入了下列代码if imag(r)1e-6%r的虚部小于的虚部小于1e-6时略去其虚部时略去其虚部 r=real(r)end第25页，共154页，编辑于2022年，星期三%ex5105.m（续）（续）A=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2Q,J=jordan(A)使用内置函数使用内置函数jordanQ=Q=0 -2 1 0 -2 1 0 -4 0 0 -4 0 -1 2 1 -1 2 1J=J=

14、2 0 0 2 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1计算结果准确，计算结果准确，因为此时矩阵因为此时矩阵A的标准型已升级的标准型已升级为为Jordan标准型标准型！第26页，共154页，编辑于2022年，星期三定义定义6 6 是是 的一个特征值。称的一个特征值。称 在特征方在特征方程程 中出现的重数为特征值中出现的重数为特征值 的的代数代数重数，重数，记为记为 ；称特征子空间的维数，即齐次方；称特征子空间的维数，即齐次方程组程组 的解空间的解空间 的维的维数数 为为 的的几几何重数何重数 ,记为记为 。第27页，共154页，编辑于2022年，星期三显然显然例例4 4中中例例5

15、 5中中像像 这样的特征值称为这样的特征值称为亏损特征值亏损特征值。第28页，共154页，编辑于2022年，星期三例例 7 7 求对称矩阵求对称矩阵 的特征对，其中的特征对，其中第29页，共154页，编辑于2022年，星期三解解：由由 ，即，即得得 的三个特征值为的三个特征值为第30页，共154页，编辑于2022年，星期三当当 时，解方程组时，解方程组 ，由，由解得解得所以所以 对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为第31页，共154页，编辑于2022年，星期三当当 时，解方程组时，解方程组 ，由，由解得解得所以所以 对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为令令 不全为零。不全为零。第32页

16、，共154页，编辑于2022年，星期三%ex5107.mA=1 2 2;2 1 2;2 2 1V,D=eig(A)使用内置函数使用内置函数eigb1=-1;1;0;b2=-1;0;1;%手算结果手算结果UC,ip=rref(V b1 b2)%UC的最后两列说明的最后两列说明b1，b2%是是V的前两列的线性组合的前两列的线性组合V=V=0.6206 0.5306 0.5774 0.6206 0.5306 0.5774 0.1492 -0.8027 0.5774 0.1492 -0.8027 0.5774 -0.7698 0.2722 0.5774 -0.7698 0.2722 0.5774D=D

17、=-1.0000 0 0 -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 -1.0000 0 0 0 5.0000 0 0 5.0000计算结果是正确的，虽然计算结果是正确的，虽然V的前两列与的前两列与手算结果不同手算结果不同！第33页，共154页，编辑于2022年，星期三%ex5107.m（续）（续）A=1 2 2;2 1 2;2 2 1P,D=MyEig(A)使用自定义函数使用自定义函数MyEigP=P=-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 1

18、.0000 0 0 1.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 1.0000D=D=2.0000 0 0 2.0000 0 0 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 1.0000计算结果异计算结果异常，常，5的特征的特征向量向量“漏算漏算”，而，而1的特征的特征向量却向量却“重重算算”了了！第34页，共154页，编辑于2022年，星期三%MyEig.m 中增加的代码中增加的代码 if det(B)1e-12%可能出现计算误差可能出现计算误差 B=rref(B,1e-12)%保证矩阵保证矩阵B的奇异性的奇异性 endP=P=1.00001.0000

19、-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 1.00001.0000 1.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 1.00001.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 1.0000“漏算漏算”的的补上了补上了！第35页，共154页，编辑于2022年，星期三%本例中对本例中对MyEig.m 中修改的代码中修改的代码 for i=1:n-1P=P=1.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 1.0

20、000 0 1.0000 1.0000 0 1.0000 0 1.0000 1.0000 0 1.0000“重算重算”的的去掉了去掉了！第36页，共154页，编辑于2022年，星期三值得一提的是，由于五次及以上的方程没有公式解或值得一提的是，由于五次及以上的方程没有公式解或有限步的算法，所以数值软件中的特征值算法（诸如有限步的算法，所以数值软件中的特征值算法（诸如Jacobi 法、法、QR算法等）采用的是另外的思路算法等）采用的是另外的思路,有一些有一些与下节内容有关。与下节内容有关。第37页，共154页，编辑于2022年，星期三 三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质这里这里

21、称为矩阵称为矩阵 的的迹迹。性质性质1 1：设设 阶方阵阶方阵 的特征值为的特征值为 ，则必有，则必有第38页，共154页，编辑于2022年，星期三证明证明证明证明:（1 1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有恒根据多项式因式分解与方程根的关系，有恒等式等式以以 代入上式，即得代入上式，即得第39页，共154页，编辑于2022年，星期三根据性质（根据性质（1 1），显然当），显然当 时时从而所有的特征值从而所有的特征值推论推论1 1：矩矩阵阵 可逆的可逆的充要条件充要条件是零不为是零不为 的的一个特征值（或者说一个特征值（或者说 没有没有零特征值零特征值）。也就是说，）。也就是说，当矩阵当矩

22、阵 不可逆时，至少有一个特征值为零。不可逆时，至少有一个特征值为零。第40页，共154页，编辑于2022年，星期三矩阵可逆的等价命题（矩阵可逆的等价命题（VI）设设 是是 方阵，则下列命题等价方阵，则下列命题等价。（a）是可逆矩阵。是可逆矩阵。（o）数数 0 不是不是 的特征的特征值值。第41页，共154页，编辑于2022年，星期三证明证明证明证明:（2 2）比较上述恒等式两端比较上述恒等式两端 的系数的系数。上述恒等式两端同次幂的系数必相等，因此上述恒等式两端同次幂的系数必相等，因此得证得证。右端右端：的系数是的系数是左端左端：含：含 的项必来自于的项必来自于 的对角的对角元的乘积项元的乘积

23、项因而因而 的系数是的系数是第42页，共154页，编辑于2022年，星期三如果有如果有 ，显然，显然 由归纳法，对任意正整数由归纳法，对任意正整数 ，第43页，共154页，编辑于2022年，星期三一般地，我们有性质一般地，我们有性质性质性质 2 2（谱映射定理）（谱映射定理）设设 阶方阵阶方阵 有特征对有特征对 ，则与多项式，则与多项式相对应的相对应的 的的矩阵多项式矩阵多项式有特征对有特征对第44页，共154页，编辑于2022年，星期三例例 8 8 已知三阶矩阵已知三阶矩阵 的特征对为的特征对为 求矩阵求矩阵 的特征对。的特征对。第45页，共154页，编辑于2022年，星期三解解：令令因此因

24、此 的三个特征对为的三个特征对为则则即即第46页，共154页，编辑于2022年，星期三性质性质 3 3：阶方阵阶方阵 与与 的特征值相同，但的特征值相同，但特征向量却未必相同。特征向量却未必相同。由于由于证明证明:所以所以 与与 有相同的特征多项式，从而有相同有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。的特征值。第47页，共154页，编辑于2022年，星期三若取若取显然显然 与与 的特征值为的特征值为但是但是 的特征向量为的特征向量为而而 的特征向量为的特征向量为显然不同。显然不同。第48页，共154页，编辑于2022年，星期三性质性质4 4：阶阶可逆可逆方阵方阵 有特征对有特征对 的的充要充要条

25、件条件是是 有特征对有特征对 或或 有特征对有特征对 。第49页，共154页，编辑于2022年，星期三证明证明:因此因此 因为因为 可逆，所以可逆，所以 且且 。同理同理第50页，共154页，编辑于2022年，星期三例例9 9*已知已知 是矩阵是矩阵的逆矩阵的逆矩阵 的特征向量，求常数的特征向量，求常数 的值。的值。第51页，共154页，编辑于2022年，星期三解解：知知由由因此因此 也是也是 的特征向量。的特征向量。解得解得第52页，共154页，编辑于2022年，星期三%ex5109.m%直接用矩阵直接用矩阵A的逆矩阵来建立方程的逆矩阵来建立方程syms k t1%t1为为A的逆矩阵的特征值

26、的逆矩阵的特征值A=2 1 1;1 2 1;1 1 2;B=inv(A);b=1;k;1;eq1=sym(B(1,:)*b-t1);%sym(f)创建符号方程创建符号方程f=0，这里为，这里为1/2-k/4-t=0eq2=sym(B(2,:)*b-k*t1);eq3=sym(B(3,:)*b-t1);k t1=solve(eq1,eq2,eq3);%求解符号方程组求解符号方程组k=k=-2 -2 1 1 t 1=t 1=1 1 1/4 1/4用用solve求解方程，如果得不到解析求解方程，如果得不到解析解，解，matlab将返回数值解！将返回数值解！第53页，共154页，编辑于2022年，星期

27、三%ex5109.m（续）（续）%间接用矩阵间接用矩阵A来建立方程来建立方程syms k t2%t2为为A的逆矩阵的特征值的逆矩阵的特征值A=2 1 1;1 2 1;1 1 2;b=1;k;1;eq1=sym(A(1,:)*b-t2);%sym(f)创建符号方程创建符号方程f=0，这里为，这里为3+k-t2=0eq2=sym(A(2,:)*b-k*t2);eq3=sym(A(3,:)*b-t2);k t2=solve(eq1,eq2,eq3);%求解符号方程组求解符号方程组k=k=1 1 -2 -2t=t=4 4 1 1注意注意t2=1/t1!第54页，共154页，编辑于2022年，星期三由归

28、纳法，由归纳法，如果如果 ,则矩阵则矩阵 可逆，并且可逆，并且第55页，共154页，编辑于2022年，星期三一般地，我们有性质一般地，我们有性质推论推论 2 2：设设 阶阶可逆可逆方阵方阵 有特征对有特征对 ，则与多项式则与多项式相对应的相对应的 的的矩阵多项式矩阵多项式有特征对有特征对第56页，共154页，编辑于2022年，星期三例例1010 已知三阶矩阵已知三阶矩阵 的特征对为的特征对为 求矩阵求矩阵 的特征对。的特征对。第57页，共154页，编辑于2022年，星期三解解：令令因此因此 的三个特征对为的三个特征对为则则即即第58页，共154页，编辑于2022年，星期三性质性质5 5（相异特

29、征值对应的特征向量必无关相异特征值对应的特征向量必无关）设设方阵方阵 有有 个特征对个特征对 ，且且 互不相等，则互不相等，则 线性无线性无关。关。第59页，共154页，编辑于2022年，星期三证法一证法一证法一证法一:*（反证法（反证法（反证法（反证法）设设 线性相关。线性相关。不妨设其最大无关组为不妨设其最大无关组为所以所以 必线性相关。必线性相关。因此因此 必可由必可由 线性表示。线性表示。所以存在不全为零的数所以存在不全为零的数 ，使，使上式两边分别左乘上式两边分别左乘 及乘以及乘以 ，得，得第60页，共154页，编辑于2022年，星期三因为因为 不全为零，不全为零，所以所以 线性相关

30、。与其为最大无关组相矛盾。线性相关。与其为最大无关组相矛盾。即即及及上边两式相减，得上边两式相减，得第61页，共154页，编辑于2022年，星期三证法二证法二证法二证法二:*（范德蒙德行列式法）（范德蒙德行列式法）（范德蒙德行列式法）（范德蒙德行列式法）设有数设有数 ，使，使上式两边分别左乘上式两边分别左乘 ，得，得即有即有一般地，有一般地，有把上列各式合写成矩阵形式，即得把上列各式合写成矩阵形式，即得第62页，共154页，编辑于2022年，星期三上式左边第二个矩阵为范得蒙德矩阵，当各上式左边第二个矩阵为范得蒙德矩阵，当各 互不互不相等时，其行列式不为零，此矩阵可逆，故相等时，其行列式不为零，

31、此矩阵可逆，故所以所以 线性无关。线性无关。第63页，共154页，编辑于2022年，星期三到目前为止，我们一直将到目前为止，我们一直将线性变换线性变换与与矩阵矩阵混为一谈，这样混为一谈，这样做的好处是给做的好处是给抽象抽象的线性变换提供了的线性变换提供了直观直观形象的矩阵表示。形象的矩阵表示。现在到了该区别的时候了。现在到了该区别的时候了。2、相似矩阵相似矩阵从重要性来讲，从重要性来讲，相似变换可以说是最重要的线性变换相似变换可以说是最重要的线性变换，它具有许多良好的性质。正是利用相似变换，我们才它具有许多良好的性质。正是利用相似变换，我们才能将任意矩阵变换到特殊矩阵，从而彻底弄清了矩阵能将任

32、意矩阵变换到特殊矩阵，从而彻底弄清了矩阵的结构。的结构。第64页，共154页，编辑于2022年，星期三将将原像原像 映射为映射为像像 。定义在定义在 维向量空间维向量空间 上的线性变换上的线性变换 ：显然显然 的基的基 被映射为被映射为 。由于由于 仍然是基仍然是基 的线性组合，所以令的线性组合，所以令 第65页，共154页，编辑于2022年，星期三这里，矩阵这里，矩阵称为称为线性变换线性变换 (在基在基 下下)的矩阵表示的矩阵表示。使用矩阵语言，则有使用矩阵语言，则有第66页，共154页，编辑于2022年，星期三当基改变后，线性变换的表示矩阵是否改变呢？当基改变后，线性变换的表示矩阵是否改变

33、呢？设设 为为 维向量空间维向量空间 上的线性变换，对于上的线性变换，对于 的基的基 和和 的矩阵表示分别的矩阵表示分别是是 和和 ，并且基，并且基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 ，即有：，即有：第67页，共154页，编辑于2022年，星期三则则故故T是线性变换是线性变换第68页，共154页，编辑于2022年，星期三 定义定义1 1 对对 阶矩阵阶矩阵 和和 ，如果存在，如果存在 阶可阶可逆矩阵（即满秩矩阵）逆矩阵（即满秩矩阵），使，使则称则称 与与 相似相似，或，或 相似于相似于 。按变换的观点，。按变换的观点，则称则称相似变换矩阵相似变换矩阵 将将 相似变换相似变换为为 。据此定义可

34、知，当基改变后，线性变换的表示矩阵也改变。据此定义可知，当基改变后，线性变换的表示矩阵也改变。但这些表示矩阵是相似的，相似变换矩阵就是基间的过渡矩但这些表示矩阵是相似的，相似变换矩阵就是基间的过渡矩阵。阵。第69页，共154页，编辑于2022年，星期三由于矩阵由于矩阵 可逆，所以可逆，所以 和和 都是一系列初等都是一系列初等矩阵的乘积，因此矩阵的乘积，因此相似变换是特殊的矩阵等价变换相似变换是特殊的矩阵等价变换，即相似矩阵也是等价矩阵，满足等价关系，具有即相似矩阵也是等价矩阵，满足等价关系，具有等价等价关系的三性（反身性、对称性和传递性），关系的三性（反身性、对称性和传递性），即即性质性质1

35、1：（反身性反身性）与与 相似。相似。性质性质2 2：（：（对称性对称性）若若 与与 相似，则相似，则 与与 相似。相似。性质性质3 3：（：（传递性传递性）若）若 与与 相似相似 ，与与 相似，则相似，则 与与 相似。相似。第70页，共154页，编辑于2022年，星期三性质性质4 4：（多项式相似多项式相似）若若 与与 相似，则相似，则矩阵多项式矩阵多项式与与相似。这里相似。这里相似矩阵还有以下性质：相似矩阵还有以下性质：第71页，共154页，编辑于2022年，星期三一般地，一般地，显然，由显然，由 知知证明证明证明证明:因此因此第72页，共154页，编辑于2022年，星期三性质性质5 5：

36、（转置相似转置相似）与与 相似的充要条件是相似的充要条件是 与与 相似。相似。性质性质6 6：（逆相似、伴随相似逆相似、伴随相似）、是同阶可逆矩阵。则是同阶可逆矩阵。则 与与 相似的充要相似的充要条件是条件是 与与 相似相似 或或 与与 相似。相似。第73页，共154页，编辑于2022年，星期三性质性质7 7：（相似矩阵的特征值是相似矩阵的特征值是相似不变量相似不变量）若若 与与 相似，则相似，则 与与 有相同的特征多项式，有相同的特征多项式，因而有相同的特征值，而且因而有相同的特征值，而且特征值的重数特征值的重数也相同。也相同。推论推论1 1：若若 与与 相似，则相似，则 。推论推论2 2：

37、若若 与与 相似，则相似，则 。这说明相似矩阵的迹、行列式也是相似不变量这说明相似矩阵的迹、行列式也是相似不变量(它们实它们实际上都是特征值的函数际上都是特征值的函数)。西尔维斯特对相似不变西尔维斯特对相似不变量的贡献使得他曾自诩为量的贡献使得他曾自诩为“数学界的亚当数学界的亚当”。第74页，共154页，编辑于2022年，星期三但是但是：性质性质7及其推论的逆命题不成立及其推论的逆命题不成立。例如例如 的特征多项式都为的特征多项式都为但是对任意可逆矩阵但是对任意可逆矩阵 ，有，有故故 不相似不相似。第75页，共154页，编辑于2022年，星期三思考思考相似矩阵的相似矩阵的秩秩是否相同？是否相同

38、？相同！相同！第76页，共154页，编辑于2022年，星期三可以证明，可以证明，任意方阵与三角阵相似任意方阵与三角阵相似(Schur,1909Schur,1909).更特更特别地，别地，任意方阵相似于任意方阵相似于Jordan块对角阵块对角阵（参见教材第五（参见教材第五章第四节）。章第四节）。根据性质根据性质7 7，欲求一般矩阵，欲求一般矩阵 的特征值时，显然的特征值时，显然可对之进行相似变换，将可对之进行相似变换，将 变换成特殊矩阵。由于变换成特殊矩阵。由于三角阵的特征值就是其对角元，而相似变换不改变特三角阵的特征值就是其对角元，而相似变换不改变特征多项式以及特征值，因此可求出矩阵征多项式以

39、及特征值，因此可求出矩阵 的特征值。的特征值。第77页，共154页，编辑于2022年，星期三但在但在“线代线代”中，我们只研究下面的这类特殊矩阵：中，我们只研究下面的这类特殊矩阵：定义定义2 2 如果矩阵如果矩阵 相似于对角阵，则称矩阵相似于对角阵，则称矩阵 可可对角化对角化，或，或 是是可对角化矩阵可对角化矩阵，也称，也称 是非亏损阵是非亏损阵。第78页，共154页，编辑于2022年，星期三那么，什么样的矩阵可对角化呢？我们从定义入手。那么，什么样的矩阵可对角化呢？我们从定义入手。若矩阵若矩阵 可对角化，则存在可逆阵可对角化，则存在可逆阵 及对角阵及对角阵 ，使，使得得 ，即，即 。如果令。

40、如果令则则 。将。将 写成写成第79页，共154页，编辑于2022年，星期三即即所以所以 为为 的特征对。的特征对。由于由于 可逆，所以可逆，所以 线性无关。故线性无关。故 定理定理3 3 阶方阵阶方阵 可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 有有 个线性无关的特征向量（即有个线性无关的特征向量（即有完整特征系统完整特征系统）。）。第80页，共154页，编辑于2022年，星期三证明证明:前面已经证明了前面已经证明了必要性必要性。现证。现证充分性充分性。设设 为为 的特征对。的特征对。这里这里 线性无关。线性无关。则则令令由于由于 线性无关，所以线性无关，所以 可逆，故可逆，故第81页，共15

41、4页，编辑于2022年，星期三故故第82页，共154页，编辑于2022年，星期三推广到多项式相似，显然可有推广到多项式相似，显然可有由由显然有显然有我们称此式为矩阵我们称此式为矩阵 的的相似标准形分解相似标准形分解，称三角，称三角阵阵 为矩阵为矩阵 的的相似标准形相似标准形。按变换观点，称相。按变换观点，称相似矩阵似矩阵 将将 相似对角化相似对角化为为 。第83页，共154页，编辑于2022年，星期三我们得到了计算可对角阵高次幂的简单方法。这个我们得到了计算可对角阵高次幂的简单方法。这个方法显然比第一章提到的方法显然比第一章提到的归纳法归纳法和和二项展开式法二项展开式法更有普适性，即应用范围更

42、广。同时其推导方法也更有普适性，即应用范围更广。同时其推导方法也可以推广到任意两个相似的矩阵。可以推广到任意两个相似的矩阵。第84页，共154页，编辑于2022年，星期三例例 4 4求：求：（1）的值；的值；已知矩阵已知矩阵 与与 相似，其中相似，其中（2）可逆阵可逆阵 ，使，使 ；（3）。第85页，共154页，编辑于2022年，星期三解解：即即（1）因为因为 与与 相似，所以由性质相似，所以由性质7的推论，的推论，可知可知解得解得由于由于第86页，共154页，编辑于2022年，星期三（2）显然显然 的特征值为的特征值为因为因为 相似，所以这也是相似，所以这也是 的特征值。的特征值。对对 ，解

43、方程组，解方程组 ，得基础，得基础解系解系 对对 ，解方程组，解方程组 ，得基础解，得基础解系系 对对 ，解方程组，解方程组 ，得基础，得基础解系解系第87页，共154页，编辑于2022年，星期三令令经验算，确实成立经验算，确实成立第88页，共154页，编辑于2022年，星期三（3）因为因为所以所以从而从而第89页，共154页，编辑于2022年，星期三%ex5204.m%用用solve求符号代数方程组求符号代数方程组syms a bA=2 0 0;0 a 2;0 2 3;B=diag(2 1 b);eq1=sym(trace(A)-trace(B)%sym(f)创建符号方程创建符号方程f=0e

44、q2=sym(det(A)-det(B)a b=solve(eq1,eq2)%求解符号方程组求解符号方程组a a=3 3b b=5 5用用solve求解方程，如果得不到解析求解方程，如果得不到解析解，解，matlab将返回数值解！将返回数值解！第90页，共154页，编辑于2022年，星期三%ex5204.m（续）（续）A=2 0 0;0 3 2;0 2 3;B=diag(2 1 5);P D=eig(A);D=D(2 1 3,2 1 3)%将矩阵将矩阵D调整成矩阵调整成矩阵B，行和列的顺序都要调整，行和列的顺序都要调整P=P(:,2 1 3)%对矩阵对矩阵P做相应调整，但只需调整列的顺序做相应

45、调整，但只需调整列的顺序P=P=1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 -0.7071 0.7071 0 -0.7071 0.7071 0 0.7071 0.7071 0 0.7071 0.7071第91页，共154页，编辑于2022年，星期三%ex5204.m（续）（续）syms nA=2 0 0;0 3 2;0 2 3;%An=An%无法计算无法计算%An=power(A,n)%power函数计算的是每个元素的函数计算的是每个元素的n次幂次幂An=expm(n*logm(A)%调用两个内置矩阵函数调用两个内置矩阵函数An=An=exp(6243314768165359*n)/900

46、7199254740992),0,0 exp(6243314768165359*n)/9007199254740992),0,0以下略去以下略去以下略去以下略去结果正确，但无结果正确，但无法化简！法化简！第92页，共154页，编辑于2022年，星期三显然，这个普适性的计算矩阵高次幂的方法，其显然，这个普适性的计算矩阵高次幂的方法，其最大最大的缺点就是计算复杂的缺点就是计算复杂。第93页，共154页，编辑于2022年，星期三根据上一节根据上一节“相异特征值的特征向量必线性无关相异特征值的特征向量必线性无关”以及以及定理定理1，我们可以得到下面的，我们可以得到下面的充分条件充分条件。推论推论1 1

47、 阶方阵阶方阵 的的 个特征值互不相等，则矩个特征值互不相等，则矩阵阵 必可对角化。必可对角化。由于矩阵的特征向量的计算比较麻烦，因此我们希望仅仅由于矩阵的特征向量的计算比较麻烦，因此我们希望仅仅计算出特征值，就能根据特征值的情况确定计算出特征值，就能根据特征值的情况确定矩阵是否可对矩阵是否可对角化角化。第94页，共154页，编辑于2022年，星期三推论推论1的条件毕竟太高，更一般地，考虑到的条件毕竟太高，更一般地，考虑到重特征值重特征值的情的情况，有：况，有：推论推论2 2 阶方阵阶方阵 可对角化的可对角化的充要条件充要条件是对每个是对每个特征值特征值 ,代数重数等于几何重数，即代数重数等于

48、几何重数，即所以，一旦出现亏损特征值所以，一旦出现亏损特征值(几何重数小于代数重数几何重数小于代数重数)，矩阵矩阵必不可对角化，即为必不可对角化，即为亏损阵亏损阵亏损阵亏损阵。但此推论又似乎但此推论又似乎“矫枉过正矫枉过正”，因为确定特征值的几何重数有时需要特征向量的相关知识。，因为确定特征值的几何重数有时需要特征向量的相关知识。这足见特征值问题的困难。这足见特征值问题的困难。第95页，共154页，编辑于2022年，星期三例例 6 6 判断下列矩阵可否对角化：判断下列矩阵可否对角化：第96页，共154页，编辑于2022年，星期三解解：（1 1）为三角阵，其特征值为对角元，即该为三角阵，其特征值

49、为对角元，即该矩阵的特征值为矩阵的特征值为 ，显然三个特征值互，显然三个特征值互不相同，由推论不相同，由推论1知知 必可对角化。必可对角化。（2 2）由上一节由上一节例例5知，知，的代数重数为的代数重数为2，几何，几何重数为重数为1，为矩阵，为矩阵 的亏损特征值，所以根据推论的亏损特征值，所以根据推论1知知 必不可对角化。必不可对角化。第97页，共154页，编辑于2022年，星期三例例 7 7 已知已知 是是3维单位列向量，求对角维单位列向量，求对角矩阵矩阵 ，使得矩阵，使得矩阵 相似于矩阵相似于矩阵 。第98页，共154页，编辑于2022年，星期三解解：由由再由再由因此因此 的一个特征值为的

50、一个特征值为这说明这说明 0 也可能是矩阵的特征值。也可能是矩阵的特征值。知知 或者或者知知第99页，共154页，编辑于2022年，星期三我们觉得这两个特征值不对，可是怎么证明呢？我们觉得这两个特征值不对，可是怎么证明呢？解得解得当当 时，时，注意到注意到 ，所以我，所以我们们从秩入手从秩入手。首先首先，由于，由于 ，因此因此第100页，共154页，编辑于2022年，星期三因此因此 ，即，即其次，其次，其次其次，这说明方程组这说明方程组 解空间的维数为解空间的维数为 1，即矩阵即矩阵 的特征值的特征值1的几何重数为的几何重数为2，因此其代数重，因此其代数重数是数是2或或3.显然这与前面求出的特