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1、结构力学结构静力分析篇1本讲稿第一页，共四十二页结构静力分析篇2本讲稿第二页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-1 3-1 变形与变形能变形与变形能材料力学知识材料力学知识：拉压变形（应变）：拉压变形（应变）：弯曲变形（曲率）：弯曲变形（曲率）：剪切变形（剪切角）：剪切变形（剪切角）：扭转变形（扭转角）：扭转变形（扭转角）：3本讲稿第三页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算微段应变能微段应变能：拉压应变能：拉压应变能：弯曲应变能：弯曲应变能：剪切变形（剪切角）：剪切变形（剪切角）：扭转变形（扭转角）：扭转变形（扭转角）：4本讲稿第四页，共四十二页第三章第三章 结

2、构位移计算结构位移计算3-2 3-2 变形体虚功原理变形体虚功原理3-2-1 3-2-1 变形体虚功原理变形体虚功原理表述表述：任何一个处于平衡状态中的变形体，：任何一个处于平衡状态中的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所做的总虚功力在虚位移时所做的总虚功 We恒等于变形恒等于变形体所接受的总虚变形功体所接受的总虚变形功 Wi。We=Wi5本讲稿第五页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算原理说明：虚功原理中涉及两种状态：变形体处于平衡的力状虚功原理中涉及两种状态：变形体处于平衡的力状态；满足协调的位移状态。态；满足协调的位

3、移状态。虚功原理对任意本构关系的可变形物体都适用虚功原理对任意本构关系的可变形物体都适用 虚功原理对任意结构形式都适用。虚功原理对任意结构形式都适用。虚功原理在受力平衡和位移协调前提下恒有虚功原理在受力平衡和位移协调前提下恒有 We=Wi的结论只是一个必要性命题。的结论只是一个必要性命题。6本讲稿第六页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算 由由虚功原理派生出的虚位移原理和虚力原理是在加虚功原理派生出的虚位移原理和虚力原理是在加进新的条件下的应用，所以多少还是有所区别的。进新的条件下的应用，所以多少还是有所区别的。平衡的变形体上的广义力和相对应的广义位移之平衡的变形体上的广义力和相

4、对应的广义位移之积形成积形成虚功。虚功。“虚虚”表明作功的双方是相互独立表明作功的双方是相互独立无关的。无关的。Wi的表示全部外力（包括外荷载和截面内力）在变的表示全部外力（包括外荷载和截面内力）在变形虚位移上所作功的总和，将它理解为虚内力功是形虚位移上所作功的总和，将它理解为虚内力功是有偏颇的。有偏颇的。7本讲稿第七页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-2-2 3-2-2 杆系结构的虚功方程杆系结构的虚功方程适用于一切杆系结构适用于一切杆系结构8本讲稿第八页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-3 3-3 单位荷载法单位荷载法3-3-1 3-3-1 结构位移

5、结构位移形状的改变称变形；位置的改变称位移形状的改变称变形；位置的改变称位移 AY AX AA无论是线位移还是角位移，无论绝无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还是相对位移统称对位移还是相对位移统称广义位移广义位移AB AX BX AB=AX+BXAAB9本讲稿第九页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-3-2 3-3-2 单位荷载法单位荷载法将待求位移的结构状态视为虚功原理中的将待求位移的结构状态视为虚功原理中的“虚位移状态虚位移状态”；再建立一个与待求广义位移对应的、平衡的力状态。利；再建立一个与待求广义位移对应的、平衡的力状态。利用虚功原理得表达式：用虚功原理得表达式：1

6、0本讲稿第十页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算 是广义力引起的广义内力，也可理解为单位广义力引是广义力引起的广义内力，也可理解为单位广义力引起的内力影响函数，因此其量纲并不是力的量纲。起的内力影响函数，因此其量纲并不是力的量纲。11本讲稿第十一页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-3-3 3-3-3 各种外因下的位移计算公式各种外因下的位移计算公式1 1 仅荷载引起的结构位移仅荷载引起的结构位移2 2 仅支座移动引起的结构位移仅支座移动引起的结构位移3 3 仅温度改变引起的结构位移仅温度改变引起的结构位移12本讲稿第十二页，共四十二页第三章第三章 结构位移计

7、算结构位移计算4 4 其它外因引起的结构位移其它外因引起的结构位移安装误差，弹性支座等因素引起的位移都可以认为安装误差，弹性支座等因素引起的位移都可以认为是杆件产生的变形，利用虚功原理处理。是杆件产生的变形，利用虚功原理处理。5 5 荷载作用下各类结构的位移计算公式荷载作用下各类结构的位移计算公式桁架结构桁架结构刚架及梁刚架及梁小曲率拱小曲率拱13本讲稿第十三页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算6 6 需要注意的问题需要注意的问题 结构是否是线弹性结构结构是否是线弹性结构 位移计算公式中各项的物理意义位移计算公式中各项的物理意义正负号规定：广义力和广义位移同方向，功为正正负号规

8、定：广义力和广义位移同方向，功为正位移计算公式对直杆是精确解；对小曲率杆是近位移计算公式对直杆是精确解；对小曲率杆是近似解；对大曲率杆需考虑曲率影响似解；对大曲率杆需考虑曲率影响14本讲稿第十四页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-4 3-4 图乘法图乘法3-4-1 3-4-1 图乘法原理图乘法原理在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方便。下在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方便。下面寻求一种简单的计算位移的法。面寻求一种简单的计算位移的法。受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：利用图形的静矩原理将利用图形的静矩原理将图形积分图形积分变

9、为变为图形相乘图形相乘称莫尔积分15本讲稿第十五页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算对于直杆对于直杆对直线弯矩图对直线弯矩图对于等刚度杆对于等刚度杆xcxycxyCAB16本讲稿第十六页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-4-2 3-4-2 需要的注意问题需要的注意问题 方法使用条件方法使用条件1 1、等刚直杆、等刚直杆2 2、至少有一直线图、至少有一直线图 和和 y yc c取若在杆轴线同侧，则乘积为正；取若在杆轴线同侧，则乘积为正；反之为负。反之为负。拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解过积分的方式求解

10、应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置形心位置3 3、y yc c应取自直线图中应取自直线图中17本讲稿第十七页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算常见图形面积和形心：常见图形面积和形心：矩矩 形形三角形三角形抛物形抛物形18本讲稿第十八页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-5 3-5 外因引起的位移计算外因引起的位移计算例题例题1 1RFPA19本讲稿第十九页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算例题例题2 2FP=50kNABCl=12mf=4mq=14kNmABCX1=1需要采用数值积分需要采用数值积分

11、求顶点的位移求顶点的位移20本讲稿第二十页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算练习练习FPFP4aaABCDE求求C点竖向位移及点竖向位移及AC杆与杆与CB杆的相对转角杆的相对转角21本讲稿第二十一页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算练习练习求简支梁求简支梁B端转角及梁中点竖向位移端转角及梁中点竖向位移lABq22本讲稿第二十二页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算练习练习求简支刚架求简支刚架B点和点和C点的水平位移点的水平位移lABqlCDEIEI4EI23本讲稿第二十三页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算练习练习求三铰刚架求三铰刚

12、架E点两侧截面的相对转角和点两侧截面的相对转角和E点的竖点的竖向位移向位移l/2ABqlCDEIEI2EIl/2E24本讲稿第二十四页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算练习练习如图支座移动时，求铰如图支座移动时，求铰B两侧的相对转角。两侧的相对转角。lABClABCabc25本讲稿第二十五页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算练习练习如图刚架，内部温度不变，外部温度升高如图刚架，内部温度不变，外部温度升高20，材料线膨胀系数材料线膨胀系数10-5-1，杆截面高度，杆截面高度0.4m，求求B点水平和竖向位移。点水平和竖向位移。l=4mABl=4mCDb+20 Ch2

13、6本讲稿第二十六页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算练习练习如图具有弹性支座的梁，求如图具有弹性支座的梁，求K点点竖向位移。竖向位移。lABCKll27本讲稿第二十七页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算练习练习如图桁架的上弦杆均做长如图桁架的上弦杆均做长8mm，求由此引起的，求由此引起的K点点竖向位移。竖向位移。6 8m8mABCDKEF28本讲稿第二十八页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-6 3-6 互等定理互等定理3-6-1 3-6-1 功的互等定理功的互等定理材料满足线弹性，小变形的假设材料满足线弹性，小变形的假设ABFPq状态状态2

14、2ABMq状态状态1 129本讲稿第二十九页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算功的互等定理功的互等定理：处于平衡且满足协调的两个处于平衡且满足协调的两个状态状态1 1、2 2，状态，状态1 1 的外力在状态的外力在状态2 2 的位移上所的位移上所作的总虚功等于状态作的总虚功等于状态2 2 的外力在状态的外力在状态1 1 的位移的位移上所作的总虚功。上所作的总虚功。30本讲稿第三十页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-6-2 3-6-2 位移互等定理位移互等定理ABFP2状态状态2 212ABFP1状态状态1 12131本讲稿第三十一页，共四十二页第三章第三章

15、结构位移计算结构位移计算位移互等定理位移互等定理：同一结构，在位置同一结构，在位置1 1 作用单作用单位力引起位置位力引起位置2 2 处的位移，等于在位置处的位移，等于在位置2 2 作用作用单位力引起位置单位力引起位置1 1 处的位移。处的位移。ij 表示位移影响系数，或称柔度系数。注意它不具表示位移影响系数，或称柔度系数。注意它不具备位移的量纲。备位移的量纲。ij ji 表示不仅大小相等，而且量纲相同。表示不仅大小相等，而且量纲相同。32本讲稿第三十二页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-6-3 3-6-3 反力互等定理反力互等定理状态状态2 22FR12状态状态1 11F

16、R2133本讲稿第三十三页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算反力互等定理反力互等定理：同一结构，在支座同一结构，在支座1 1 产生单产生单位位移引起支座位位移引起支座2 2 处的反力，等于在支座处的反力，等于在支座2 2 产产生单位位移引起支座生单位位移引起支座1 1 处的反力。处的反力。kij 表示反力影响系数，或称刚度系数。注意它不具表示反力影响系数，或称刚度系数。注意它不具备力的量纲。备力的量纲。kij kji 表示不仅大小相等，而且量纲相同。表示不仅大小相等，而且量纲相同。34本讲稿第三十四页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-6-4 3-6-4 位移

17、反力互等定理位移反力互等定理 *状态状态1 1FP1FR21状态状态2 221235本讲稿第三十五页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算位移反力互等定理位移反力互等定理：同一结构，在位置同一结构，在位置1 1 处处作用单位荷载引起支座作用单位荷载引起支座2 2 处的反力等于支座处的反力等于支座2 2 处处产生单位位移引起位置产生单位位移引起位置1 1 处的位移，唯符号相反。处的位移，唯符号相反。ij kji 表示不仅大小相等，而且量纲相同。表示不仅大小相等，而且量纲相同。36本讲稿第三十六页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-7 3-7 结论与讨论结论与讨论3-

18、7-1 3-7-1 结论结论 变形体虚功原理的前提是平衡的力系，协调的位移，变形体虚功原理的前提是平衡的力系，协调的位移，结论是虚功方程恒成立。它适合于一切变形体。结论是虚功方程恒成立。它适合于一切变形体。广义单位力实质上是个比例系数，不具备力的量广义单位力实质上是个比例系数，不具备力的量纲。纲。注意图乘法的适用条件。一般图形如何分解为几个注意图乘法的适用条件。一般图形如何分解为几个标准图形的叠加。标准图形的叠加。37本讲稿第三十七页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算 各种条件下的位移计算公式应用，注意正负号的各种条件下的位移计算公式应用，注意正负号的取用原则。取用原则。能引起

19、位移的因素很多，但牢记单位荷载法的实能引起位移的因素很多，但牢记单位荷载法的实质是虚功这一核心，可以以不变应万变。质是虚功这一核心，可以以不变应万变。线弹性小变形结构满足虚功互等定理，进而衍生出线弹性小变形结构满足虚功互等定理，进而衍生出位移互等定理、反力互等定理和位移反力互等定理。位移互等定理、反力互等定理和位移反力互等定理。互等表明不仅数值相等而且量纲相同。互等表明不仅数值相等而且量纲相同。38本讲稿第三十八页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算3-7-2 3-7-2 讨论讨论 虚功原理要求力系平衡，位移协调，结论是虚功方程虚功原理要求力系平衡，位移协调，结论是虚功方程恒成立

20、。当改变前提条件时，结论也将改变恒成立。当改变前提条件时，结论也将改变 在给定力系时，如果位移是虚设的、协调的、任在给定力系时，如果位移是虚设的、协调的、任意的，则可以证明虚功方程恒成立的充要条件是力意的，则可以证明虚功方程恒成立的充要条件是力系是平衡的。这一命题称为虚位移原理。系是平衡的。这一命题称为虚位移原理。在给定位移时，如果力系是虚设的、平衡的、任意的，在给定位移时，如果力系是虚设的、平衡的、任意的，则可以证明虚功方程恒成立的充要条件是位移是协调则可以证明虚功方程恒成立的充要条件是位移是协调的。这一命题称为虚力原理。的。这一命题称为虚力原理。39本讲稿第三十九页，共四十二页第三章第三章

21、 结构位移计算结构位移计算 实际计算时，对于截面高度与曲率半径的比值实际计算时，对于截面高度与曲率半径的比值较小的曲杆，按直杆计算误差并不大。较小的曲杆，按直杆计算误差并不大。其原因是曲杆结构中截面形心轴与中性轴不重合，其原因是曲杆结构中截面形心轴与中性轴不重合，荷载作用下的截面弯矩荷载作用下的截面弯矩MP不只引起截面转角，也不只引起截面转角，也引起形心轴的线位移；引起形心轴的线位移；FNP不只引起形心轴的线位不只引起形心轴的线位移，也引起截面转角，所以直杆位移计算公式不再移，也引起截面转角，所以直杆位移计算公式不再成立。成立。40本讲稿第四十页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计

22、算 以矩形截面曲杆为例：以矩形截面曲杆为例：FNP引起的轴向应变引起的轴向应变 FNP引起的截面相对转角引起的截面相对转角 MP引起的截面相对转角引起的截面相对转角 MP引起的轴向应变引起的轴向应变41本讲稿第四十一页，共四十二页第三章第三章 结构位移计算结构位移计算 曲杆结构位移计算公式曲杆结构位移计算公式End 在推导温度改变引起的位移计算时，假设杆件截面在推导温度改变引起的位移计算时，假设杆件截面对中性轴对称，而实际工程结构中的构件不一定都对对中性轴对称，而实际工程结构中的构件不一定都对称。不对称时位移计算公式如何修改？称。不对称时位移计算公式如何修改？对非线弹性材料，必须具体考虑材料的力学对非线弹性材料，必须具体考虑材料的力学行为，代入公式得到相应的位移计算公式行为，代入公式得到相应的位移计算公式42本讲稿第四十二页，共四十二页