理论力学第六章刚体的运动优秀PPT.ppt

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1、理论力学第六章刚体的运动你现在浏览的是第一页，共61页目录目录6.1 刚体的平行移动刚体的平行移动第六章 刚体的运动刚体的平行移动 刚体在运动过程中如果其上任一直线始终与其原来的位置保持平行，则刚体的这种运动称为平行移动平行移动，简称平移平移。例如，车厢在直线轨道上的运动，摆动式送料机上送料槽的运动等都是平移的实例。其中车厢上各点的运动轨迹是直线，刚体的这种平移称为直线平移直线平移，送料槽及平行连杆上各点的运动轨迹是曲线，称为曲线平移曲线平移。你现在浏览的是第二页，共61页目录目录第六章 刚体的运动刚体的平行移动 下面研究刚体平移时其上各点的轨迹、速度和加速度之间的关系。yxzABA1B1A2

2、B2A3B3 在平移刚体上任选一条直线AB，其上A、B两点的轨迹及AB在不同瞬时t1、t2、t3的位置A1B1、A2B2,、A3B3、如图所示。由刚体及刚体平移的定义知，这些线段都彼此平行且等长,故四边形 A1B1B2A2、A2B2B3A3、均为平行四边形。显然，将折线A1A2A3沿AB方向移动AB一段距离后，便可与折线B1B2B3逐点重合。当t1、t2、t3、无限接近时，折线A1A2A3的极限就是A点的轨迹，而折线B1B2B3的极限就是B点的轨迹。由此可知，平移刚体上任意两点的 的形状都相同，且彼此平行。O你现在浏览的是第三页，共61页目录目录第六章 刚体的运动刚体的平行移动 平移刚体上A、

3、B两点的位置可用矢量rA,、rB表示，且有 yxzABA1B1A2B2A3B3OrArBrAB将上式两边对时间t求一阶和二阶导数，注意到矢量rBA的大小和方向始终不变，是常矢量，得 上两式表明，在任一瞬时A、B两点的速度相同，加速度也相同。由于A、B两点是平移刚体上的任意两点，故可得结论：刚体平移刚体平移时其上各点的轨迹形状完全相同且互相平行时其上各点的轨迹形状完全相同且互相平行，在同一瞬时各点的速度和加在同一瞬时各点的速度和加速度都相同速度都相同。根据上述结论，刚体的平移可以用刚体内任意一点的运动来代替。这样，刚体的平移问题就归结为上一章中已经研究过的点的运动问题。vAaAvBaB你现在浏览

4、的是第四页，共61页第六章 刚体的运动刚体的平行移动 【例【例6.1】曲柄滑杆机构如图所示，当曲柄OA绕定轴O转动时，通过滑杆槽中的滑块A带动滑杆在水平滑道中往复移动。若曲柄OA长为r，曲柄与x轴正向的夹角=t（其中 为常数），求滑杆运动的速度和加速度。目录目录你现在浏览的是第五页，共61页第六章 刚体的运动刚体的平行移动 【解】【解】滑杆的运动显然是直线平移，现选滑杆上滑杆槽的中点M来代表整个滑杆的运动，在图示直角坐标系Oxy中，M点在任意瞬时的位置坐标为 yM=0 这就是M点的运动方程。M点沿x轴作直线运动，其速度和加速度分别为 这也就是所求平移滑杆的速度和加速度。当其为正时，指向x轴正向

5、，为负时，指向x轴负向。目录目录你现在浏览的是第六页，共61页6.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第六章 刚体的运动刚体的定轴转动 刚体运动时，若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动，刚体的这种运动称为定轴转动定轴转动，简称转动转动。这条保持不动的直线称为转轴转轴。显然，刚体转动时，刚体内不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上，圆的半径为该点到转轴的垂直距离。刚体的定轴转动在工程实际中随处可见，例如电动机转子的转动，胶带轮、齿轮的转动等。目录目录你现在浏览的是第七页，共61页第六章 刚体的运动刚体的定轴转动6.2.1 转动方程转动方程 设某刚体绕固定轴z转动，如图

6、所示，为确定该刚体在任一瞬时的位置，过转轴z作一固定平面，再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起转动的动平面。这样，该刚体在任一瞬时的位置就可以用动平面与定平面的夹角确定，角称为刚体的转转角角。当刚体转动时，转角是时间t的单值连续函数，即 上式称为刚体的转动方程转动方程。若转动方程已知，则刚体在任一瞬时的位置就确定了。因此，转动方程反映了刚体转动的规律。转角是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴z的正端向负端看去，逆时针转为正，反之为负。转角的单位是rad。目录目录你现在浏览的是第八页，共61页第六章 刚体的运动刚体的定轴转动6.2.2 角速度角速度 角速度角速度是反映刚体转动快慢的物理量。设

7、在瞬t刚体的转角为，经时间间隔 t，转角变为+，称为角位移角位移。/t=*称为刚体在t 时间间隔内的平均角速度平均角速度，当t 趋于零时，即得刚体在t瞬时的角速度为 上式表明,刚体定轴转动的角速度等于转角对时间的一阶导数刚体定轴转动的角速度等于转角对时间的一阶导数。角速度是代数量，其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表明转角随时间而增加，刚体作逆时针转动；反之，转角随时间而减小，刚体作顺时针转动。角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚体转动的快慢，称为转速转速，用n表示，单位是r/min。角速度与转速n之间的换算关系为 目录目录你现在浏览的是第九页，共61页第六章 刚体的

8、运动刚体的定轴转动6.2.3 角加速度角加速度 角加速度角加速度是反映刚体转动时角速度变化快慢的物理量。设在瞬时t刚体的角速度为，经时间间隔t，角速度改变了，/t=*称为刚体在t时间间隔内的平均角加速度平均角加速度，当t 趋于零时，即得刚体在t瞬时的角加速度为上式表明，刚体定轴转动的角加速度等于角速度对时间的一阶导数，刚体定轴转动的角加速度等于角速度对时间的一阶导数，或等于转角对时间的二阶导数或等于转角对时间的二阶导数。角加速度是代数量，当为正时，的代数值随时间增大；反之，则减小。当 与同号时，角速度的绝对值随时间增大，刚体加速转动；当与异号时，角速度的绝对值随时间减小，刚体减速转动。角加速度

9、的单位是rad/s2。目录目录你现在浏览的是第十页，共61页第六章 刚体的运动刚体的定轴转动6.2.4 匀速转动与匀变速转动匀速转动与匀变速转动 刚体定轴转动时，若角速度为常量，则称为匀速转动匀速转动；若角加速度为常量，则称为匀变速转动匀变速转动。与点的曲线运动类似，由式 角速度和角加速度公式 积分，可得到刚体匀速转动的公式以及匀变速转动的公式式中：0初转角；0初角速度。目录目录你现在浏览的是第十一页，共61页第六章 刚体的运动刚体的定轴转动 【例【例6.2】已知汽轮机在启动时主动轴的转动方程为=t3，式中的单位是rad，t的单位是s，求t3s时该轴的角速度和角加速度。【解】【解】由于轴的转动

10、方程已知，由角速度和角加速度的公式，可求出轴的角速度和角加速度分别为 将t3s代入，得目录目录你现在浏览的是第十二页，共61页6.3 定轴转动刚体内各点的速度和加速度定轴转动刚体内各点的速度和加速度 第六章 刚体的运动定轴转动刚体内各点的速度和加速度 前面研究了定轴转动刚体整体运动规律。在工程实际中，往往还需要知道刚体内各点的速度和加速度。下面研究定轴转动刚体内各点的速度、加速度与刚体转动的角速度、角加速度之间的关系。设刚体定轴转动在某瞬时的转角为，角速度为，角加速度为，转动刚体内任意一点M到转轴O的距离为r（r称为M点的转动半径转动半径），显然，M点的轨迹是以O为圆心、r为半径的圆周，如图所

11、示。若取转角0时M点的初始位置M0为弧坐标原点，以转角的正向为弧坐标s的正向，则M点的弧坐标为 这就是M点作圆周运动的运动方程。M点的速度为 目录目录你现在浏览的是第十三页，共61页第六章 刚体的运动定轴转动刚体内各点的速度和加速度 上式表明，转动刚体内任一点的速度等于该点的转动半径与刚体角速度转动刚体内任一点的速度等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积的乘积。速度方向垂直于转动半径速度方向垂直于转动半径，与刚体与刚体 的转向一致的转向一致。M点的切向加速度和法向加速度分别为 上式表明，转动刚体内任一点的转动刚体内任一点的切向加速度的代数值等于该点的切向加速度的代数值等于该点的转动半径与刚体角加

12、速度的乘积，转动半径与刚体角加速度的乘积，方向垂直于转动半径，为正时其方向垂直于转动半径，为正时其指向与刚体的转向一致，为负时指向与刚体的转向一致，为负时其指向与刚体的转向相反；法向其指向与刚体的转向相反；法向加速度的大小等于该点的转动半加速度的大小等于该点的转动半径与刚体角速度平方的乘积，方径与刚体角速度平方的乘积，方向沿转动半径，指向转轴向沿转动半径，指向转轴（如图）。目录目录你现在浏览的是第十四页，共61页第六章 刚体的运动定轴转动刚体内各点的速度和加速度 M点全加速度的大小和方向为 式中：全加速度的方向与转动半径间的夹角。由上可知，在任意瞬时，转动刚体内各点的速度、切向加速度、法向加速

13、度及全加速度的大小均与该点的转动半径成正比，速度的方向垂直于各自的转动半径；全加速度的方向与各点的转动半径的夹角均相同且小于90。因此，刚体内通过转轴且与其垂直的任一直线上各点在同一瞬时的速度和全加速度是按线性规律分布的，如图所示。目录目录你现在浏览的是第十五页，共61页第六章 刚体的运动定轴转动刚体内各点的速度和加速度 在工程实际中，经常遇到转动刚体的传动问题，如两个齿轮的啮合传动，在传动中两个齿轮的节圆相切，彼此之间无相对滑动，相切处两个切点M1、M2的速度和切向加速度都相等，v1 v2，a1 a2 ，如图所示。设齿轮为主动轮，齿轮为从动轮，齿轮和的节圆半径分别为 r1、r2，齿数分别为Z

14、1、Z2，转动的角速度和角加速度分别为1、1和2、2，则有 或因此有目录目录你现在浏览的是第十六页，共61页第六章 刚体的运动定轴转动刚体内各点的速度和加速度 上式表明，相啮合的两个齿轮角速度和角加速度均与其齿数成反比，或与其节圆半径成反比。通常将主动轮与从动轮的角速度之比1/2称为这对齿轮的传动比传动比，用i12表示。于是上式还可以写为 上述结论对于链轮传动、带轮传动和摩擦轮传动等同样适用。目录目录你现在浏览的是第十七页，共61页第六章 刚体的运动定轴转动刚体内各点的速度和加速度 【例【例6.3】如图所示，一半径r=0.5 m的圆轮绕定轴O转动，转动方程为t2+3t，的单位为rad，t的单位

15、为s。求t=1s时轮缘上任一点M的速度和加速度。如果在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子，绳端悬挂一物块A，求t=1s时物块A的速度和加速度。目录目录你现在浏览的是第十八页，共61页第六章 刚体的运动定轴转动刚体内各点的速度和加速度 【解】【解】由圆轮的转动方程，可得其在任一瞬时的角速度和角加速度为 当t=1s时，=1 rad/s，=2rad/s2，此时轮缘上任一点M的速度和加速度为 它们的方向如图所示。M点的全加速度的大小和方向为 目录目录你现在浏览的是第十九页，共61页第六章 刚体的运动定轴转动刚体内各点的速度和加速度 由于t=1s时，与的符号相反，故圆轮减速转动，M点作减速运动，a与v的指

16、向相反，全加速度a的方向如图所示。下面求物块A的速度和加速度，由于绳子不可伸长，A点落下的距离与M点转过的弧长相同，A点的运动方程为s=r，t=1 s时的速度和加速度为 显然，速度v的方向是向下的，加速度a的方向是向上的，A点作减速运动。由以上计算可以看出，物块A的速度大小与M点的速度大小相同；物块A的加速度大小与M点的切向加速度大小相同。目录目录你现在浏览的是第二十页，共61页第六章 刚体的运动定轴转动刚体内各点的速度和加速度 【例【例6.4】已知汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点距轮心r=0.2 m，在某瞬时的全加速度a=24 m/s2，与该点的转动半径的夹角=30，求叶轮的转动方

17、程及t=2 s时M点的速度和法向加速度。【解】【解】由M点的全加速度，可知其切向加速度为 于是，叶轮转动的角加速度为 由于叶轮作匀加速转动，故是常数，与的转向相同，又已知t=0时，0=0，0=0，叶轮的转动方程为 目录目录你现在浏览的是第二十一页，共61页第六章 刚体的运动定轴转动刚体内各点的速度和加速度 当t=2 s时，叶轮的角速度为 因此，t=2 s时M点的速度和法向加速度为 目录目录你现在浏览的是第二十二页，共61页6.4 点的合成运动点的合成运动第六章 刚体的运动点的合成运动6.4.1 点的合成运动的概念点的合成运动的概念 在研究刚体的平面运动之前，先介绍点的合成运动的有关概念及点的速

18、度合成定理，这既是研究点的运动的又一种方法，又是研究刚体复杂运动的基础。在不同的物体上观察同一物体的运动时，会得出不同的结果。例如，当火车行驶时，在车厢上观察车轮上一点的运动是圆周运动，在地面上观察则是复杂的曲线运动，若在车轮上观察则是静止的。因此，在研究一个物体的运动时，必须指明是相对于哪个物体而言，即必须选定参考体或参考系。在工程上如果没有特别的说明，都是以地面作为参考系。目录目录你现在浏览的是第二十三页，共61页MMM第六章 刚体的运动点的合成运动 在某些实际问题中，选择相对于地面运动的物体作为参考系来研究物体运动会带来很大的方便。图示是一桥式起重机，起吊重物时，天车沿桥架水平直线移动，

19、同时将吊钩上的重物铅垂向上提升。如果人站在天车上来观察重物（动点）的运动，重物作铅垂向上的直线运动；而对于站在地面上的观察者来说，重物则在铅垂平面内作平面曲线运动。显然，如果将重物的平面曲线运动分解成随同吊车水平向右和相对吊车铅垂向上两个直线运动来研究，然后再加以合成，比直接研究平面曲线运动方便得多。目录目录你现在浏览的是第二十四页，共61页第六章 刚体的运动点的合成运动 固结于地面的参考系称为静参考静参考系系，简称静系静系；把相对于地面运动的参考系称为动参考系动参考系，简称动系动系。动点相对于静系的运动称为绝对运绝对运动动；动点相对于动系的运动称为相相对运动对运动；动系相对于静系的运动称为牵

20、连运动牵连运动。如图中固结于地面的Oxy参考系是静系，固结于天车的Oxy参考系为动系；动点（重物）相对于地面的曲线运动是绝对绝对运动，动点相对于天车的直线运动是相对运动，天车相对于地面的直线平动是牵连运动。必须指出，绝对运动和相对运动都是指一个点的运动，它可以是直线运动或曲线运动；而牵连运动是指动系的运动，也就是与动系相固结的物体的运动，因而是指一个刚体的运动，它可以是平移、转动或其他复杂的运动。MMM绝对运动牵连运动相对运动目录目录你现在浏览的是第二十五页，共61页第六章 刚体的运动点的合成运动6.4.2 点的速度合成定理点的速度合成定理 MMM 以图示桥式起重机为例，研究绝对运动、相对运动

21、和牵连运动三者速度之间的关系。设在瞬时t，动点在位置M。假如动点不作相对运动，则经t时间后，动点随动系运动到位置M，MM称为动点的牵连牵连轨迹轨迹，矢量MM 称为动点的牵连位牵连位移移。但实际上动点有相对运动，它在动系中的运动轨迹为直线，称为相对轨迹相对轨迹，在t时间内动点沿相对轨迹运动到位置M，矢量M M称为动点的相对位移相对位移。MM称为动点的绝对轨迹绝对轨迹，而矢量MM称为动点的绝对位移绝对位移。由图可见，三种位移之间的关系为 MM=MM+M M 目录目录你现在浏览的是第二十六页，共61页第六章 刚体的运动点的合成运动MMMvavevr将上式两边分别除以t,并取t0时的极限，得 式中：表

22、示动点在瞬时t、在绝对运动中的速度，称为动点的绝对速度绝对速度，用va表示，其方向沿绝对轨迹MM上M点的切线方向；表示动点在瞬时t、在动系上与动点相重合的那点（称为牵牵连点连点）的速度，称为动点的牵连速牵连速度度，用ve表示，其方向沿牵连轨迹M M的方向；表示动点在瞬时t、在相对运动中的速度，称为动点的相对速度相对速度，用vr表示，其方向沿相对轨迹M M点的方向。目录目录你现在浏览的是第二十七页，共61页第六章 刚体的运动点的合成运动由上可得 va=ve+vr 即动点在任一瞬时的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和动点在任一瞬时的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。这一关系称为点的速

23、度合成定理速度合成定理。在应用速度合成定理解决具体问题时，首先要恰当地选取动点及动系，然后分析三种运动及三种速度。在上式中，va、ve、vr 三者的大小和方向共六个量，只要知道其中任意四个量就可求出其余两个未知量。目录目录你现在浏览的是第二十八页，共61页第六章 刚体的运动点的合成运动 【例【例6.5】凸轮机构（如图）中，导杆AB可在铅垂管D内上下滑动，其下端与凸轮保持接触。凸轮以匀角速度绕O轴逆时针转动，在图示瞬时OA=a，凸轮轮缘在A点的法线与OA成角。求导杆AB在此瞬时的速度。目录目录你现在浏览的是第二十九页，共61页第六章 刚体的运动点的合成运动【解】【解】导杆AB作上下直线平移，导杆

24、上A点的速度也就是导杆AB平移的速度，取A点为动点，将静系固结于地面，动系固结于凸轮。动点A的绝对运动是铅垂直线运动，绝对速度的大小待求，方向是铅垂的。动点A的相对运动是A点沿凸轮轮缘的曲线运动，相对速度的大小未知，方向是沿凸轮轮缘曲线在A点的切线方向，凸轮绕O轴的转动为牵连运动，动点A的牵连速度的方向垂直于OA，大小为ve=a。根据以上分析，作出速度平行四边形，由图可得动点A的绝对速度为 va=ve tan=atan 此即为导杆AB平移的速度。目录目录你现在浏览的是第三十页，共61页第六章 刚体的运动刚体平面运动的概念及简化6.5 刚体平面运动的概念及简化刚体平面运动的概念及简化6.5.1

25、刚体平面运动的概念刚体平面运动的概念 刚体的平面运动是一种比平行移动和定轴转动复杂的运动，在工程实际中会经常遇到，例如车轮沿直线轨道的滚动，曲柄连杆机构中连杆（蓝色杆）的运动。这些刚体的运动既不是平移也不是定轴转动，但是这些刚体的运动有一个共同的特征，那就是当刚体运动时，刚体内任一点至某一固定平面的距离始终保持不变，即刚体内的任一点都在平行于某一固定平面的平面内运动。刚体的这种运动称为平面运动平面运动。目录目录你现在浏览的是第三十一页，共61页第六章 刚体的运动刚体平面运动的概念及简化6.5.2 刚体平面运动的简化刚体平面运动的简化 由刚体平面运动的定义，可将平面运动进行简化。设平面为某一固定

26、平面，作平面与平面平行，平面与刚体相交成一平面图形S，如图所示。当刚体作平面运动时，平面图形S始终在平面内运动。若在刚体内任取一条与平面图形S垂直的直线A1A2，显然该直线作平移，因此直线上各点都具有相同的运动，这样直线A1A2与平面图形S的交点A的运动即可代表直线上各点的运动。由于A1A2是任取的，所以刚体内所有点的运动都可以由平面图形S上相应点的运动来代表。于是，平面图形S的运动就可代表整个刚体的运动，即刚体的平面运动刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动。目录目录你现在浏览的是第三十二页，共61页目录目录第六章 刚体的运动刚体平面运动分

27、解为平移和转动 6.6 刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解 6.5.1 刚体平面运动的概念刚体平面运动的概念 设平面图形S在固定平面内运动，在平面上建立一固定坐标系Oxy，如图所示。平面图形S的位置可用其上任一线段AB的位置来确定，而线段AB的位置又可由A点的坐标(xA，yA)和AB与x轴的夹角来确定。当平面图形S运动时，xA,、yA和随时间t变化，它们都是时间t的单值连续函数，即 上式就是刚体平面运动的运动方程。你现在浏览的是第三十三页，共61页第六章 刚体的运动刚体平面运动分解为平移和转动 显然，上述刚体平面运动的运动方程是由刚体平移的运动方程和刚体定轴转动的运动方程所组成。因此，在一般

28、情况下，刚体的平面运动可刚体的平面运动可以看作是刚体平移和转动这两种基本运动的合成以看作是刚体平移和转动这两种基本运动的合成。从平面图形S运动的两种特殊情况也可说明这一点：1）当为常数时，表明平面图形在运动过程中，线段AB的方向始终保持不变，显然这时图形在平面内作平移。2）当xA、yA同为常数时，表明A点始终不动，平面图形绕过A点且与图形垂直的固定轴转动。目录目录你现在浏览的是第三十四页，共61页第六章 刚体的运动刚体平面运动分解为平移和转动 为具体描述平面图形在自身平面内的运动，在该平面上建立一个固定的直角坐标系Oxy，在平面图形上任选一点A，并以A为原点作直角坐标系Axy，如图所示。平面图

29、形S运动时坐标系Ax y随之运动，令Ax和Ay始终分别与固定坐标系的Ox和Oy轴平行，这样，Ax y是一平移坐标系，A点称为基点基点。于是，平面图形S的运动就可以分解为两部分：1）随同平移坐标系的平移，简称随基点的平移。2）相对平动坐标系绕基点的转动，简称绕基点的转动。应该注意，按上述方法将平面运动分解时，由于基点的选择是任意的，而图形上各点的运动（轨迹、速度、加速度等）是不同的，所以，选择的基点不同，平移坐标系的运动就不同。因此，平移部分是与基点的选择有关的。但是，选择的基点不同，仅是平移坐标系的原点不同，平面图形相对这些不同平移坐标系转动的角速度和角加速度却是相同的，即转动部分是相同的。对

30、此说明如下：目录目录你现在浏览的是第三十五页，共61页第六章 刚体的运动刚体平面运动分解为平移和转动 设平面图形由位置 运动到位置。当在平面图形上选择A为基点时，可看作是AB先随基点A平行移动到AB，再绕基点A 转过角；显然，=，即线段绕不同基点A、B转过的角度大小和转向都是相同的，故有 当选择B为基点时，可看作是AB先随基点B平行移动到AB，再绕基点B转过角。BA得 又由，得 目录目录你现在浏览的是第三十六页，共61页第六章 刚体的运动刚体平面运动分解为平移和转动 以上两式表明，在任意瞬时，平面图形绕自身平面内任一点转动在任意瞬时，平面图形绕自身平面内任一点转动的角速度和角加速度都是相同的的

31、角速度和角加速度都是相同的。这样就可以将该角速度和角加速度直接称为平面图形的角速度和角加速度，而不必再专门指出是绕哪一个基点转动的了。此外，由于平移坐标系相对固定坐标系不存在转动，因此上述角速度和角加速度也就是平面图形即平面运动刚体相对固定坐标系的角速度和角加速度。目录目录你现在浏览的是第三十七页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 6.7 平面图形上各点的速度平面图形上各点的速度 6.7.1 基点法（速度合成法）基点法（速度合成法）由上节知，平面图形在自身平面内的运动可视为随同基点的平移与绕基点的转动的合成，因此可用合成运动的方法分析平面图形上各点的速度。如图，设平面图形在某瞬时

32、的角速度为，图形上A点的速度为vA，现求图形上任一点B的速度vB。AvAB 由速度合成定理，平面图形上B点的绝对速度va等于牵连速度ve与相对速度vr的矢量和，即va=ve+vr。因A点的速度已知，故取A点为基点，建立以A为坐标原点的平移的动坐标系，动系上各点的运动都与A点相同。xy目录目录你现在浏览的是第三十八页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 va就是B点的速度vB，ve是动系上与B点重合的那点的速度，等于vA，vr是B点相对动系的速度，也就是它绕A点相对转动的速度，其大小 vr=vBA=AB，方向垂直于AB，指向与角速度转向一致。于是有AvABxyvAvBA vB=vA+

33、vBA vB上式表明，平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕基点相对平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕基点相对转动速度的矢量和转动速度的矢量和。这种求平面图形上任一点速度的方法称为基点法基点法，也称速度合成法速度合成法。目录目录你现在浏览的是第三十九页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 6.7.2 速度投影法速度投影法 AvABxyvAvBAvB 若将速度合成公式vB=vA+vBA中各矢量都投影到AB连线的方向上（如图），由于vBA垂直于AB，它在AB方向上的投影等于零，故A、B两点的速度在其连线上的投影相等。即 于是得式中：和vA和vB与AB的夹角。上式表明，平

34、面图形上任意两点的速度在这两点的连线上的投影相平面图形上任意两点的速度在这两点的连线上的投影相等等。这关系称为速度投影定理速度投影定理。目录目录你现在浏览的是第四十页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 这个定理反映了刚体不变形（刚体上任意两点间的距离保持不变）的特征。因为刚体运动时，若两点的速度在其连线上的投影不相等，则这两点之间的距离就要改变，这不符合刚体的特征。由此可知，速度投影定理不仅适用于刚体的平面运动而且适用于刚体的任何运动。利用速度投影定理求平面图形上任一点速度的方法称为速度投影法速度投影法。目录目录你现在浏览的是第四十一页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的

35、速度 【例【例6.6】如图所示，AB杆长400mm，B端沿地面向右运动时，A端沿墙面下滑，若某瞬时AB与地面的夹角为30，B点的速度为100mm/s，求该瞬时A点的速度、AB杆的角速度和AB杆中点D的速度。目录目录你现在浏览的是第四十二页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 【解】【解】1）求A点的速度和AB杆的角速度。由于AB杆作平面运动，B点的速度已知，故取B点为基点，应用基点法求A点的速度和AB杆的角速度。由速度合成公式知 vA=vB+vAB 其中：vAB为A点绕B点相对转动的速度，其方向垂直于AB。又由于A点沿墙面下滑，其速度方向是已知的，这样就可根据上式在A点处作出速度平

36、行四边形如图所示。由图中的几何关系得于是AB杆的角速度为 转向为逆时针方向。目录目录你现在浏览的是第四十三页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 2）求AB杆中点D的速度。取B点为基点，由式有 其中：vDB为D点绕B点相对转动的速度，其方向垂直于AB，且与AB杆的转动角速度AB的方向一致，其大小为 又由于B点的速度已知，于是在D点处可作出速度平行四边形，如图所示，由图中的几何关系得vD的大小为 由于vDB、vB和vD的大小都相等，所以三个矢量组成等边三角形，可见vD与vB的夹角为60。目录目录你现在浏览的是第四十四页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 在本题中，由于B

37、点速度的大小和方向都已知，A点速度的方向也已知，还可应用速度投影法求A点速度的大小。将vA和vB投影到AB方向上，得 故 由于速度投影定理的表达式中没有A点绕B点相对转动的速度vAB，故无法应用速度投影法求AB杆的角速度。由于D点速度的大小和方向都是未知的，故也无法应用此方法求D点的速度。由此可见，应用速度投影法求平面图形上某一点的速度是有一定局限的，但当已知平面图形上一点速度的大小和方向，又已知另一点速度的方向时，应用这种方法求另一点速度的大小是十分简便的。目录目录你现在浏览的是第四十五页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 6.7.3 速度瞬心法速度瞬心法 应用基点法求平面图形

38、上任一点的速度时，若能在平面图形上找到速度为零的一点，便可取该点为基点进行速度分析，从而使计算变得简便。现分析如下。在图示的平面图形中取A点为基点分析B点的运动，由于基点的速度vA与B点绕基点所作圆周运动的速度vBA不在同一条直线上，显然这两个速度的矢量和,即B点的速度不可能等于零。而在通过A点与速度vA垂直的直线上总能找到一点C，并满足以下关系：或 此时，C点的速度便为零。C点称为平面图形的瞬时速度中心瞬时速度中心，简称速度瞬心速度瞬心。显然，在某瞬时平面图形总有而且只能有一个速度瞬心。目录目录你现在浏览的是第四十六页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 如果已知某瞬时平面图形的

39、速度瞬心C的位置，并取C点为基点，则基点的速度为零，于是平面图形上任一点M在此瞬时的速度即等于M点绕基点C相对转动的速度，其大小为 其方向与CM垂直，指向与图形转动的方向一致。由此可见,图形的平面运动问题可归结为绕速度瞬心的转动问题，转动的角速度即为平面运动的角速度。必须指出，速度瞬心可能在平面图形内也可能在平面图形外；瞬心的位置不是固定的，而是随时间变化的，也就是说平面图形在不同瞬时有不同的速度瞬心。应用速度瞬心求平面图形上各点速度的方法称为速度瞬心法速度瞬心法。这种方法比较简便，在工程实际中经常应用。应用速度瞬心法时首先要确定速度瞬心的位置。目录目录你现在浏览的是第四十七页，共61页第六章

40、 刚体的运动平面图形上各点的速度 下面介绍几种确定速度瞬心位置的方法。（1）已知某瞬时平面图形上两点速度的方向 设某瞬时平面图形上A、B两点速度方向如图所示，由于平面图形上各点的速度垂直于该点与速度瞬心的连线，因此，分别过A、B两点作速度vA、vB的垂线，其交点C即为速度瞬心。C 在特殊情况下，若A、B两点的速度vA和vB互相平行，但AB连线不与vA、vB的方向垂直，如图所示，则速度瞬心C将位于无穷远处，这时，说明在此瞬时刚体作瞬时平移瞬时平移，平面图形内各点的速度都相同，A、B两点的速度vA和vB应是相等的。目录目录你现在浏览的是第四十八页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 （

41、2）已知某瞬时平面图形上两点速度的大小，且其方向均与两点的连线垂直 设某瞬时平面图形上A、B两点的速度vA和vB大小不同，方向相同，均垂直于AB连线，如图所示，这时作AB连线的延长线，再作速度vA和vB端点的连线，则这两条连线的交点C即为速度瞬心。若速度vA和vB的方向相反（如图）时，作AB连线，再作两速度端点的连线，则这两条连线的交点C即为速度瞬心。目录目录你现在浏览的是第四十九页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 在特殊情况下，若A、B两点的速度vA和vB大小相等，方向相同（如图）时，速度瞬心在无穷远处，此瞬时刚体作瞬时平移，平面图形内各点的速度都相同。（3）已知某瞬时平面图

42、形在另一固定平面（或曲面）上滚动而不滑动（称为纯滚动纯滚动）在这种情况下由于固定面上的接触点C速度为零，所以平面图形上与固定面相接触的点C的速度也为零，故点C即为平面图形在此瞬时的速度瞬心。目录目录你现在浏览的是第五十页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 【例【例6.7】车轮在地面上沿直线轨道作无滑动的滚动，如图所示，已知轮心O的速度为vO，车轮的半径为R，求轮缘上A、B、D三点的速度。目录目录你现在浏览的是第五十一页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 【解】【解】车轮作平面运动。由于车轮与地面之间无滑动，所以车轮与地面的接触点C为车轮的速度瞬心，轮心O的速度为 故

43、车轮的角速度为 于是轮缘上A、B、D各点速度的大小分别为 各点速度的方向分别垂直于各点与C点的连线，指向如图所示。目录目录你现在浏览的是第五十二页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 【例【例6.8】如图所示，AB杆长400mm，B端沿地面向右运动时，A端沿墙面下滑，若某瞬时AB与地面的夹角为30，B点的速度为100mm/s，用速度瞬心法求该瞬时A点的速度、AB杆的角速度和AB杆中点D的速度。目录目录你现在浏览的是第五十三页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 【解】【解】杆AB作平面运动，杆上A点和B点的速度方向分别沿墙面和地面，AB杆在该瞬时的速度瞬心为C点，如图所

44、示。杆AB的角速度为 转向为逆时针方向。A点和D点速度的大小分别为 vD的方向与CD垂直，与水平方向成60角。本题中用速度瞬心法求AB杆的角速度和D点的速度显然较基点法简便。目录目录你现在浏览的是第五十四页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 【例【例6.9】曲柄滑块机构如图所示，已知曲柄OA长0.2m，连杆AB长1m，OA以匀角速度=10 rad/s绕O点逆时针转动。求在图示位置滑块B的速度和AB杆的角速度。目录目录你现在浏览的是第五十五页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度【解】【解】用两种方法求解。方法1：该机构中曲柄OA绕O点作定轴转动，滑块B沿水平方向作直线运

45、动，连杆AB作平面运动。由于连杆AB上A点的速度可通过曲柄OA的转动求出，因此可取A点为基点，应用基点法求AB杆上B点的速度和AB杆的角速度。A点速度的大小为 方向垂直OA，指向如图所示。取A点为基点，由基点法可知B点的速度为 式中vA的大小和方向都已知，vB的方向沿水平方向，vBA的方向垂直AB，在B点处作出速度平行四边形，由图可知vB和vBA的大小分别为 目录目录你现在浏览的是第五十六页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 vB的方向为水平向左，vBA的方向是垂直AB指向左下方。AB杆的角速度为 转向为顺时针方向。vB的大小还可以应用速度投影法求解，即 得 vB方向为水平向左。

46、目录目录你现在浏览的是第五十七页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 杆AB的速度瞬心为C点（如图）,杆AB的角速度为 方法2：用速度瞬心法计算vB和AB。在ABC中由几何关系得 故转向为顺时针方向。B点速度的大小为 方向为水平向左。与应用基点法计算的结果相同。目录目录你现在浏览的是第五十八页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 【例【例6.10】在图示的机构中曲柄OA长为R，以匀角速度逆时针转动，短杆DE两端分别与连杆AB的中点D和摆杆EF的端点E铰接，EF长为4R。求在图示位置滑块B的速度和摆杆EF的角速度。目录目录你现在浏览的是第五十九页，共61页第六章 刚体的运

47、动平面图形上各点的速度 【解】【解】机构由五个构件组成，其中曲柄OA和摆杆EF分别绕O和F作定轴转动，连杆AB和短杆DE作平面运动，滑块B在水平轨道中作平动。A点速度的大小为 方向铅垂向上。连杆AB作平面运动，其上A点的速度已求出，B点随滑块运动，速度沿水平方向，因此，杆AB在该瞬时的速度瞬心为B点，故滑块B在该瞬时的速度为零，即 vB=0 杆AB的角速度为转向为顺时针方向。目录目录你现在浏览的是第六十页，共61页第六章 刚体的运动平面图形上各点的速度 D点速度的大小为 方向铅垂向上。短杆DE作平面运动，其上D点的速度大小和方向均已求出，又由杆EF的运动知，E点的速度方向沿ED方向，于是由速度投影法，有 故 方向如图所示 由杆EF作定轴转动知，其角速度为 其转向为顺时针方向。目录目录你现在浏览的是第六十一页，共61页