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1、计算机控制技术状态反馈2022/10/202022/10/201 1本讲稿第一页，共三十页第一节第一节 状态反馈及极点配置状态反馈及极点配置1.1.1.1.状态反馈状态反馈状态反馈状态反馈2.2.2.2.状态反馈极点配置条件和算法状态反馈极点配置条件和算法状态反馈极点配置条件和算法状态反馈极点配置条件和算法3.3.3.3.状态反馈闭环系统的能控性和能观测性状态反馈闭环系统的能控性和能观测性状态反馈闭环系统的能控性和能观测性状态反馈闭环系统的能控性和能观测性4.4.4.4.系统的镇定系统的镇定系统的镇定系统的镇定2022/10/202022/10/202 2本讲稿第二页，共三十页将系统每一个状态

2、变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。输人相加，其和作为受控系统的控制输入。一、状态反馈一、状态反馈一、状态反馈一、状态反馈反馈的两种基本形式：反馈的两种基本形式：状态反馈状态反馈、输出反馈输出反馈原受控系统原受控系统 ：线性反馈规律：线性反馈规律：2022/10/202022/10/203 3本讲稿第三页，共三十页状态反馈闭环系统：状态反馈闭环系统：反馈增益矩阵：反馈增益矩阵：状态反馈闭环传递函数矩阵为：状态反馈闭环传递函数矩阵为：一般一般D=0D=0，可化简为：可化简为：状态反馈闭环系统表示：状

3、态反馈闭环系统表示：状态反馈系统的特征方程为：状态反馈系统的特征方程为：2022/10/202022/10/204 4本讲稿第四页，共三十页极点配置极点配置极点配置极点配置：通过反馈增益矩阵：通过反馈增益矩阵F F的设计，将加入状态反馈后的闭环的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在系统的极点配置在z z平面期望的位置上。平面期望的位置上。二、状态反馈极点配置条件和算法二、状态反馈极点配置条件和算法二、状态反馈极点配置条件和算法二、状态反馈极点配置条件和算法1 1 1 1、极点配置算法、极点配置算法、极点配置算法、极点配置算法(1)(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。

4、判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。1 1 1 1）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵F F F F（维数较小时，维数较小时，维数较小时，维数较小时，n 3n 3n 3n 3）定理定理定理定理：(极点配置定理极点配置定理)对线性定常系统对线性定常系统 进进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是：充要条件是：状态完全能控状态完全能控。注意：注意：注意：注意：矩阵矩阵 的特征值就是所期望的闭环极点。对的特征值就是所期望的闭环极点。对不能控的不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。状

5、态，状态反馈不能改变其特征值。2022/10/202022/10/205 5本讲稿第五页，共三十页(2)(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：求状态反馈后闭环系统的特征多项式：(3)(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。(4)(4)由由 确定反馈矩阵确定反馈矩阵K K：例例例例1111 考虑线性定常系统考虑线性定常系统其中：其中：试设计状态反馈矩阵试设计状态反馈矩阵K K，使闭环系统极点为使闭环系统极点为-2j4-2j4和和-10-10。解解解解 ：（1 1）先判断该系统的能控性先判断该系统的能控性2022/10/2

6、02022/10/206 6本讲稿第六页，共三十页该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。（2 2）计算闭环系统的特征多项式计算闭环系统的特征多项式设状态反馈增益矩阵为：设状态反馈增益矩阵为：（3 3）计算期望的特征多项式计算期望的特征多项式2022/10/202022/10/207 7本讲稿第七页，共三十页由由 得得（4 4）确定确定F F阵阵求得：求得：所以状态反馈矩阵所以状态反馈矩阵K K为：为：例例例例2222 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响 解解解

7、解 ：（1 1）先判断该系统的能控性先判断该系统的能控性由对角线标准型判据可知，特征值为由对角线标准型判据可知，特征值为1 1的状态不能控。的状态不能控。(2)(2)假如加入状态反馈阵假如加入状态反馈阵F F，得到反馈后的特征多项式为：得到反馈后的特征多项式为：2022/10/202022/10/208 8本讲稿第八页，共三十页从中可以看出，对于从中可以看出，对于1 1的极点，状态反馈不起作用，状态反馈只能的极点，状态反馈不起作用，状态反馈只能通过通过f f2 2去影响去影响2 2这个极点。即状态反馈对不能控部分状态，不这个极点。即状态反馈对不能控部分状态，不能任意配置其极点。能任意配置其极点

8、。求求 将相等繁琐，所以引入第二能控标准型法。将相等繁琐，所以引入第二能控标准型法。2 2 2 2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n3n3n3n3）1 1、首先将原系统、首先将原系统 化为第二能控标准型化为第二能控标准型2 2、求出在第二能控标准型的状态、求出在第二能控标准型的状态 下的状态反馈矩阵下的状态反馈矩阵3 3、求出在原系统的状态、求出在原系统的状态 下的状态反馈矩阵下的状态反馈矩阵2022/10/202022/10/209 9本讲稿第九页，共三十页

9、证明：证明：原系统：原系统：第二能控标准型：第二能控标准型：其中：其中：式（式（1 1）和式（）和式（2 2）比较，得：）比较，得：2022/10/202022/10/201010本讲稿第十页，共三十页第二能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。第二能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。能控标准型下状态反馈后系统能控标准型下状态反馈后系统矩阵：矩阵：第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式 2022/10/202022/10/201111本讲稿第

10、十一页，共三十页 与理想极点多项式 比较，有第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式为：第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式为：2022/10/202022/10/201212本讲稿第十二页，共三十页(1)(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。(2)(2)确定将原系统化为第二能控标准型确定将原系统化为第二能控标准型 的变换阵的变换阵 若给定状态方程已是第二能控标准型，那么若给定状态方程已是第二能控标准型，那么 ，无需转换，无需转换 第二能控标准型法，求反馈增益矩阵第二能控标准型法，求反馈增益矩阵第二能控标准型法

11、，求反馈增益矩阵第二能控标准型法，求反馈增益矩阵K K K K的步骤：的步骤：的步骤：的步骤：2022/10/202022/10/201313本讲稿第十三页，共三十页(3)(3)根据给定或求得的期望闭环极点，写出期望的特征多项式：根据给定或求得的期望闭环极点，写出期望的特征多项式：(4)(4)直接写出在第二能控标准型下的反馈增益矩阵直接写出在第二能控标准型下的反馈增益矩阵：(5)(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：还可以由期望闭环传递函数得到：还可以由期望闭环传递函数得到：第二能控标准型法，非常适合于计算机第二能控标准型法，非常适合于计算机matlabm

12、atlab求解求解 期望的闭环极点有时直接给定；有时给定某些性能指标：如超期望的闭环极点有时直接给定；有时给定某些性能指标：如超调量调量 和调整时间和调整时间 等）等）2022/10/202022/10/201414本讲稿第十四页，共三十页重新求解前面例重新求解前面例重新求解前面例重新求解前面例1 1 1 1：（2 2）计算原系统的特征多项式：计算原系统的特征多项式：解解解解 ：（1 1）可知，系统已经是第二能控标准型了，故系统能控，此可知，系统已经是第二能控标准型了，故系统能控，此时变换阵时变换阵（3 3）计算期望的特征多项式计算期望的特征多项式（4 4）确定确定F F阵阵所以状态反馈矩阵所

13、以状态反馈矩阵K K为：为：第二能控标准型下的状态反馈矩阵为：第二能控标准型下的状态反馈矩阵为：2022/10/202022/10/201515本讲稿第十五页，共三十页3 3 3 3）爱克曼公式）爱克曼公式）爱克曼公式）爱克曼公式(Ackermann(Ackermann(Ackermann(Ackermann公式法公式法公式法公式法)（维数较大时，（维数较大时，（维数较大时，（维数较大时，n3n3n3n3）为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：其中其中 是在期望极点多项式中以是在期望极点多项式中以GG代代,得到的矩阵多项式：得到的矩阵多项式：推导过程：

14、略推导过程：略此方法也非常适合于计算机此方法也非常适合于计算机matlabmatlab求解求解2022/10/202022/10/201616本讲稿第十六页，共三十页用爱克曼公式，用爱克曼公式，用爱克曼公式，用爱克曼公式，重新求解前面例重新求解前面例重新求解前面例重新求解前面例1 1 1 1：解解解解 ：（1 1）确定系统期望的特征多项式系数：确定系统期望的特征多项式系数：所以：所以：（2 2）确定）确定2022/10/202022/10/201717本讲稿第十七页，共三十页（3 3）所以状态反馈矩阵所以状态反馈矩阵F F为：为：2022/10/202022/10/201818本讲稿第十八页，

15、共三十页期望极点选取的原则：期望极点选取的原则：1 1）n n维控制系统有维控制系统有n n个期望极点；个期望极点；2 2）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对；）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对；3 3）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。4 4）离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远）离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。极点收敛快，对系统只有极小的影响。2 2

16、 2 2、闭环系统期望极点的选取、闭环系统期望极点的选取、闭环系统期望极点的选取、闭环系统期望极点的选取2022/10/202022/10/201919本讲稿第十九页，共三十页输出反馈及极点配置输出反馈及极点配置1.1.1.1.输出到参考输入的反馈状态反馈（与古典控输出到参考输入的反馈状态反馈（与古典控输出到参考输入的反馈状态反馈（与古典控输出到参考输入的反馈状态反馈（与古典控制反馈相同）制反馈相同）制反馈相同）制反馈相同）2.2.2.2.输出到状态微分的反馈（极点配置）输出到状态微分的反馈（极点配置）输出到状态微分的反馈（极点配置）输出到状态微分的反馈（极点配置）2022/10/202022

17、/10/202020本讲稿第二十页，共三十页输出反馈两种方式：输出反馈两种方式：输出到输入的反馈输出到输入的反馈/输出到状态微分的反馈输出到状态微分的反馈原受控系统原受控系统 ：一、输出到参考输入的反馈一、输出到参考输入的反馈一、输出到参考输入的反馈一、输出到参考输入的反馈将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。和作为受控系统的控制输入。输出反馈控制规律：输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：输出反馈系统状态空间描述为：2022/10/202022/10/202121本讲稿第二

18、十一页，共三十页输出反馈增益矩阵：输出反馈增益矩阵：闭环传递函数矩阵为：闭环传递函数矩阵为：结论结论结论结论3 3 3 3：由于反馈引自系统输出，所以不影响系统的可观测性。古典控：由于反馈引自系统输出，所以不影响系统的可观测性。古典控制中常采用的反馈形式。制中常采用的反馈形式。结论结论结论结论1 1 1 1：当：当HCHCK K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。即对时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈。故输出于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈。故输出到参考输入的反馈不改变系统的能控性。到参考输入的反馈不改变系统的能

19、控性。结论结论结论结论2 2 2 2：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，所以输：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，所以输出反馈是部分状态反馈，适合工程应用，性能较状态反馈差。出反馈是部分状态反馈，适合工程应用，性能较状态反馈差。2022/10/202022/10/202222本讲稿第二十二页，共三十页原受控系统原受控系统 ：二、输出到状态微分的反馈二、输出到状态微分的反馈二、输出到状态微分的反馈二、输出到状态微分的反馈将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。输出反馈系统状态空间描述为：输出反馈系统状

20、态空间描述为：2022/10/202022/10/202323本讲稿第二十三页，共三十页定理证明方法定理证明方法定理证明方法定理证明方法1 1 1 1：若系统：若系统 状态可观测，则其对偶系统状态可观测，则其对偶系统 状态能控，根据状态反馈系统特性，对偶系状态能控，根据状态反馈系统特性，对偶系统矩阵统矩阵 特征值可以任意配置，而特征值可以任意配置，而 的特征值和的特征值和 一致。一致。所以当且仅当所以当且仅当 状态可观时，状态可观时，极点可任意配置极点可任意配置定理定理定理定理：输出到状态微分的反馈，其极点任意配置条件为原系统：输出到状态微分的反馈，其极点任意配置条件为原系统状态可观测。状态可

21、观测。定理证明方法定理证明方法定理证明方法定理证明方法2 2 2 2：系统能观测，则化为第二能观测标准型。：系统能观测，则化为第二能观测标准型。第二能观第二能观标准型：标准型：2022/10/202022/10/202424本讲稿第二十四页，共三十页能观测标准型下输能观测标准型下输出到状态微分的反出到状态微分的反馈系统矩阵馈系统矩阵反馈后，仍然为第二能观测标准型。其输出到状态微分的反馈系统特征方反馈后，仍然为第二能观测标准型。其输出到状态微分的反馈系统特征方程为：程为：由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。引入反馈阵：引入反馈阵：极点配

22、置方法极点配置方法极点配置方法极点配置方法：同状态反馈系统的极点配置。：同状态反馈系统的极点配置。结论结论结论结论：输出到状态微分的反馈不该变系统能观性，不改变系统零点。：输出到状态微分的反馈不该变系统能观性，不改变系统零点。任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化。任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化。2022/10/202022/10/202525本讲稿第二十五页，共三十页 例例例例 系统的状态方程和输出方程如下系统的状态方程和输出方程如下 （2 2）设设输输出出反反馈馈矩矩阵阵为为HH（根根据据BHCBHC和和B B、C C的的维维数数，可可知知H H为为常常数数），加输出到

23、参考输入的反馈后，系统矩阵为，加输出到参考输入的反馈后，系统矩阵为 解解解解 ：（1 1）系统特征方程为：）系统特征方程为：（1 1）讨论系统的稳定性。）讨论系统的稳定性。（2 2）加加输输出出到到参参考考输输入入的的反反馈馈可可否否使使系系统统渐渐近近稳稳定定？（3 3）加输出到状态微分的反馈可否使系统渐近稳定？加输出到状态微分的反馈可否使系统渐近稳定？（4 4）加状态反馈则又如何？）加状态反馈则又如何？特征值为特征值为 ，系统不是渐近稳定的。，系统不是渐近稳定的。2022/10/202022/10/202626本讲稿第二十六页，共三十页HH无无论论取取何何值值，都都不不能能使使系系统统的的

24、特特征征根根都都位位于于左左半半S S平平面面，因因此此加加输出反馈不能使系统渐近稳定。输出反馈不能使系统渐近稳定。特征方程为特征方程为 设设输输出出反反馈馈矩矩阵阵为为 （注注意意，此此时时H H阵阵不不再再是是实实数数，而而是是一一列列向向量量，根根据据A AHCHC来来判判断断维维数数），加加输输出出到到状状态态微微分分的的反反馈馈后后，系系统矩阵为统矩阵为 特征方程为特征方程为 （3 3）系统能观测，所以输出到状态微分的反馈可以任意配置极点。）系统能观测，所以输出到状态微分的反馈可以任意配置极点。2022/10/202022/10/202727本讲稿第二十七页，共三十页（4 4）系系统

25、统能能控控，加加入入状状态态反反馈馈可可以以任任意意配配置置极极点点。设设反反馈馈阵阵为为 ，加状态反馈后的系统矩阵为，加状态反馈后的系统矩阵为系统的特征多项式为：系统的特征多项式为：通过通过k k1 1和和k k2 2的调整可使系统的特征值都位于左半的调整可使系统的特征值都位于左半S S平面，使系统平面，使系统渐近稳定。渐近稳定。说明：说明：输出反馈两种形式对系统的闭环极点的影响差别很大，输出反馈两种形式对系统的闭环极点的影响差别很大，输出反馈和状态反馈对系统的作用是不同的。输出反馈和状态反馈对系统的作用是不同的。通过通过h h1 1和和h h2 2的调整可使系统的特征值都位于左半的调整可使

26、系统的特征值都位于左半S S平面，使系平面，使系统渐近稳定。统渐近稳定。2022/10/202022/10/202828本讲稿第二十八页，共三十页 本节小结本节小结本节小结本节小结 ：1 1 1 1、输出到参考输入的反馈、输出到参考输入的反馈、输出到参考输入的反馈、输出到参考输入的反馈:闭环系统动态方程闭环系统动态方程：闭环传递函数矩阵为：闭环传递函数矩阵为：系统的特征方程为：系统的特征方程为：特性特性特性特性：1 1）当）当HCHCK K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。2 2）输出到参考输入的反馈不改变系统的能控性。）输出到参考输入的反馈不改变

27、系统的能控性。3 3）由于反馈引自系统输出，所以不影响系统的可观测性由于反馈引自系统输出，所以不影响系统的可观测性2022/10/202022/10/202929本讲稿第二十九页，共三十页2 2 2 2、输出到状态微分的反馈、输出到状态微分的反馈、输出到状态微分的反馈、输出到状态微分的反馈：闭环系统动态方程闭环系统动态方程：闭环传递函数矩阵为：闭环传递函数矩阵为：系统的特征方程为：系统的特征方程为：特性特性特性特性：1 1）输出到状态微分的反馈不改变系统的能观测性。）输出到状态微分的反馈不改变系统的能观测性。2 2）不改变系统的零点。不改变系统的零点。3 3）极点任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化。）极点任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化。极点任意配置条件极点任意配置条件极点任意配置条件极点任意配置条件：系统状态完全能观测；当状态不完全能观：系统状态完全能观测；当状态不完全能观测时，则要求不能观测子系统是渐近稳定的。测时，则要求不能观测子系统是渐近稳定的。2022/10/202022/10/203030本讲稿第三十页，共三十页