近世代数 子群的陪集精选文档.ppt

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1、近世代数课件 子群的陪集本讲稿第一页，共十四页9.1子群的左陪集子群的左陪集我们看一个群 和 的一个子群 我们规定一个的元 中间的关系 ：，当而且只当的时候 给了 和 ，我们可以唯一决定，是不是属于 ，所以 是一个关系,并且:本讲稿第二页，共十四页，所以 ，所以 .所以 ，本讲稿第三页，共十四页这样，是一个等价关系利用这个等价关系，我们可以得到一个的分类:a,b,c,这里 称为a的等价类(2)引理引理1 a=aH=ah|h属于证明:(1)本讲稿第四页，共十四页定定义义1 1 由上面的等价关系所决定的类 叫做子群的左陪集.由引理1左陪集既是等价类,又是子集的乘法aH.由等价类的性质可以推出左陪集

2、的一些重要性质:(1)(2)(3)(5)任意两个左陪集 或者(4)本讲稿第五页，共十四页例例，那么(注意我们规定的乘法顺序和书上的相反)，本讲稿第六页，共十四页注意(12)H=?(123)H=?(132)H=?这样，子群 把整个 分成(1)H,(13)H,(23)H三个不同的左陪集这三个左陪集放在一起显然正是 ，因此，它们的确是 的一个分类本讲稿第七页，共十四页9.2子群的右陪集子群的右陪集比照左陪集,给出右陪集,以及性质右陪集是从等价关系：，当而且只当的时候定定义义2 2由等价关系所决定的类叫做子群的右陪集右陪集包含的陪集我们用符号来表示性质2(1)-(5)本讲稿第八页，共十四页9.3子群的

3、指数子群的指数引理引理2之间存在1-1映射.证明证明:.的左陪集所作成的集合记做,的右陪集所作成的集合叫做本讲稿第九页，共十四页定理定理 和 之间存在1-1映射是一个 与 间的一一映射因为：证明证明 构造:(1)所以右陪集 的象与 的选择无关，是一个 到 的映射；本讲稿第十页，共十四页（）的任意元 是 的元 的象，所以 是一个满射；（）证完定义定义一个群 的一个子群 的右陪集（或左陪集）的个数叫做 在 里的指数指数本讲稿第十一页，共十四页9.4 拉格朗日定理拉格朗日定理下面我们要用左陪集来证明几个重要定理 定理定理假定 是一个有限群 的一个子群那么 的阶 和它在 里的指数 都能整除 的阶 ，并且证明证明 的阶 既是有限，的阶 和指数 也都是有限正整数 的 个元被分成 个左陪集，而且由引理，每一个左陪集都有 个元，所以证完本讲稿第十二页，共十四页定理定理 一个有限群 的任一个元 的阶 都整除 的阶证明证明证完例例 对于有限群 的阶N的一个因子k,可以没有k阶子群,也可以没有k阶元素本讲稿第十三页，共十四页例例4 对于有限群循环 的阶N的一个因子k,恰有一个k阶子群.例例5 1-5阶群的分类作业 P70:1-3本讲稿第十四页，共十四页