高数 夹逼准则与两个重要极限精选文档.ppt

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1、高数 夹逼准则与两个重要极限本讲稿第一页，共二十页一、夹逼准则一、夹逼准则一、夹逼准则一、夹逼准则 (1)(1)y yn n x xn n z zn n,(,(n n=1,2,3)=1,2,3)；准则准则准则准则I I 如果数列如果数列如果数列如果数列 x xn n,y yn n,z zn n 满足满足满足满足 则数列则数列则数列则数列 x xn n 的极限存在的极限存在的极限存在的极限存在,且且且且 (或或或或|x|x|MM)时时时时,有有有有准则准则准则准则I I 如果当如果当如果当如果当 则有则有则有则有 f f(x x)A A (x xx x0 0或或或或x x)（1 1）g g(x

2、x)f f(x x)h h(x x)(2)(2)g g(x x)A A,h h(x x)A A (x xx x0 0或或或或x x),),本讲稿第二页，共二十页例例例例1 1 1 1 求求求求解解解解 因为因为因为因为又又又又 由夹逼准则得由夹逼准则得由夹逼准则得由夹逼准则得本讲稿第三页，共二十页本讲稿第四页，共二十页本讲稿第五页，共二十页二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限 证证证证故只讨论故只讨论故只讨论故只讨论x x0 0+的情形的情形的情形的情形.如图如图如图如图,在单位圆中在单位圆中在单位圆中在单位圆中,AOB AOB=x x,BD BD=sin=sinx

3、 x,ACAC=tan=tanx x,因为因为因为因为 S S AOBAOB S S扇形扇形扇形扇形AOB AOB S S AOCAOC ,所以所以所以所以由夹逼准则由夹逼准则由夹逼准则由夹逼准则,得得得得本讲稿第六页，共二十页解解解解例例例例3 3 3 3 求求求求例例例例4 4 4 4 求求求求解解解解 本讲稿第七页，共二十页解解解解:令令令令则则则则因此因此因此因此原式原式原式原式例例例例5 5 5 5.求求求求例例例例6 6 6 6.求求求求解解解解:令令令令则则则则因此因此因此因此原式原式原式原式本讲稿第八页，共二十页例例例例7 7 7 7 求求求求解解解解 例例例例3 3 3 3例

4、例例例7 7 7 7可以作为公式使用可以作为公式使用可以作为公式使用可以作为公式使用.在使用公式在使用公式在使用公式在使用公式通过这些例子可以看到，通过这些例子可以看到，通过这些例子可以看到，通过这些例子可以看到，时，有三处必须一致，公式的时，有三处必须一致，公式的时，有三处必须一致，公式的时，有三处必须一致，公式的一般形式为一般形式为一般形式为一般形式为本讲稿第九页，共二十页原式原式原式原式例例例例8 8 8 8.求求求求例例例例9 9 9 9.求求求求解解解解:解解解解:原式原式原式原式本讲稿第十页，共二十页（2 2 2 2）这是一个非常重要的极限这是一个非常重要的极限这是一个非常重要的极

5、限这是一个非常重要的极限.当当当当时，底数时，底数时，底数时，底数指数指数指数指数，称为，称为，称为，称为型极型极型极型极限限限限.若令若令若令若令，则，则，则，则时，时，时，时，可以得到此极限的另一个等价形式，可以得到此极限的另一个等价形式，可以得到此极限的另一个等价形式，可以得到此极限的另一个等价形式.此极限我们不予证明，此极限我们不予证明，此极限我们不予证明，此极限我们不予证明，从函数的图形中可以看出从函数的图形中可以看出从函数的图形中可以看出从函数的图形中可以看出此极限存在。此极限存在。此极限存在。此极限存在。t t3 3y y本讲稿第十一页，共二十页左右两侧附近计算出一些点的对应函数

6、值左右两侧附近计算出一些点的对应函数值左右两侧附近计算出一些点的对应函数值左右两侧附近计算出一些点的对应函数值列表观察函数极限值。列表观察函数极限值。列表观察函数极限值。列表观察函数极限值。我们在我们在我们在我们在t0-0.54.000000.52.25000-0.12.867970.12.25374-0.012.732000.012.70481-0.0012.719640.0012.71692-0.00012.718420.00012.71815-0.000012.718300.000012.71827-0.0000012.718280.0000012.71828本讲稿第十二页，共二十页从表

7、中可以看出，当从表中可以看出，当从表中可以看出，当从表中可以看出，当时，时，时，时，可以证可以证可以证可以证明这个极限是无理数，将其记作明这个极限是无理数，将其记作明这个极限是无理数，将其记作明这个极限是无理数，将其记作e e e e，.这样就有这样就有这样就有这样就有或或或或本讲稿第十三页，共二十页例例例例11111111 求求求求解解解解 例例例例12121212 求求求求解解解解 本讲稿第十四页，共二十页例例例例13131313 求求求求解解解解 本讲稿第十五页，共二十页例例例例1414 求求求求解解解解:原式原式原式原式=本讲稿第十六页，共二十页例例例例1616 已知已知已知已知求求求求 c。解解解解:原式原式原式原式=本讲稿第十七页，共二十页 作业作业P54 1(2),(4),(6),(8),(10);2(1),(2),(3),(4),(7).本讲稿第十八页，共二十页例例例例10101010 求求求求解：解：解：解：本讲稿第十九页，共二十页例例例例1515 求求求求解解解解:原式原式原式原式=本讲稿第二十页，共二十页