高等代数中概念精选文档.ppt
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1、高等代数中概念高等代数中概念本讲稿第一页,共二十一页 高等代数教学内容中高等代数教学内容中,有一些内容表面上是孤有一些内容表面上是孤立的立的,但实际上很多这样的内容都有其生动的背景但实际上很多这样的内容都有其生动的背景与应用与应用.这反映了数学个学科间的广泛联系这反映了数学个学科间的广泛联系.了解了解有关的联系有关的联系,提高我们的综合数学修养提高我们的综合数学修养,会使我们会使我们得到对教学内容更精确与深入的理解得到对教学内容更精确与深入的理解,更好的掌握更好的掌握教学教学,得到更丰富的与学生交流的素材得到更丰富的与学生交流的素材.下面我们列举若干这类内容下面我们列举若干这类内容,以说明这方
2、面的以说明这方面的问题问题.本讲稿第二页,共二十一页 1.向量空间的概念向量空间的概念 我们常把向量空间的概念与中学里平面解析我们常把向量空间的概念与中学里平面解析几何的内容做类比几何的内容做类比.但有的学生也问但有的学生也问:为什么向量为什么向量空间的理论中不研究坐标平移空间的理论中不研究坐标平移.实际上向量空间的实际上向量空间的概念是纯代数的概念是纯代数的.回答上面的问题回答上面的问题,我们需要其几我们需要其几何化的概念何化的概念,这就是仿射空间的概念这就是仿射空间的概念.在微分流形、在微分流形、张量分析的教材中有相应的公理化的定义张量分析的教材中有相应的公理化的定义.本讲稿第三页,共二十
3、一页 D.1 设设V是是n维向量空间维向量空间,A是一个非空集是一个非空集,A中的元素称为点中的元素称为点,如果存在映射如果存在映射 ,使得使得A中任意一对有序点中任意一对有序点P,Q映为映为V中的一个向量中的一个向量 ,且满足且满足:(1)(2)存在唯一的一点存在唯一的一点 ,使得使得(3)恒成立恒成立本讲稿第四页,共二十一页 则称则称A是是n维仿射空间维仿射空间.V是其伴随的向量空间是其伴随的向量空间.在在A中任取一点中任取一点P,及及V中一个基底中一个基底 ,则则 为为A中一个标架中一个标架.利用利用n维仿射空间的理论与中学里平面解析几维仿射空间的理论与中学里平面解析几何内容相类比何内容
4、相类比,就可以很好的回答上面的问题了就可以很好的回答上面的问题了.本讲稿第五页,共二十一页 2.Vandermonde 行列式的应用行列式的应用 在一般教材中在一般教材中,Vandermonde 行列式常作为一行列式常作为一个行列式计算的实例而出现个行列式计算的实例而出现.实际上它本身有许多实际上它本身有许多重要的应用重要的应用.我们举一例我们举一例.把把Vandermonde 行列式应用于下面拓扑学定行列式应用于下面拓扑学定理的证明理的证明,可以得到非常简洁的陈述可以得到非常简洁的陈述.下述定理中的下述定理中的n维单纯复形维单纯复形K是指是指:次数不超过次数不超过n的一些不同维数的的一些不同
5、维数的单形的集合单形的集合,他们要规则放置他们要规则放置.本讲稿第六页,共二十一页 定理定理2 任意任意n维单纯复形维单纯复形K可以嵌入可以嵌入 中中.证明证明:因为因为K可以与一个抽象复形同胚可以与一个抽象复形同胚,我们考我们考虑虑K为抽象复形为抽象复形.设设K的全部顶点为的全部顶点为 ,选择选择 中中m+1个点个点,他们有性质他们有性质:其中有其中有2n+2个是独立的个是独立的.注注意意m可能比可能比n大很多大很多.这件事这样这件事这样办到办到:取取m个点个点 ,.利用利用Vandermonde 行列式可知行列式可知:本讲稿第七页,共二十一页 方程组方程组:只有只有0解解,所以上面所以上面
6、m+1个点中任意个点中任意2n+2个都是独立个都是独立的的.也称为这也称为这m+1个点处于一般位置个点处于一般位置.然后然后把这把这m+1个点与个点与K的的 m+1个顶点对应个顶点对应,再按再按K的的单形相对应的单形单形相对应的单形.这些单形是否构成一复形这些单形是否构成一复形,本讲稿第八页,共二十一页只需证明只需证明:任意两个单形的交如果不空任意两个单形的交如果不空,则其交则其交是他们的公共面是他们的公共面.由于复形由于复形K是是n维的维的,其单形的最大其单形的最大维数是维数是n,所以两个单形的顶点的总和不超所以两个单形的顶点的总和不超过过2n+2,从而在我们构造中是独立的从而在我们构造中是
7、独立的.他们张成他们张成中一个单形中一个单形,上面所述两单形是此单形的两个面上面所述两单形是此单形的两个面,这两这两个面的交当然是这两个面的公共面个面的交当然是这两个面的公共面,如同正如同正4面体的任意面体的任意2个个2维面的交若不空维面的交若不空,是是1维的公共棱维的公共棱,或或0维的公共顶点维的公共顶点,而不会是其它的任意的而不会是其它的任意的情形情形.证毕证毕.本讲稿第九页,共二十一页 这个结论是比较深刻的这个结论是比较深刻的.他体现在复形的他体现在复形的维数固定维数固定,他的顶点个数可以是任意大的有限数,他的顶点个数可以是任意大的有限数,所以其证明有一定难度所以其证明有一定难度.本讲稿
8、第十页,共二十一页 3.对称变换的一个背景对称变换的一个背景 在高等代数教材中在高等代数教材中,对称变换是欧氏空间中的一对称变换是欧氏空间中的一个内容个内容,在教材中他的出现是比较孤立的在教材中他的出现是比较孤立的.但是他实际是但是他实际是一些具体现象的抽象一些具体现象的抽象.在若干具体背景中微分几何在若干具体背景中微分几何中的背景是较生动的一个中的背景是较生动的一个.首先来看对称变换的定义首先来看对称变换的定义:D.欧氏空间中对任意欧氏空间中对任意 ,满足关系满足关系:的的 的线性变换的线性变换 ,称为对称变换称为对称变换.本讲稿第十一页,共二十一页微分几何中有一种重要的映射微分几何中有一种
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