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1、高数高数 三重积分的计算三重积分的计算本讲稿第一页，共二十六页化化三三重重积积分分为为单单积积分分与与二二重重积积分分的的累累次次积分积分柱柱面面坐坐标标与与球球面面坐坐标标系系下下三三重重积积分分的的计计算法算法小结小结第六章第六章 多元函数积分学及其应用多元函数积分学及其应用第三节 三重积分的计算 (4学时)1作业作业:Page136-1382,4(1)(4)(7)(10)(13),5,6(2)(3),7本讲稿第二页，共二十六页在此首先复习：定积分是如何寻求计算方法的在此首先复习：定积分是如何寻求计算方法的?二重积分是如何解决计算问题的？二重积分是如何解决计算问题的？三重积分又将通过什么思

2、想寻求计算途径？三重积分又将通过什么思想寻求计算途径？2本讲稿第三页，共二十六页第一部分第一部分 化三重积分为单积分与化三重积分为单积分与 二重积分的累次积分二重积分的累次积分3体积微元体积微元三重积分三重积分:在直角坐标系中，若用平行于坐标平面的平面族划分积分域在直角坐标系中，若用平行于坐标平面的平面族划分积分域则体积微元则体积微元从而从而本讲稿第四页，共二十六页4如图如图，直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分令令则则即将三重积分化为先单积分后二重积分的累次积分即将三重积分化为先单积分后二重积分的累次积分本讲稿第五页，共二十六页例例1 解解闭区域在闭区域在xo

3、y平面上的投影为平面上的投影为从而从而5本讲稿第六页，共二十六页6解解例例2 2 则则得交线投影区域得交线投影区域 本讲稿第七页，共二十六页解解如图：如图：例例3 3 7（总结：在什么条件下将三重积分化成（总结：在什么条件下将三重积分化成 “先单后重先单后重”也称投影法）也称投影法）本讲稿第八页，共二十六页即将三重积分化为先二重积分后单积分的累次积分即将三重积分化为先二重积分后单积分的累次积分直角坐标系中也可将三重积分化为直角坐标系中也可将三重积分化为“先二重后单先二重后单”积分积分8（通过下面两道例题体会在什么情况下将三重积分（通过下面两道例题体会在什么情况下将三重积分 化成化成“先重后单先

4、重后单”的累次积分；也称截面法）的累次积分；也称截面法）本讲稿第九页，共二十六页例例4 解解因此因此9本讲稿第十页，共二十六页解：课堂讲解：课堂讲例例5 5 10（P126页例页例6.3.2）本讲稿第十一页，共二十六页第二部分第二部分 柱面坐标与球面坐标系下柱面坐标与球面坐标系下 三重积分的计算法三重积分的计算法11一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定：柱面坐标与直角柱面坐标与直角坐标的关系为坐标的关系为三组坐标面为：三组坐标面为：本讲稿第十二页，共二十六页柱面坐标系下的体积微元柱面坐标系下的体积微元12如图，如图，因此因此体积微元为体积微元为用三组坐标面把区域分

5、成许多小闭区域，除了含边界点的一些不规则小闭区域外，这些小闭区域都是柱体，现考虑由各取得微小增量所成的柱体的体积，这个体积等于高与底面积的乘积。现在高为，底面积在不计高阶无穷小时为故故本讲稿第十三页，共二十六页解解13例例6 6 得交线为得交线为由柱面坐标变换由柱面坐标变换即即从而从而本讲稿第十四页，共二十六页解解1所围成的立体如图所示所围成的立体如图所示 .14例例7 7 旋转面方程为旋转面方程为所围成立体的投影区域如图所围成立体的投影区域如图.本讲稿第十五页，共二十六页15考虑如下区域考虑如下区域:则则因此因此（教材（教材P131页例页例6.3.6）解解2本讲稿第十六页，共二十六页二、利用

6、球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分16则数组则数组 称为点称为点P的球面坐标的球面坐标.设点设点如图如图,球面坐标的三组坐标面为：球面坐标的三组坐标面为：本讲稿第十七页，共二十六页球面坐标系下的体积微元球面坐标系下的体积微元如图，如图，17因此因此其体积微元为其体积微元为用三组坐标面将积分区域分成许多小闭区域.所成的六面体的体积.不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体.本讲稿第十八页，共二十六页18例例8 8 解解1采取球面坐标变换采取球面坐标变换:则则从而从而本讲稿第十九页，共二十六页19解解2采取柱面坐标变换采取柱面坐标变换:几何体在几何体在xoy平面上的投影区域为平面上的

7、投影区域为:本讲稿第二十页，共二十六页解一：解一：20例例9 9 采用球面坐标变换采用球面坐标变换:（教材（教材P134例例6.3.8）解二：解二：本讲稿第二十一页，共二十六页补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标面的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标面的奇偶性奇偶性21本讲稿第二十二页，共二十六页积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的奇函数的奇函数,22解解例例1010 所以所以本讲稿第二

8、十三页，共二十六页解解23例例1111 本讲稿第二十四页，共二十六页24由对称性知由对称性知 则则采用柱面坐标变换采用柱面坐标变换,则有则有区域在区域在xoy平面上的投影区域为平面上的投影区域为所以所以（用球面坐标如何？）（用球面坐标如何？）本讲稿第二十五页，共二十六页25第三部分第三部分 小结小结三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积微元在直角坐标系下的体积微元（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）（1 1）柱面坐标的体积微元柱面坐标的体积微元（2 2）球面坐标的体积微元球面坐标的体积微元（3 3）对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标本讲稿第二十六页，共二十六页