高数中值定理及其导数的应用精选文档.ppt

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1、高数中值定理及其导高数中值定理及其导数的应用数的应用本讲稿第一页，共六十八页1.1、罗尔、罗尔(Rolle)定理定理例如例如,本讲稿第二页，共六十八页几何解释几何解释:本讲稿第三页，共六十八页注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结其结论可能不成立论可能不成立.例如例如,又例如又例如,本讲稿第四页，共六十八页例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,本讲稿第五页，共六十八页1.2 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理本讲稿第六页，共六十八页几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为

2、方程为本讲稿第七页，共六十八页作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.本讲稿第八页，共六十八页拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论本讲稿第九页，共六十八页例例2 2证证本讲稿第十页，共六十八页例例3 3证证由上式得由上式得本讲稿第十一页，共六十八页小结小结Rolle定理定理Lagrang

3、e中值定理中值定理罗尔定理和拉格朗日中值定理之间的关系；罗尔定理和拉格朗日中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.本讲稿第十二页，共六十八页2 导数应用导数应用2.1单调性的判别法单调性的判别法定理定理本讲稿第十三页，共六十八页例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性符号来判别一个区间上的单调性本讲稿第十四页，共六十

4、八页二、单调区间求法二、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点分界点方法方法:本讲稿第十五页，共六十八页例例2 2解解单调区间为单调区间为本讲稿第十六页，共六十八页例例3 3证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例

5、如例如,本讲稿第十七页，共六十八页三、小结三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.本讲稿第十八页，共六十八页2.2 函数极值的定义函数极值的定义本讲稿第十九页，共六十八页定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点.本讲稿第二十页，共六十八

6、页2.2.1 函数极值的求法函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,本讲稿第二十一页，共六十八页定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)本讲稿第二十二页，共六十八页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)本讲稿第二十三页，共六十八页例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值本讲稿第二十四页，共六十八页图形如下图形如下本讲稿第二十五页，共六十八页定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证本讲稿第二十六页，共六十八页例例2 2解解图形如下图形如下本讲稿第二十七页，共六十八页注意注意:本讲稿第二十八页

7、，共六十八页例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.本讲稿第二十九页，共六十八页三、小结三、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极极小值可能大于极大值小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)本讲稿第三十页，共六十八页2.3 最值的求法最值的求法本讲稿第三十一页，共六十八页步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不

8、可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大比较大小小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小那个小那个就是最小值值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是则这个极值就是最值最值.(最大值或最小值最大值或最小值)本讲稿第三十二页，共六十八页应用举例应用举例例例1 1解解计算计算本讲稿第三十三页，共六十八页比较得比较得本讲稿第三十四页，共六十八页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;本讲稿第三十五页，共六十八页三、小结三、小结注意最值与极值的区

9、别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.本讲稿第三十六页，共六十八页思考题思考题本讲稿第三十七页，共六十八页思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值，但有最小值，但本讲稿第三十八页，共六十八页2.4曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方本讲稿第三十九页，共六十八页定义定义本讲稿第

10、四十页，共六十八页2.4.1 曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定定理定理1 1本讲稿第四十一页，共六十八页例例1 1解解注意到注意到,本讲稿第四十二页，共六十八页2.4.2 曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法1.1.定义定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.2.拐点的求法拐点的求法证证本讲稿第四十三页，共六十八页方法方法1:1:本讲稿第四十四页，共六十八页例例2 2解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点本讲稿第四十五页，共六十八页本讲稿第四十六页，共六十八页方法方法2:2:例例3 3解解本讲稿第四十七页，共六十八页注意注意:本讲稿第四十八页，共六十八

11、页例例4 4解解本讲稿第四十九页，共六十八页小结小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.本讲稿第五十页，共六十八页思考题思考题本讲稿第五十一页，共六十八页思考题解答思考题解答例例本讲稿第五十二页，共六十八页2.4.3渐近线渐近线定义定义:1.1.铅直渐近线铅直渐近线本讲稿第五十三页，共六十八页例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:本讲稿第五十四页，共六十八页2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:本讲稿第五十五页，共六十八页作图举例作图举例例例2 2解解非奇非

12、偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.本讲稿第五十六页，共六十八页列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点本讲稿第五十七页，共六十八页作图作图本讲稿第五十八页，共六十八页本讲稿第五十九页，共六十八页例例3 3解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.本讲稿第六十页，共六十八页拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点本讲稿第六十一页，共六十八页本讲稿第六十二页，共六十八页例例4 4解解无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:本讲稿第六十三页，共六十八页拐点拐点极大值极大值极小值极小值本讲稿第六十四页，共六十八页本讲稿第六十五页，共六十八页小结小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用是导数应用的综合考察的综合考察.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减本讲稿第六十六页，共六十八页思考题思考题本讲稿第六十七页，共六十八页思考题解答思考题解答本讲稿第六十八页，共六十八页