微积分函数定稿PPT课件.ppt

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1、关于微关于微积分函数定稿分函数定稿第一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template第一章第一章 函函 数数第二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template1.1.1 集合集合 1.1.集合的概念集合的概念 集合是数学中最基本的概念之一通常将集合是数学中最基本的概念之一通常将具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体称为集合，组称为集合，组成这个集合的每一个事物称为该集合的元素成这个集合的每一个事物称为该集合的元素

2、习惯上常用大写拉丁字母习惯上常用大写拉丁字母A，B，C，X，Y，表示集合，用小写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，x，y，表示集合中的元素对于给定的表示集合中的元素对于给定的集合集合A和元素和元素a，二者的关系是确定的，二者的关系是确定的，要么，要么a在集合在集合A中，中，记作记作a A，读作，读作 a 属于属于A；要么；要么a不在集合不在集合A中，记作中，记作a A，读作，读作a不属于不属于A，二者必居其一，二者必居其一1.1 集合集合集集 合合1.1第三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template

3、 第一章第一章 函数函数 含有有限个元素的集合称为含有有限个元素的集合称为有限集有限集；含有无穷多个元素的集合称为；含有无穷多个元素的集合称为无限集无限集；不含任不含任何元素的集合何元素的集合称为称为空集空集，用，用 表示表示 表示集合的方法主要有两种：一是列举法，二是描述法列举法，就是把集合中的所有元素一表示集合的方法主要有两种：一是列举法，二是描述法列举法，就是把集合中的所有元素一一列举出来如集合一列举出来如集合 A 由由 a1，an 所组成，则可以将其表示为所组成，则可以将其表示为 A=a1，,an；而描述法，；而描述法，则是强调指出具有某种性质则是强调指出具有某种性质 P 的元素的元素

4、 x的全体所组成，通常表示成的全体所组成，通常表示成A=x|x具有性质具有性质P，例如，集合例如，集合A是方程是方程 x2-3x+2=0的解集，就可表示成的解集，就可表示成 A=x|x2-3x+2=0，再如，集合，再如，集合B是不等是不等式式 03x-21的解集，则可表示成的解集，则可表示成 B=x|03x-21.第四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数2.2.集合与集合间的关系集合与集合间的关系 设设A、B是是两两个个集集合合，若若对对任任意意aAaB,则则称称A是是B的的子子

5、集集，记记作作AB(读读作作A含含于于B)或或BA(读读作作B包包含含A)；若若A B且且B A，则则称称A与与B相相等等，记记作作A=B.特特别别地地，规规定定 A，其中，其中A为任何集合为任何集合.如果集合的元素都是数，则称其为如果集合的元素都是数，则称其为数集数集.常用的数集有常用的数集有 (1)自然数集自然数集(或非负整数集或非负整数集)记作记作N，即，即N=0，1，2，n，；(2)正整数集记作正整数集记作N+，即，即N+=1，2，3，n，；(3)整数集记作整数集记作Z，即，即Z=，n，2，1，0，1，2，n，；第五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCo

6、mpany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数(4)有理数集记作有理数集记作Q=|pZ,qN+且且p,q互质互质；(5)实数集记作实数集记作R;正实数集记作正实数集记作R+.1.1.2 集合的运算集合的运算1.集合的运算集合的运算集合间的基本运算有三种集合间的基本运算有三种:并、交、差并、交、差.设有集合设有集合A、B，它们的，它们的并集记作并集记作AB,AB x|xA 或或 xB.集合集合A与与B的的交集记作交集记作AB(或或AB)，AB x|xA 且且 xB.集合集合A、B的差集记作的差集记作AB,AB x|xA 且且 x B.第六张，PPT共四十七页，

7、创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Teplate 第一章第一章 函数函数 通常我们将所研究的某一问题纳入到某个大集合通常我们将所研究的某一问题纳入到某个大集合中进行，所研究的其他集合都是中进行，所研究的其他集合都是的子集，此时我们称的子集，此时我们称为为全集全集.而将而将A称为称为A的补集或余集的补集或余集用用Ac 表示，即记表示，即记Ac=A.如如=R时，集合时，集合A=x|-11.2.集合的运算规律集合的运算规律 集合的运算满足如下运算规律集合的运算满足如下运算规律:设设A、B、C及及Ai(i=1,2,3，)为为中的集合，则中的集合，

8、则 第七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany Logo (1)AB=BA,AB=BA;交换律交换律(2)(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);结合律结合律(3)A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);结合律结合律(4)(AB)c=AcBc,(AB)c=AcBc;对偶律对偶律 (5)对偶律对偶律以上运算规律均可依据集合相等的定义加以证明，留给读者一试以上运算规律均可依据集合相等的定义加以证明，留给读者一试.1.1.3 区间与邻域区间与邻域区间是常用的一类数集区间是常用的一类数集,大体可以分为有限区间和无限区间大体可以分为有

9、限区间和无限区间.1.有限区间有限区间设设a,b为实数，且为实数，且ab,通常有如下定义与记法通常有如下定义与记法:(1)闭区间闭区间 a,b=x|a x b;(2)开区间开区间 (a,b)=x|axb;PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数第八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany Logo 第一章第一章 函数函数 (3)半开半闭区间半开半闭区间 a,b)=x|axb,(a,b=x|aa;(3)(-,b=x|xb;(4)(-,b)=x|x0,称开区间称开区间(a-,a+)为点为点a的的邻域邻域，记为记为U(a,)，即，即U(a

10、,)=(a-,a+)=x|a-xa+=x|x-a|.点点 a 称为邻域的中心，称为邻域的中心，称为邻域的半径称为邻域的半径.U(a,)可以在数轴上表示为图可以在数轴上表示为图1-3.图图1-3 有时用到的数集需要把邻域的中心去掉，邻域有时用到的数集需要把邻域的中心去掉，邻域U(a,)去掉中心去掉中心 a 后，称为点后，称为点 a 的去心的去心邻邻域，记作域，记作(a,),即即 第十一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数(a,)=(a-,a)(a,a+)=x|0|x-a|0时，时，

11、f(a)=2a.因因f(-1)=1,所以所以ff(-1)=f(1)=21=2.(3)函数函数f(x)的图形如图的图形如图1-6所示所示.图图1-6 下面给出几个以后常用的函数下面给出几个以后常用的函数.例例1-3 绝对值函数绝对值函数 第十八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数定义域定义域D=(-,+),值域值域Rf=0,+),它的图形如图所示它的图形如图所示.例例1-4 符号函数符号函数第十九张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany Lo

12、goPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数它的定义域它的定义域D=(-,+),值域值域Rf=-1,0,1,它的图形如图它的图形如图1-8所示所示.显然，对任意显然，对任意 x(-,+)有有|x|=x sgn x.例例1-5 取整函数取整函数y=x.对任意实数对任意实数 x,用用x表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数.例如例如-2.2=-3 2=2，.这个函数可以分段表示如下这个函数可以分段表示如下(图图1-9):y=x=n,nx 0,x1X,使得使得|f(x1)|M,则称则称f(x)在在X上无界上无界.注意注意 函数函数f(x)在在X上有界的充分必要条件是它在

13、上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界上既有上界又有下界.由于由于|f(x)|M 得到得到-Mf(x)M,从几何直观上看，如果从几何直观上看，如果f(x)在在X上有界，则其图形位于两上有界，则其图形位于两条直线条直线y=-M和和y=M之间，如图之间，如图1-10所示所示(其中其中X=a,b).第二十二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数图图1-10 例如，函数例如，函数 f(x)=sin x，在其定义域，在其定义域(-,+)内有界，因取任何正数内有界，因取任何正数 M 1

14、，都有，都有|f(x)|=|sin x|M.数数 1 和和-1分别为它的一个上界和下界分别为它的一个上界和下界.再如函数再如函数g(x)=，在其定义域，在其定义域(-，+)内也有界内也有界,只要取正数只要取正数 M ，都有，都有|g(x)|M.数数 和和 分别为它的一个上界和下界分别为它的一个上界和下界.第二十三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数 2.函数的单调性函数的单调性设函数设函数 y=f(x)的定义域为的定义域为Df，X Df，如果对，如果对x1,x2X且且x1 x2有

15、有f(x1)f(x2),则称则称 f(x)在在X上是上是单调增加单调增加的的(或或单调减少单调减少的的);如果对如果对x1,x2X且且x1 0)是以是以 为周为周期的周期函数期的周期函数.图图1-17 证证 只需证明只需证明因为因为 f(x)以以T为周期，所以为周期，所以 f(ax)=f(ax+T),即即所以所以f(ax)是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.第三十张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数1.2.3 反函数反函数定义定义1-2 给定函数给定函数 y=f(x)，其

16、定义域，其定义域Df，值域为，值域为Rf,如果对于如果对于yRf,必定必定唯一的唯一的xDf,使使f(x)=y,那么我们称在那么我们称在Rf上确定了上确定了y=f(x)的反函数，记作的反函数，记作x=f-1(y),yRf.此时也称此时也称 y=f(x)(xDf,yRf)在在 Df上是一一对应的上是一一对应的.习惯上常以习惯上常以 x 记为自变量，记为自变量，y 记为因变量，故反函数又记为记为因变量，故反函数又记为 y=f-1(x).相对反函数相对反函数 y=f-1(x)来说，原来的函数来说，原来的函数y=f(x)称为称为直接函数直接函数.从几何直观上看，从几何直观上看，y=f(x)和和 y=f

17、-1(x)的图形关于直线的图形关于直线 y=x 是对称的是对称的.第三十一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数值得说明的是，并非所有的函数都有反函数值得说明的是，并非所有的函数都有反函数，例如，函数，例如，函数 y=x2在定义域在定义域Df=(-，+)上不是一一对应的，从而没有反函数；但上不是一一对应的，从而没有反函数；但 y=x2,x(-,0有反函数有反函数 y=-.现在我们要问函数现在我们要问函数 y=f(x)在什么条件下一定存在反函数，容易证明如下结论在什么条件下一定存在反

18、函数，容易证明如下结论(留给留给读者证之读者证之):定理定理1-1 (反函数存在定理反函数存在定理)单调函数单调函数 y=f(x)必存在单调的反函数必存在单调的反函数 y =f-1(x)，且，且y=f-1(x)具有与具有与 y=f(x)相同的单调性相同的单调性.例例1-10 求函数求函数求函数求函数 y y=的反函数的反函数的反函数的反函数.第三十二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数 解解 函数函数 y=的定义域的定义域 Df=(-,+),值域为值域为Rf=(-1,1).由由可

19、解得可解得x=log3 ,变换变换x与与y的位置，得反函数的位置，得反函数1.2.4 复合函数复合函数在实际问题中经常出现这样的情形在实际问题中经常出现这样的情形:在某变化过程中，第一个变量依赖于第二个变量，在某变化过程中，第一个变量依赖于第二个变量，而第二个变量又依赖于另外一个变量而第二个变量又依赖于另外一个变量.例如，某产品的销售成本例如，某产品的销售成本C 依赖于销量依赖于销量 Q，C=100+3Q，而销量，而销量 Q 又依赖于销售价格又依赖于销售价格P,Q=5e ，则通过，则通过Q销售成本销售成本C实际上依赖于销售价实际上依赖于销售价格格P，即，即C=100+15e .像这样在一定条件

20、下，将一个函数像这样在一定条件下，将一个函数“代入代入”到另一个函数中的运算称为到另一个函数中的运算称为函数的复合运算，而得到的函数称为复合函数函数的复合运算，而得到的函数称为复合函数.第三十三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数 定义定义1-3 设函数设函数 y=f(u)的定义域为的定义域为Df,函数函数u=(x)的定义域为的定义域为D ,值域为值域为R ,当当R Df 时，称时，称 y=f(x)为由为由y=f(u)与与u=(x)构成的复合函数，而构成的复合函数，而u称为称为中

21、间变量中间变量.但但若若R Df=,则称则称 y=f(u)与与u=(x)二者不能进行复合运算二者不能进行复合运算.利用复合这个概念，有时可以把一个复杂的函数分解成若干简单的函数的某些运算，有时也可利用复合这个概念，有时可以把一个复杂的函数分解成若干简单的函数的某些运算，有时也可以利用几个简单的函数复合成一个较为复杂的函数以利用几个简单的函数复合成一个较为复杂的函数.例如，例如，y=sinlnx可以看作是由可以看作是由 y=sinu，和，和u=ln x复合而成的；同样函数复合而成的；同样函数 y=eu,u=arctanx二者可以复合成函数二者可以复合成函数 y=earctanx.复合函数的概念还

22、可推广到有限多个函数复合的情形复合函数的概念还可推广到有限多个函数复合的情形.例如例如y=3 可以看成是由可以看成是由三个函数复合而成，其中三个函数复合而成，其中u、v为中间变量，为中间变量，x为自变量，为自变量，y为因变量为因变量.第三十四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany LogoPowerPoint Template 第一章第一章 函数函数注：注：会装会装 例例 设设 f(x)=g(x)=tanx，则，则 fg(x)=gf(x)=f(x)=sinx,g(x)=lnx,h(x)=3x,则则 fgh(x)=sin gh(x)=注意：复合函数中已知

23、注意：复合函数中已知f(x)，g(x)和和 fg(x)中任意两者可以求出第三者。中任意两者可以求出第三者。会拆会拆：能够将一个复杂的复合函数拆开成若干个基本初等函数或简单函数能够将一个复杂的复合函数拆开成若干个基本初等函数或简单函数（即基本初等函数仅仅经过有限次的四则运算而得到的函数的复合）（即基本初等函数仅仅经过有限次的四则运算而得到的函数的复合）第三十五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月Company LogoCompany Logov会拆会拆：能够将一个复杂的复合函数拆开成若干个基本初等函数或简单函数（即能够将一个复杂的复合函数拆开成若干个基本初等函数或简单函数（即基本初等函数仅

24、仅经过有限次的四则运算而得到的函数的复合）基本初等函数仅仅经过有限次的四则运算而得到的函数的复合）例例 解：解：例例解：解：第三十六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数 1.3.1 基本初等函数基本初等函数在微积分这门课程中，函数往往是研究问题的工具，有时也是研究对象在微积分这门课程中，函数往往是研究问题的工具，有时也是研究对象.常用的函数常用的函数都是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这些函数构成的，我们将这都是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这些函数构成的，我们将这六类函数

25、称为基本初等函数六类函数称为基本初等函数.1.常函数常函数函数函数y=C (C是常数是常数)叫做叫做常函数常函数.它的定义域它的定义域 Df=(-,+),值域值域 Rf=C (图图1-19).基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数1.3第三十七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数图图1-19 2.幂函数幂函数函数函数y=xm m (m m是常数是常数)叫做叫做幂函数幂函数.幂函数幂函数 y=xm m 的定义域取决于的定义域取决于m m 的给定值的给定值.例如，当例如，当 m m=3 时，时，y=x3 的定义域为的定义域为

26、(-，+)；当；当 m=时，时，y=x3/2的定义域为的定义域为0，+)；当；当 m=时时,y=x 的定义域为的定义域为(-,0)(0，+)；当；当 m=时，时，y=x 的定义域为的定义域为(0,+);当当 m m 为无理数时，规定为无理数时，规定 y=xm m 的定义域为的定义域为(0,+).总之，无论总之，无论 m m 取何值，幂函数在取何值，幂函数在(0,+)内有定义内有定义.第三十八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数 当当 y=xm m 中的中的 m m=1,2,3,-1 时是最常见的幂函数，它们的图形如图时是最常见

27、的幂函数，它们的图形如图1-20所示所示.图图1-20 3.指数函数指数函数函数函数y=ax (a 0 且且 a1,a是常数是常数)叫做叫做指数函数指数函数.指数函数指数函数 y=ax 的定义域的定义域 Df=(-，+)，值域，值域 Rf=(0,+).当当 a 1时它时它第三十九张，PPT共四十七页，创作于2022年6月PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数是单调增加函数；当是单调增加函数；当 0 a 0且且a1,a为常数为常数)叫做叫做对数函数对数函数.第四十张，PPT共四十七页，创作于2022年6月PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数 对数

28、函数是指数函数的反函数，定义域对数函数是指数函数的反函数，定义域 Df =(0,+),值域值域 Rf=(-,+).当当 a 1时，时，y=loga x 是单调增加函数；当是单调增加函数；当 0 a 1 时，它是单调减少函数，其图形与时，它是单调减少函数，其图形与 y=ax 关于直线关于直线 y=x 对称对称(图图1-21和图和图1-22).以常数以常数 e 为底的对数函数为底的对数函数 y=loge x 叫做叫做自然对数函数自然对数函数，简记作，简记作 y=lnx.5.三角函数三角函数常用的三角函数有常用的三角函数有正弦函数正弦函数 y=sinx(图图1-23).余弦函数余弦函数 y=cosx

29、(图图1-24).正切函数正切函数 y=tanx(图图1-25).余切函数余切函数 y=cotx(图图1-26).第四十一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数图图1-23 图图1-24 图图1-25 图图1-26 第四十二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数其中自变量是以弧度为单位来表示其中自变量是以弧度为单位来表示.y=sinx 与与 y=cosx的定义域均为的定义域均为(-，+)，值，值域均为域均为-1,1；都是以；都是以 2p p 为周期的周期函数且都有

30、界；为周期的周期函数且都有界；y=sinx为奇函数，为奇函数，y=cosx 为为偶函数偶函数.正切函数正切函数 y=tanx 的定义域及值域分别为的定义域及值域分别为D=x|xR,xnp p+,nZ,R=(-,+).余切函数余切函数 y=cotx 的定义域及值域分别为的定义域及值域分别为D=x|xR,xnp p,nZ,R=(-,+).正切函数和余切函数都是以正切函数和余切函数都是以 p p 为周期的周期函数，且均为奇函数为周期的周期函数，且均为奇函数.此外，还常用到另外两个三角函数此外，还常用到另外两个三角函数:正割函数正割函数 y=secx(其中其中 secx=)和和余割函余割函数数 y=c

31、scx(其中其中 cscx=).二者都是以二者都是以 2p p 为周期的周期函数，并且在为周期的周期函数，并且在(0,)内都是无内都是无界函数界函数.6.反三角函数反三角函数反三角函数是三角函数的反函数反三角函数是三角函数的反函数.三角函数三角函数 y=sinx，y=cosx，y=tanx和和第四十三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数y=cotx的反函数分别为的反函数分别为反正弦函数反正弦函数 y=arcsinx(图图1-27).反余弦函数反余弦函数 y=arccosx(图图1-28).反正切函数反正切函数 y=arctan

32、x(图图1-29).反余切函数反余切函数 y=arccotx(图图1-30).图图1-27 图图1-28 第四十四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数图图1-29 图图1-30 这四个反三角函数均为多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为这四个反三角函数均为多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支主值分支，分别，分别记作记作:y=arcsinx,定义域定义域 D=-1，1，值域，值域 R=;y=arccosx,定义域定义域 D=-1，1，值域，值域 R=0,p p;y=arctanx,定义域定义域 D=(-

33、，+)，值域，值域 R=();y=arccotx,定义域定义域 D=(-，+)，值域，值域 R=(0,p p).反三角函数反三角函数 y=arcsinx 和和 y=arctanx 在其各自的定义域内为单调增加的且均为奇函数；而在其各自的定义域内为单调增加的且均为奇函数；而 y=arccosx 和和 y=arccotx 在各自的定义域内是单调减少的且均在各自的定义域内是单调减少的且均第四十五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月PowerPoint Template 第一章第一章 函数函数为非奇非偶函数为非奇非偶函数.请注意，如不作说明，以后所提到的反三角函数均指主值分支请注意，如不作说明，

34、以后所提到的反三角函数均指主值分支.1.3.2 初等函数初等函数定义定义1-4 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而形成的由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而形成的并可用一个式子表示的函数，称为并可用一个式子表示的函数，称为初等函数初等函数.例如，例如，等都是初等函数等都是初等函数.但这里需特别提醒但这里需特别提醒:大多数分段函数一般说来不是初等函数大多数分段函数一般说来不是初等函数.例如例如,y=sgnx，等都不是初等函数，它们可以称为等都不是初等函数，它们可以称为分段初等函数分段初等函数.但也不要走向另一个极端，认为所有的分但也不要走向另一个极端，认为所有的分段函数都不是初等函数段函数都不是初等函数.例如，分段函数例如，分段函数 y=就是初等函数就是初等函数.因为因为 它可由它可由 y=复合而构成，从而为初等函数复合而构成，从而为初等函数.第四十六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月m感谢大家观看第四十七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月