根的存在性证明(零点定理)(共1页).doc

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精选优质文档-倾情为你奉上根的存在性定理：如果在闭区间a,b上连续。证明 利用构造法的思想，将的零点范围逐步缩小。先将a,b二等分为，如果。则定理获证。如果，则f(a)和f(b)中必然有一个与异号，记这个小区间为,它满足。又将二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为，它满足a,b，。采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列，它满足:a,b；。 由单调有界定理，可以得到，如果，则定理获证。如果，因为f(x)在点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个，使得f(x)在上与同号。根据所构造的区间的性质，存在正整数N，当n>N时，。根据区间的性质，矛盾。综上所述，只有，且。定理获证。 注：上面采用的证明方法是非常有用的二分法，其思想可以广泛的应用于各个领域，而实际上是函数零点的近似值。专心-专注-专业