学年高中数学第四章导数应用习题课导数的综合应用训练含解析北师大版选修-.docx

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1、习题课抛物线的综合问题及应用1.抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,过F作倾斜角为30的直线,与抛物线交于A,B两点,假设|AF|BF|(0,1),那么|AF|BF|=()A.15B.14C.13D.12解析:因为抛物线的焦点为0,p2,直线方程为y=33x+p2,与抛物线方程联立得x2-233px-p2=0,解方程得xA=-33p,xB=3p,所以|AF|BF|=|xA|xB|=13.应选C.答案:C2.设抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点Q,假设过点Q的直线与抛物线有公共点,那么此直线的斜率的取值范围是()A.-12,12B.-2,2C.-1,1D.-4,4解析:准线x=-2,Q(-2

2、,0),设y=k(x+2),由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时,x=0,即交点为(0,0);当k0时,由0,得-1k0或00)上的两点,O为原点.假设|OA|=|OB|,AOB的垂心恰为抛物线的焦点F,那么直线AB的方程是()A.x=pB.x=3pC.x=32pD.x=52p解析:由抛物线的对称性,知A,B两点关于x轴对称.设A点坐标为(x1,y1),那么B点坐标为(x1,-y1).抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为Fp2,0,由F是AOB的垂心,知AFOB,因此kAFkOB=-1,即y1x1-p2-y1x1=-1.由点A在抛物线上,得y1

3、2=2px1.将代入,得x1=5p2,故直线AB的方程为x=52p.答案:D4.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.假设机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,那么k的取值范围是.解析:依题意可知,机器人行进的轨迹方程为y2=4x.设斜率为k的直线方程为y=k(x+1),联立y=k(x+1),y2=4x,消去y,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.由=(2k2-4)2-4k41,解得k1.答案:(-,-1)(1,+)5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,那么|BF|=.解析:设点A,B的横坐标分别是x

4、1,x2,那么依题意有焦点F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1,直线AF的方程是x=1,此时弦AB为抛物线的通径,故|BF|=|AF|=2.答案:26.导学号01844020过点P(2,2)作抛物线y2=3x的弦AB,恰被P所平分,那么AB所在的直线方程为.解析:方法一:设以P为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),那么有y12=3x1,y22=3x2,x1+x2=4,y1+y2=4.-,得(y1+y2)(y1-y2)=3(x1-x2).将代入得y1-y2=34(x1-x2),即34=y1-y2x1-x2,k=34.所求弦AB所在直线方程为y-2=34(x-2),

5、即3x-4y+2=0.方法二:设弦AB所在直线方程为y=k(x-2)+2.由y2=3x,y=k(x-2)+2,消去x,得ky2-3y-6k+6=0,此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,由韦达定理和中点坐标公式,得y1+y2=3k,又y1+y2=4,k=34.所求弦AB所在直线方程为3x-4y+2=0.答案:3x-4y+2=07.P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,那么点A的纵坐标为.解析:由于P,Q为抛物线x2=2y,即y=12x2上的点,且横坐标分别为4,-2,那么P(4,8),Q(-2,2),从而在点P处的切线

6、斜率k1=4.据点斜式,得曲线在点P处的切线方程为y-8=4(x-4);同理,曲线在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2).将这两个方程联立,解得交点A的纵坐标为-4.答案:-48.导学号01844021抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.解如下图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),那么直线方程为y=-x+12p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),那么由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+p2+x2+p2,即x1+p2+x2+p2=8.又A(x1,y1),B(x

7、2,y2)是抛物线和直线的交点,由y=-x+12p,y2=2px消去y,得x2-3px+p24=0,x1+x2=3p.将其代入得p=2,所求抛物线方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.9.导学号01844022如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,OAOB,OMAB.求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解点A,B在抛物线y2=4px上设AyA24p,yA,ByB24p,yB,OA,OB的斜率分别为kOA,kOB,所以kOA=4pyA,kOB=4pyB,由OAOB,得kOAkOB=16p2yAyB=-1,又点A在AB上,得直线AB方程为(yA+yB)(y-yA)=4px-yA24p,由OMAB,得直线OM方程为y=yA+yB-4px,设点M(x,y),那么x,y满足,两式,将式两边同时乘以-x4p,并利用式,可得xyA24p-xy4p-4pyx+xyAyB4p=-x2+xyA24p,整理得x4pyAyB+(x2+y2)=0,由式知,yAyB=-16p2,所以x2+y2-4px=0,因为A,B是原点以外的两点,所以x0.所以M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆去掉坐标原点.