基于核心素养的一道几何习题的变式教学探究.docx

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1、基于核心素养的一道几何习题的变式教学探究李志平摘 要 几何教学是初中数学教学的重要组成部分，也是初中数学教学的难点. 如何通过几何教学培养学生核心素养，是新时代数学教师所面临的课题. 文章抛砖引玉，以“共顶点旋转全等三角形”为基本模型，结合平行线、全等三角形、角平分线、等腰三角形等八年级学生所掌握的知识，以课本的一道习题为出发点，改编出一系列变式练习，希望通过变式教学，促进学生數学核心素养的发展.关键词 几何习题;变式教学;核心素养在当前初中几何教学中，部分教师未能充分开发教材例、习题资源，过于推崇课外资料，加重学生学业负担，对教材基础性的例、习题缺乏重视或认识不足，对教材例、习题的使用存在局

2、限性，对例、习题的讲解缺少解题思路剖析，没有揭示题目背景，也没有适当地变式拓展. 本文以一道课本习题为例，结合学生既有知识，形成一系列变式教学. 这既有利于培养学生在几何直观和逻辑推理方面的核心素养，也能够给开始尝试几何变式教学的教师提供参考.原题及出处新人教版数学教材八年级上册第83页习题13.3第12题：如图1，ABC，ADE都是等边三角形，求证：BD=CE.原题分析与解答背景分析：本题是以“共顶点旋转全等三角形”为基本模型的题型. 此题型在教材、课外参考资料乃至中考中屡见不鲜，它有多样的变式和漂亮的性质，对学生的思维具有深刻的启发作用，对变式教学而言具有极大的研究价值.思路分析：可通过证

3、明ACEABD得CE=BD. 根据等边三角形的性质，可以通过SAS证ACEABD，也可以通过把ABD绕点A顺时针旋转60得到ACE，同样可得ACEABD.证明：因为ABC和ADE为等边三角形，所以AB=AC，AD=AE，BAC=DAE= 60. 所以由ABD绕点A顺时针旋转60可得ACE，所以ACEABD，所以CE=BD.变式拓展变式1 （“8字形”）？摇如图2，ABC和ADE均为等边三角形，求证：COB=60.证法一：易证ACEABD，所以ACE=ABD，在APC和OPB中，由外角性质知：APO=PCA+PAC，APO=PBO+POB，所以COB=CAB=60.证法二：易证ACEABD，所以

4、ACE=ABD，在APC和OPB中，由三角形内角和定理知：APC+PCA+PAC=180，BPO+PBO+POB=180. 又因为APC=BPO，所以COB=CAB=60.评注 “全等三角形三组对应边的夹角相等”是不要求学生掌握的性质，但在练习题甚至中考中却时常出现. 在变式1中，ACEABD，对应边AC和AB的夹角和对应边AE和AD的夹角均为60，由上述性质知：对应边CE和BD的夹角COB=60. 在学生解题过程中，上述性质不能直接运用，只能作为理解题目的切入点. 我们需要展示给学生的，是归纳这类图形的共性：共顶点旋转全等，对应角构成“8字形”. 如图2阴影部分，ACE和ABD是对应角，两角

5、（四条射线）交汇形成“8字形ABOCA”. 我们注意到，8字形由APC和OPB组成，在这两个三角形中分别运用外角的性质（或三角形内角和定理）可以证明对应边CE和BD的夹角也为60. 同理，另一组“8字形AEODA”也可得对应边CE和BD的夹角EOD=60.变式1-1？摇 如图3，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC. 求证：ECBF.证明：显然ACEAFB，对应角AEC和ABF构成“8字形ABMEA”，由外角的性质（或三角形内角和定理）易证：EMB=EAB=90，所以ECBF.评注 找“8字形”是求第三组对应边夹角的有效途径. 在构成“8字形”的两个三角形中，有一组角是“共顶点旋转全

6、等三角形”的对应角，另一组角是对顶角，所以第三组角相等. 因此我们只要找到构成 “8字形”的两个三角形，就可轻易解决角相等的问题.变式2 （二次全等）如图4，ABD和BCE均为等边三角形，且A，B，C在同一条直线上，求证：（1）BCQBEP;（2）BAPBDQ;（3）BPQ为等边三角形.证明：（1）显然BAEBDC，所以BCQ=BEP，易证PBE=QBC=60，BC=BE，所以BCQBEP.（2）同（1）法可证：BAPBDQ.（3）由（1）知BCQBEP，所以BP=BQ，又因为PBQ=60，所以BPQ为等边三角形.评注 此题是二次全等的典型习题，图形虽较复杂，但抓住本质即可快速解答，与原题有异

7、曲同工之妙，有利于培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.变式3 （角平分线的判定）如图5，ABD和BCE均为等边三角形，且A，B，C在同一条直线上，求证：AMB=CMB.证明：如图5，过点B作BP，BQ分别垂直于AM，CM于点P，Q. 易证：BPEBQC（AAS），所以BP=BQ，又因为BPAM、BQCM，所以BM平分AMC（角平分线的判定），即AMB=CMB.评注 通过向角的两边引垂线段是解决角平分线（角相等）问题的一种常用方法. 但此题巧妙结合了角平分线的判定、等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定等知识点，对于八年级的学生而言，是一道综合性强、思路少、很难独立解决的问题. 如果教师能巧

8、妙引导，帮助学生找到突破口，那么此题对于培养学生的几何逻辑推理能力具有极大的意义.变式4 （等腰三角形三线合一）如图6，ABC和ADE都是等边三角形，点D在线段AC上，若S =2S ，求证：（1）BDAC;（2）BCCE.證明：（1）显然ABDACE，所以S =S =2S . 所以S =S . 所以CD=AD. 又因为BC=BA，所以BDAC（三线合一）.（2）易证DCE=30，BCE=90，所以BDCE.评注 此题巧妙结合了全等三角形、等边三角形以及三角形中线平分面积等知识点，题型新颖、难度不大、解法较多，是一道综合性很强的练习题.变式5 （平行线的判定）如图7， ABC和ADE都是等边三角

9、形，点D在BC上，试说明：CEAB.证明：显然ABDACE，所以ACE=ABD=CAB=60，所以CEAB.评注 此题是点D落在BC上的一种特殊情形，在经过简短的证明后，却得到了始料未及的结论平行. 这个结论并不直观，但却巧妙地体现了逻辑推理在几何证明中的重要性.变式6 （2016年广东中考第24题第（2）问）如图8，正方形ABCD的边长为2，线段BC在其所在的直线上移动，记平移后的线段为PQ，连接PA，QD，过点Q作QOBD于O，连接OA，OP. 试问线段OA和OP之间有怎样的关系？并加以证明.解：OA=OP且OAOP，证明如下：根据题意可分为如图8和9两种情形，两图均易证OBQ为等腰直角三角形，所以BO=QO，显然ABO=OBQ=PQO=45，AB=BC=PQ，所以OBAOQP（SAS），所以OA=OP，AOB=POQ，所以AOP=BOQ=90，即OA=OP且OAOP.评注 此题是共顶点旋转全等三角形的经典考题. 在繁杂的条件陈述中，发现本题的实质，找全全等的条件，对八年级的学生而言是一个巨大的挑战.小结变式教学在初中数学课堂教学中应用尤为广泛，特别是在初中几何例、习题的教学中，变式教学能有效地提升课堂教学效率，更是培养和发展学生数学核心素养的良好载体. 对于数学教师而言，研究如何通过变式教学，促进学生核心素养落到实处是一个意义深远、任务重大的课题.