历年高考立体几何试题汇编.doc

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1、 19902002年高考立体几何试题汇编(90全国) 如图,在三棱锥SABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SAAB,SBBC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数. （91全国）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求点B到平面EFG的距离（92理）两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线段AA1的长度为d。在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m，AF=n（93全国）如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.()判定直线A1

2、C1和l的位置关系,并加以证明;()若A1A=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求顶点A1到直线l的距离. （94全国）如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1平面DBC1；(2)假设AB1BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角的度数.（95全国）如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的周长上，AFDE，F是垂足。(1)求证：AFDB(2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3，求点E到截面ABCD的距离（96全国）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,EBB1，截面A1EC侧面AC1.()求证:BE=EB1;()若AA1=A

3、1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为()的完整证明,并解答().()证明:在截面A1EC内,过E作EGA1C,G是垂足. _EG侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BFAC, _BF侧面AC1;得BFEG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG. _BEFG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG, _FGAA1,AA1CFGC, _()解:（97全国）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点. ()证明ADD1F; ()求AE与D1F所成的角; ()证明面AED面

4、A1FD1;（98全国）已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，ABC90，BC2，AC2，且AA1A1C，AA1A1C。 （）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小； （）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小； （）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。（99全国）如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45，AB=a（）求截画EAC的面积；（）求异面直线A1B1与AC之间的距离；（求三棱B1EAC的体积。（00广东、全国）如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，

5、且C1CB=C1CD=BCD，（）证明：C1CBD；（）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明。（00两省一市）如图，直三棱柱ABC-，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=，棱=2，M、N分别是、的中点。（I）求的长；（II）求，的值；（III）求证（01广东、全国）如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，面ABCD， SAAB，()求四棱锥SABCD的体积； ()求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值（01两省一市）如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中OxBC,OyAB.E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a,高为h()求cos;

6、()记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角的平面角，求BED（02全国）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若（）（1）求的长；（2）为何值时，的长最小；（3）当的长最小时，求面与面所成二面角的大小。（02两省一市）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为，侧棱长为。（1） 建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；（2） 求AC1与侧面ABB1A1所成的角（02广东）四棱锥的底面是边长为的正方形，平面。（1）若面与面所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。面与面所成的二面角恒大于 参考答案 （90）解法一:由

7、于SBBC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC底边SC的中线,所以SCBE.又已知SCDE,BEDEE,SC面BDE,SCBD.又SA底面ABC,BD在底面ABC上,SABD.而SCSAS,BD面SAC.DE面SAC面BDE,DC面SAC面BDC,BDDE,BDDC.EDC是所求的二面角的平面角.SA底面ABC,SAAB,SAAC.设SAa,又因为ABBC, ACS30.又已知DESC,所以EDC60,即所求的二面角等于60.解法二:由于SBBC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SCBE.又已知SCDE,BEDEESC面BDE,SCBD.由于SA底面

8、ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BDAC;又因ESC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于DAC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BDDE.DE面BDE,DC面BDC,EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.（91）解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EFBD，H为AO的中点BD不在平面EFG上否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾由直线和平面平行的判定定

9、理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离 4分 BDAC， EFHC GC平面ABCD， EFGC， EF平面HCG 平面EFG平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线 6分作OKHG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离 8分 正方形ABCD的边长为4，GC=2， AC=4，HO=，HC=3 在RtHCG中，HG=由于RtHKO和RtHCG有一个锐角是公共的，故RtHKOHCG OK=即点B到平面EFG的距离为 10分（92）解法一:设经过b与a平行的平面为,经过a和AA1的平面为,=c,则ca.因而b,

10、c所成的角等于,且AA1c(如图)。 AA1b, AA1.根据两个平面垂直的判定定理,.在平面内作EGc,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG.连结FG,则EGFG.在RtEFG中,EF2=EG2+FG2。 AG=m,在AFG中,FG2=m2+n2-2mncos. EG2=d2, EF2=d2+m2+n2-2mncos.如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则EF2=d2+m2+n2+2mncos.因此解法二:经过点A作直线ca,则c、b所成的角等于,且AA1c.根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面a.在两平行直线a、c所确定的平面内,作E

11、Gc,垂足为G,则EG平行且等于AA1，从而EG。连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EGFG.在RtEFG中,EF2=EG2+FG2。(以下同解法一)（93）解:()lA1C1.证明如下:根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1平面A1BC1,直线l=平面A1BC1平面ABC.根据两平面平行的性质定理有lA1C1.()解法一:过点A1作A1EL于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A平面ABC. 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有：AEl.由棱柱的定义知A1C1

12、AC,又lA1C1, lAC.作BDAC于D,则BD是RtABC斜边AC上的高,且BD=AE,从而AEBD(AEBC)/AC(43)/512/5在RtA1AE中, A1A=1，A1AE=90,故点A1到直线 l 的距离为13/5。解法二:同解法一得lAC.由平行直线的性质定理知CAB=ABE，从而有RtABCRtBEA，AE:BC=AB:AC，AE(BCAB)/AC以下同解法一。（94）(1)证明:A1B1C1-ABC是正三棱柱,四边形B1BCC1是矩形.连结B1C,交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.在AB1C中,AD=DC,DEAB1,AB1平面DBC1.(2)解:作DFBC,垂足为F

13、,则DF面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.AB1BC1,由(1)知AB1DE,DEBC1,则BC1EF,DEF是二面角的平面角.设AC=1,则DC=1/2.ABC是正三角形,在RtDCF中,DF=DCsinC=/4,CF=DCcosC=1/4取BC中点G.EB=EC,EGBC.在RtBEF中,EF2=BFGF,又BF=BC-FC=3/4,GF=1/4EF2=(3/4)(1/4),即EF=/4.tgDEF=DF/EF=1DEF=45.故二面角为45.（95）(1)证明：根据圆柱性质，DA平面ABE，EB平面ABE，DAEB，AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，AE

14、EB，又AEAD=A，故得EB平面DAE，AF平面DAE，EBAF，又AFDE，且EBDE=E，故得AF平面DEB，DB平面DEB，AFDB。(2)解：设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以ADAB。由题设知，即d=a/2。（96） ()BE:CF=1:2, DC=2DB, DB=BC, 1分 ABD是等腰三角形, 且ABD=120,BAD=30, CAD=90, 3分 FC面ACD, CA是FA在面ACD上的射影, 且CAAD, 5分 FAAC=A,DA面ACF，DA面ADF 面ADF面ACF. 7分()解:VA1-AEF=VE-AA1F在面A1B1C1

15、内作B1GA1C1,垂足为G.BGa/2 面A1B1C1面A1C,B1G面A1C,EBB1,而BB1面A1C,三棱柱的高为a/29分SAA1F=AA1AC/2=a2/210分VA1-AEF=VE-AA1F=a4/412分（97） 解:()AC1是正方体, AD面DC1. 又D1F面DC1, ADD1F. -2分 ()取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1GD1F. 设A1G与AE相交于点H,则AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以RtA1AGRt

16、ABE, GA1A=GAH，从而AHA1=90,即直线AE与D1F所成角为直角. -5分()由()知ADD1F,由()知AED1F,又ADAE=A,所以D1F面AED.又因为D1F面A1FD1, 所以面AED面A1FD1. -7分（)连结GE,GD1. FGA1D1, FG面A1ED1, AA1=2, （98） 解：（）作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC， A1AD为A1A与面ABC所成的角。2分 AA1A1C，AA1A1C，A1AD45为所求。 4分 （）作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB。 A1ED是面A1ABB1与面ABC所成

17、二面角的平面角。 6分 由已知，ABBC，得EDBC。又D是AC的中点， BC2，AC2， DE1，ADA1D，tgA1EDA1D/DE=。故A1ED60为所求。 8分 （）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。 10分连结HB，由于ABBC，得ABHB。 又A1EAB，知HBA1E，且BCED， HBCA1ED60。 CHBCsin60为所求。 12分 解法二：连结A1B。 根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥CA1AB的高h。 10分 由V锥CA1ABV锥A1ABC得1/2SAA1Bh1/2SABCA1D， 即 1/32h=1

18、/32，h=为所求。 12分 （99）（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。底面ABCD是正方形DOAC。又ED底面AC，EOAC。 EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角， 2分 EOD45。DO(2)1/2/2a, AC=(2)1/2a, Eo=(2)1/2asec45/2=a. 故 SEAC=(2)1/2a2/2 4分（II）解：由题设ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，得A1A底面AC， A1AAC。又 A1AA1B1，1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。 6分D1B面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO， D1BEO。又 O是DB的中点，E是D1D的中点， D1

19、B2ED2a。 异面直线A1B1与AC间的距离为(2)1/2a。 8分(III)解法一：如图，连结D1B1。D1DDB(2)1/2a，BDD1B1是正方形。连结B1D交D1B于P，交EO于Q。B1DD1B。 EOD1B，B1DEO又 ACEO， ACED，AC面BDD1B1B1DACB1D面EAC。 B1Q是三棱锥B1EAC的高。 10分由DQPQ，得B1Q3B1D/43a/2。VB1EAC(1/3)(2)1/2a2/2(3/20=(2)1/2a3/4.所以三棱锥了EAC的体积是(2)1/2a3/4. 12分解法二：连结B1O，则VB1EAC2VAEOB1AO面BDD1B1，AO是三棱锥AEO

20、B1的高，AO(2)1/2a/2在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如右图），则SEOB1=3a2/4.VB1-EAC=2(1/30(3a2/4)(2)1/2a/2=(2)1/2a3/4.所以三棱锥B1EAC的体积是(2)1/2a3/4.12分。（00广东）（）证明：连结、和交于，连结。四边形ABCD是菱形，=。又=，=，B=D， 3分但，平面。又平面，。 6分（）当时，能使平面。证明一：，又，由此可推得。三棱锥是正三棱锥。 9分设与相交于。，且：1，：=2：1。又是正三角形的边上的高和中线，点是正三角形的中心，平面，即平面。 12分证明：由（）知，平面，平面，。 9分当时

21、，平行六面体的六个面是全等的菱形，同的正法可得。又，平面。 12分（00两省一市）如图，以C为原点建立空间直角坐标系O。 （I）解：依题意得B，N， 2分 （II）解：依题意得，B，C，。 ，。 。， 5分 9分（III）证明：依题意得，M ， ， ， 12分（01广东）解：()直角梯形ABCD的面积是M底面= = 2分四棱锥SABCD的体积是 4分()延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6分，面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交线.又，面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，CS， 所以是所求二面角的平面角 10分，即所求二面角的正切值为 （01两省一市）（02

22、全国）解：（1）作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。MN=PQ由已知， CM=BN=a,CB=AB=BE=1,即（2）由（1）（3）取MN的中点G，连接AG、BG，AM=AN,BM=BN，AGMN,BGMN，AGB即为二面角的平面角。又，所以由余弦定理有。故所求二面角。 （02两省一市）解：（1）如图，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系。由已知，得-4分（2）坐标系如上。取的中点M，于是有,连有,且由于所以，（02广东）解（1）平面，是在面上的射影，是面与面所成二面角的平面角，而是四棱锥的高，（2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形作，垂足为，连结，则，故是面与面所成的二面角的平面角设与相交于点，连结，则在中，所以，面与面所成的二面角恒大于