中考数学复习专题讲座四探究型问题（学生版）.doc

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1、2013年中考数学复习专题讲座四：探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或

2、套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用三、中考考点精讲考点一：动态探索型：

3、此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件例1 （2012自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目例3 （2012盐城）如图所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，

4、分别以AC、BC为边向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1l于点D1，过点E作EE1l于点E1（1）如图，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系（不需要证明）例4 （2012丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OBOA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC（1）如图1，当点A的横坐标为 时，矩形AOBC

5、是正方形；（2）如图2，当点A的横坐标为时，求点B的坐标；将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=x2，试判断抛物线y=x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由 考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例5 （2012青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90，且EF交

6、正方形外角平分线CF于点F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但ABE和ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证AEMEFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EMAEF=90FEC+AEB=90又EAM+AEB=90EAM=FEC点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点AM=EC又可知BME是等腰直角三角形AME=135又CF是正方形外角的平分线ECF=13

7、5AEMEFC（ASA）AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由例6 （2012永州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PHl，H为

8、垂足（1）求二次函数y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使y0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目例7 （2012黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=6，点C的坐标为（9，0）（1）求点B的坐标；（2）

9、若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=2，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，是否存在点P，使以O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由例8 （2012北海）如图，在平面直角坐标系中有RtABC，A=90，AB=AC，A（2，0）、B（0，1）、C（d，2）（1）求d的值；（2）将ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B、C正好落在某反比例函数图象上请求出这个反比例函数和此时的直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G问是否存在x轴上的点M和反比例函

10、数图象上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由四、中考真题演练1（2012广东）如图，直线y=2x6与反比例函数y=的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B（1）求k的值及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由2（2012乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x0）的图象交于点M，过M作MHx轴于点H，且tanAHO=2（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不

11、存在，请说明理由3（2012莆田）如图，一次函数y=k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数（xO）的图象相交于B、C两点（1）若B（1，2），求k1k2的值；（2）若AB=BC，则k1k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由4（2012长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（1，2），反比例函数y=（k0）的图象经过点B（1）求k的值（2）将平行四边形OABC沿x轴翻折，点C落在点C处，判断点C是否在反比例函数y=（k0）的图象上，请通过计算说明理由7（2012宜宾）如图，抛物线y=x22x+c的顶点A在直线l：y

12、=x5上（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由8（2012温州）如图，经过原点的抛物线y=x2+2mx（m0）与x轴的另一个交点为A过点P（1，m）作直线PMx轴于点M，交抛物线于点B记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）连接CB，CP（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m1时，连接CA，问m为何值时CACP？（3）过点P作PEPC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落

13、在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由9（2012威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EFx轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PMx轴，垂足为点M，PCM为等边三角形（1）求该抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使CMN与CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若

14、不存在，请说明理由10（2012泰安）如图，半径为2的C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）若抛物线y=x2+bx+c过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得PBO=POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，MAB的面积为S，求S的最大（小）值12（2012岳阳）（1）操作发现：如图，D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点D运

15、动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连接AF、BF，探究AF、BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论13（2012烟台）（1）问题探究如图1，分别以ABC的边AC与边BC为边，向ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使A

16、HK=ACD1作D1MKH，D2NKH，垂足分别为点M，N试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使AH1K1=BH2K2=ACD1作D1MK1H1，D2NK2H2，垂足分别为点M，ND1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由如图3，若将中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）14（2012湘潭）如图，ABC是边长为3的等边三角形，将ABC沿直线BC向

17、右平移，使B点与C点重合，得到DCE，连接BD，交AC于F（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长15（2012苏州）如图，已知抛物线y=x2（b+1）x+（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相

18、似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由16（2012泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状17（2012绍兴）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到

19、墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=ACAA1=0.4=2而A1B1=2.5，在RtA1B1C中，由+=得方程 ，解方程得x1= ，x2= ，点B将向外移动 米（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问

20、题20（2012广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2CF2取最大值时，求tanDCF的值21（2012厦门）已知：O是ABC的外接圆，AB为O的直径，弦CD交AB于E，BCD=BAC（1）求证：AC=AD；（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若BCF=30，则结论“CF一定是O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例23（2012德州）如图所示，现有一张

21、边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由24（2012北京）操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到

22、线段AB，其中点A，B的对应点分别为A，B如图1，若点A表示的数是3，则点A表示的数是 ；若点B表示的数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E与点E重合，则点E表示的数是 （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m0，n0），得到正方形ABCD及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A，B已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F与点F重合，求点F的坐标25（2012日照）在RtABC中，C=90，AC=3

23、，BC=4，AB=5（）探究新知如图，O是ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G（1）求证：内切圆的半径r1=1； （2）求tanOAG的值；（）结论应用（1）如图，若半径为r2的两个等圆O1、O2外切，且O1与AC、AB相切，O2与BC、AB相切，求r2的值；（2）如图，若半径为rn的n个等圆O1、O2、On依次外切，且O1与AC、AB相切，On与BC、AB相切，O1、O2、On均与AB相切，求rn的值26（2012衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（ABBC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸请给予证明（2）在

24、一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（ABBC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长2718（2012连云

25、港）已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由