微分方程组求解方法精品文稿.ppt

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1、微分方程组求解方法第1页，本讲稿共41页本节我们仍考虑被称为本节我们仍考虑被称为平面系统的平面系统的二维自治系统二维自治系统(5.3.1)其中 ，在上 连续且满足解的存在唯一性条件。存在唯一性条件。为了研究系统（为了研究系统（5.3.1）的轨线的定性性态，）的轨线的定性性态，第2页，本讲稿共41页必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系统的某一解 ，满足：则点 一定是系统的奇点。第3页，本讲稿

2、共41页一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较复杂的。又因为对于系统的任何奇点 均可用变换可用变换(5.3.2)把（把（5.3.1）变为：）变为：第4页，本讲稿共41页(5.3.3)且(5.3.3)的奇点 即对应于(5.3.1)的移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。奇点 。又因为变换(5.3.2)只是一个平因此，我们可假设 是(5.3.1)的奇点，且第5页，本讲稿共41页性态即可。所以设性态即可。所以设(5.3.1)中的右端函数满足：中的右端函数满足：(5.3.4)如果 均是 的线形函数。我们称之为数。我们称之为

3、线性系统线性系统，即，即只须讨论(5.3.1)的奇点 及其邻域的轨线(5.3.5)第6页，本讲稿共41页5.3.1 几个线性系统的计算机相图几个线性系统的计算机相图一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻域轨线的性态有很大的帮助。域轨线的性态有很大的帮助。Maple可以方便地可以方便地画出其图形，给我们一个直观的形象。画出其图形，给我们一个直观的形象。Maple画轨线图时候先要调入微分方程的软画轨线图时候先要调入微分方程的软件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定第7页，本讲稿共41页初值，再给出步长、颜色等。看几个具

4、体的例子。初值，再给出步长、颜色等。看几个具体的例子。例例5.3.1 用用Maple描出系统描出系统(5.3.6)在奇点附近轨线的相图。在奇点附近轨线的相图。解解 用用Maple解得解得相相图图5.7。第8页，本讲稿共41页5.3.2 平面线性系统的初等奇点考虑到一般的平面线性系统（5.3.5）其中系数矩阵 为常数矩阵。第9页，本讲稿共41页如果 ，则 是系统这时的奇点称为系统的高阶奇点。下边讨论系统（5.3.5）的初等奇点。根据线性代数的理论，必定存在非奇异实矩阵 ，使得 成为 的若当的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点.而则称 非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线，第10页，本讲稿共41页

5、（Jordan）标准型，且若当标准型的形式由的特征根的不同情况而具有以下几种形式：因而对系统（5.3.5）作变换即 ，其中第11页，本讲稿共41页是上边所说的是上边所说的实可逆矩阵实可逆矩阵，则系统，则系统(5.3.5)变为变为:(5.3.10)从 而变换的几种形式就能容易的得出平面系统（5.3.10）的轨线结构，至于第12页，本讲稿共41页原方程组原方程组(5.3.5)的奇点及附近的轨线结构只须的奇点及附近的轨线结构只须用变换 返回到就行了。由于变换 不改变奇点的位置与类型型，因此我们只对线性系统的标准方程组给出，因此我们只对线性系统的标准方程组给出讨论。讨论。第13页，本讲稿共41页记设

6、的特征方程为：则特征方程为 ，特征根为(5.3.11)第14页，本讲稿共41页由特征根的不同情况分为四种情况来讨论由特征根的不同情况分为四种情况来讨论:1.特征根为不相等的同号实根此时对应的标准型为此时对应的标准型为(5.3.12)容易求出其通解为容易求出其通解为第15页，本讲稿共41页（5.3.13）其中 是任意常数，对应于零解，对应的 轴正负半轴都是轨线；对应的 轴正负半轴是轨线；当 时候，再分两种情况讨论：（1），同号且均为负数 第16页，本讲稿共41页这时消去 得（5.3.14）所以轨线均为以 顶点的抛物线，且当 时由第17页，本讲稿共41页我们可知：我们可知：当 时即切线切 轴趋于

7、点。当 时第18页，本讲稿共41页即切线切 轴趋于 点。且由于(5.3.14)知此时原点 是渐近稳定的，所以系统在原点及附近的相图如下图所示：所以系统在原点及附近的相图如下图所示：图图5.11(a)图5.11(b)我们把这样的奇点称为我们把这样的奇点称为稳定结点稳定结点。（2），同号均为正数第19页，本讲稿共41页这时关于(1)的讨论在此适用只需将改为 所以此时的奇点称为不稳定结点，轨线分布如图轨线分布如图5.11类似，仅是图上的箭头反向。类似，仅是图上的箭头反向。2.为异号实根 这时仍有这时仍有(5.3.13)和和(5.3.14)，所以两个坐标轴的，所以两个坐标轴的正负半轴仍为轨线，但是由于

8、 ，奇点附近第20页，本讲稿共41页的轨线成为双曲线的且的轨线成为双曲线的且若 ，则当 时，若 ，则当 时，轨线均以 轴 轴为渐近线，系统在原点及附近的轨线分布如附近的轨线分布如:图图5.12(a)图图5.12(b)第21页，本讲稿共41页这种奇点成为这种奇点成为鞍点鞍点，它是不稳定奇点它是不稳定奇点。3.为重根 这时由这时由Jordan块块的不同分为两种：的不同分为两种：(1)标准型为(5.3.15)第22页，本讲稿共41页且当 时，即 是渐近稳定的；反之，当 时 为不稳定的。此时的奇点称为奇点称为临界结点临界结点（星形结点星形结点），），第23页，本讲稿共41页(2)若若Jordan块块为

9、二阶时，标准型为为二阶时，标准型为(5.3.16)其通解为(5.3.17)第24页，本讲稿共41页仍对应的是零件即奇点对应的是 轴为轨线，但是 轴不再是轨线，时消去 得出：(5.3.18)由上式知：又因为第25页，本讲稿共41页所以有因此所有轨线均切 轴于 点，这种奇点称为退化结点。且当 时为稳定的退化结点，当 时为不稳定的退化结点。第26页，本讲稿共41页4.这时系统的标准型为这时系统的标准型为(5.3.19)取极坐标变换 ,(5.3.19)即化为化为:第27页，本讲稿共41页(5.3.20)下边分两种情况下边分两种情况:（1）此时解(5.3.20)得出第28页，本讲稿共41页其中 是任意常

10、数，消去 得这是这是一族对数螺线一族对数螺线，这样的奇点称为，这样的奇点称为焦点，焦点，且当 时是稳定焦点，时是不稳定焦点，的正负决定了 增加时轨线是顺时针还是逆时针绕原点旋转的。时针绕原点旋转的。第29页，本讲稿共41页(2)这时特征值是一对纯虚数这时特征值是一对纯虚数,于是系统在极坐标下于是系统在极坐标下的通解为：的通解为：为任意的常数且 。显然这是一族以原点为中心的同心圆，这样的奇点称为为中心的同心圆，这样的奇点称为中心中心，第30页，本讲稿共41页中心是中心是稳定奇点稳定奇点但不是渐近稳定的但不是渐近稳定的。归纳上边的讨论得出，系统归纳上边的讨论得出，系统(5.3.5)的奇点的奇点是初

11、等奇点时候根据它的系数矩阵 的特征方程特征方程(5.3.11)有如下分类：有如下分类：1）当 时，为鞍点；2）当 且 时是结点且 是稳第31页，本讲稿共41页定的，不稳定的；3)当 且 时 是临界结点或退化结点,且 是稳定的，是不稳定的；4)当 时是 焦点且为稳定的，为不稳定的;5)当 且 时，是中心。第32页，本讲稿共41页由此知道参数 平面，被 轴，正 轴别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区，别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区，及曲线 分成了几个区域，分中心区，退化和临界结点区等等，中心区，退化和临界结点区等等，点。点。但是 平面的 轴对应的是系统的高阶奇第33页，本讲稿共41页例例5.3.6 画出下面的线性系统的奇点附近相图画出下面的线性系统的奇点附近相图解 容易算出所以 是系统的鞍点。第34页，本讲稿共41页我们求解如下：(当 时 )得到 .同样的可以分析画出奇点附近的轨线分布如近的轨线分布如图图5.18所表示。所表示。第35页，本讲稿共41页第36页，本讲稿共41页xyOxyO第37页，本讲稿共41页Oxy第38页，本讲稿共41页yx第39页，本讲稿共41页yx第40页，本讲稿共41页第41页，本讲稿共41页