圆锥曲线的性质(文科数学选修1)说课材料.doc

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1、圆锥曲线第一小题送分，第二小题要命。即：第一小题要钱不要命，第二小题，要命不要钱。大题是要命的。圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学各骨干知识和各种思想方法的交汇点，也是初等数学与高等数学的衔接点，集中而完美地实现了数与形的相互转换，也是数形结合的一个典范，因此圆锥曲线成为历届高考的命题热点经过对近几年高考试题的统计、分析，特别是近年的高考卷，可以发现有下面四个显著特点：1在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、离心率、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求解椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况2在双曲线中常以

2、一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、离心率、准线方程以及渐近线方程等基础知识；在解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查3抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等4圆锥曲线的综合应用问题，往往以解答题的形式进行考查常以与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、范围问题等面貌呈现，这类以圆锥曲线为载体的解答题，多与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量等知识交汇在一起这类试题往往蕴含着数形结合、等价转换、分类讨论等重要的数学思想，

3、对同学们的数学能力有较高的要求 椭圆和双曲线口诀：椭正双负椭a双c焦距与离心率是负性的。总述椭圆双曲线画法一根绳子栓在两根钉子上一根不等长拉锁栓在两根钉子上第一定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a (2a) 的点的轨迹叫做椭圆条件：2a2c平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a2c) 的点的轨迹叫做双曲线条件：02a2010，则方程可化为-=1，而c2=k-2+k-2010不为定值，所以此时不成立. 若解之得-2k0，b0)，则其准线为x=12.(解此类方程的小技巧：，代入)解得所求椭圆方程为+=1.例 *解析：答案：C 离心率焦距与长轴长的比称为离心

4、率。记忆顺口溜：e等于a分之c，l等于c分之a方。 公式法例 *椭圆25x2+y2=25的离心率为 _ 。解析：答案：例 *解析：答案：B例 *定义：离心率e=的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：+=1 (ab0)的一个焦点为F(c,0) (c0)，P为椭圆E上的任意一点，若a，b，c不是等比数列，则 ( )A. E是“黄金椭圆”B. E一定不是“黄金椭圆”C. E不一定是“黄金椭圆”D可能不是“黄金椭圆”自解：通过此题掌握“反证法”的解题思路。以下两命题互为逆否命题：原命题：若E为黄金椭圆，则abc是等比数列。逆否命题：若abc不是等比数列，则E不是黄金椭圆。解析：总思路：如果a，b，c是等比

5、数列有关，那么，因此，计算假设E为黄金椭圆，则e=，即c=a，b2=a2-c2=a2-2 把题设e=代入上式中。=ac. 即a，b，c成等比数列，自：反证法：由上面证得：若椭圆的离心率为e=，则a，b，c成等比数列其逆否命题为：若a，b，c不成等比数列，则椭圆的离心率不为e=答案：B例已知双曲线的离心率是2，焦点是(-4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A. -=1B.-=1C. -=1 D.-=1解析：由焦点是(-4,0)，(4,0)知c=4，离心率是2,即e=2，a=2，b2=c2-a2=12，双曲线方程为-=1.答案：A模块 关系式法口诀：关系式法：只找关系不找e。有关系式，就有结果

6、。因为a与c都是距离或长度，因此，最主要是找长度之间的关系。往往，长度之间的关系，是通过角度来构建的，是通过圆锥曲线的几何性质来构建的技巧：离心率是最好计算的一种题型：只要所有的关系都要a,b,c三种量来表示即可，最后再用约去量b就可以了。求离心率的第一方法就是关系式法，不用管中的c值为多少，a值为多少，只需要关心能不能列出关系式即可。规律：根号下递增关系：166316611662例 *解析：答案：C例 *设是等腰三角形，以A、B为焦点，且过点C的双曲线的离心率为_。解析：例 *解析：答案：例 *自析：椭a双c。解析：自：在中观察。答案：例 *解析：答案：例 *已知F1、F2是椭圆的两个焦点，

7、满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ()A(0,1)B.C. D.自析：几何意义法圆在椭圆内部，则有：椭圆的半长轴都比圆的半径大即可：关系式法：，分离b，得到a与c的式子：，于是，有：解析：，(自：，两向量垂直。为直径角) M点轨迹方程为x2+y2=c2，其中F1F2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x2+y2=c2外部，(自：总方向：椭圆的短轴都要比圆的半径长。)设点P为椭圆上任意一点，则|OP|c恒成立，由椭圆性质知|OP|b，其中b为椭圆短半轴长，bc，c22c2，e=.又0e1，0e1，b0) 的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(

8、-1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围自解：注意到a1的条件，画如下草图609解析：直线l的方程为+=1（自：两截式），即bx+ay-ab=0（自：我得出的方程为：，带了一个分母，结果计算起来非常麻烦。）由点到直线的距离公式，得：点(1,0)到直线l：bx+ay-ab=0的距离d1=（前提条件a1）. 点(-1,0)到直线l：bx+ay-ab=0的距离d2=.s=d1+d2=.又sc，得， (两边同除) （自：开始构造e）得52e2，即4e4-25e2+250解得e2，5又e1(自：双曲线的条件)，e的取值范围是e，模块 分离出x或x2，由x的范围，得e的范围例 *椭圆

9、 + =1 (ab0) 的两个焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，且满足=0. 求椭圆的离心率e的取值范围；自解：几何意义法：如果圆上的一点也在椭圆上，则椭圆与圆必有交点。因此，椭圆的短半轴长要比圆的半径要短。即：。由关系式法：，分离b，凑成a与c的式子：则：。于是：解析：x或x2范围法设点M的坐标为(x，y)，又有：，则=(x+c，y)，= (x-c，y)，由=0，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2 又由点M在椭圆上，由+ =1变形得y2=b2- x2.代入得：x2-c2=-(b2- x2)x2-c2= x2-b2x2=a2- . (自：得出 x2的范围，往的方

10、向配凑。) 0x2a2， (自：总方向：往的方向凑配。) 同除:即0 1，02- 1，解得 e1，又0eb0)，当离心率时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5，求此时椭圆的方程注意：时，椭圆的形状已经是完全固定下来的。即：解析：设点H(x，y)是椭圆上的一点，已知N(0,3)，则 (自：求H(x，y)与N(0,3)的距离：) |HN|2=x2+(y-3)2当离心率e取最小值 时，椭圆方程可表示为 + =1，(自：这里设成参数为b的方程，是因为N点在y轴上)x2=2b2-2y2.x2=2b2-2y2代入上式 (自：把x2舍去，变成关于y2的方程，也是因为N(0,3)在y轴上。) =-(y+

11、3)2+2b2+18 (-byb)自：由对称轴距离法得最值，看谁离对称轴最近。因此，是对称轴越接受对称轴，值就越大。把代入到中，应该有：-(y+3)2+2b2+18=下面是这个解法的细化。即：讨论一种情况：万一椭圆上y值不能取得3怎么办，即：万一短轴长比3小怎么办。其实，这种讨论是没有必要的。原因是你在求某一个椭圆，这个椭圆，不满足上面的条件，其实就已经自动退出这个舞台了。即：|HN|2=-(y+3)2+2b2+18(自：由N(0,3)来定的范围，因为N在y轴正方向上的一个点，所以，有椭圆短轴的长度在N下方与在N点上方两种情况。) 若0b3，则-3-b0，当y=-b时，|HN|2有最大值 i(

12、自：y的范围在-byb这个范围之内，对|HN|2=-(y+3)2+2b2+18这个二次函数而言，开口向下，因此，当y越接近-3时，越接近对称轴时的最大值，但是，永远不可能等于-3.) 把y=-b代入到|HN|2=-(y+3)2+2b2+18中，得：|HN|2=|HN|2有最大值b2+6b+9.由题意知：|HN|=5 (自：点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5) 两边平方后有：b2+6b+9=50， 解得b的两根为：b1=5-3b2=-5-3这与0b3矛盾； 若b3，则-b-3. (自：短轴的长度大于在点N(0,3)之外)当y=-3时，|HN|2有最大值.(自：y的范围在-byb这个范围之内

13、，对|HN|2=-(y+3)2+2b2+18而言，开口向下，因此，当y在对称轴时的最大值) 把y=-3代入到|HN|2=-(y+3)2+2b2+18中，得：|HN|2=|HN|2有最大值2b2+18.由题意知：|HN|=5两边平方，得：2b2+18=50，b2=16，所求椭圆方程为 + =1.模块 e2法方法平方是沟通、与的桥梁。本身是没有平方的。打通三者的关系，就需要左右同时平方。形式一：椭圆双曲线形式二：椭圆双曲线从推导的过程中，引发的记忆：c是负性的，因此，带c的e也是负性的。e越接近1，b越接近0，图形越扁公式比e分式更重要：原因：椭圆和双曲线中的分母是和，而此形式也是关于和的形式。因

14、此，计算更方便例 *解析：答案：9例 *解析：答案：例 *解析：解析：由已知得：e=，c=x1+x2=，x1x2=则x12+x22 (自：观察答案，知道是与x2+y2有关的计算，于是，往这方向拼凑) =(x1+x2)22x1x2=+ (从此步可有另一种解法) = (自：代入到分子中) =(自：放缩法)b0)1.l 离心率越小，双曲线开口越扁狭；（自：，如果离心率越小，也即e越接近1(e1)，则a与c的差距越小，因此，双曲线的开口越扁狭。）607l 离心率越大，双曲线开口越开阔（自：，因此，离心率越大，a与c的差距越大，因此，双曲线的开口越开阔。）608e反映了圆锥曲线的扁平程度。圆当e=0时，

15、c=0，a=b，两焦点重合，图形变为圆当e接近于0时，c越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆。椭圆当e接近于1时，c越接近于a，从而b越小，椭圆越扁平。双曲线把c想象成x轴上的一个滑点，如同正在几何画法中进行滑动一样。圆：c=0时，即c在原点时，为圆：椭圆：c从0向a进发的过程中，圆越来越扁。双曲线：当c超过了a，则为双曲线，此时的双曲线几乎是紧靠着x轴。(曲弯永远在c的一面。)当c变大，则b变大，双曲线的张口越来越大。大到无穷时，就是过a的两条直线。自：能不能用以上的视角，来理解：焦准距等数据？c在坐标轴上滑动：从原点到正负无穷自：离心率焦点离开中心的比率i焦点与长轴比率曲线形式圆椭

16、圆抛物线双曲线离心率c的滑动c在原点c在0与a之间可认为c与a重合：c与a的同时滑动决定了曲线形状c永远在曲弯a是顶点。a是顶点。a不是顶点。a是顶点。在心离心离心记忆圆长得最象0，因此，就是0记忆：椭圆长得像0，因此，与0有关。抛物线长得最像1.抛物线长得也像1.例 *椭圆 +=1 (ab0) 的中心、右焦点、右顶点及右准线与x轴的交点依次为O、F、G、H，则的最大值为( )A. B.C. D不确定599解析：由题意得=-2+=-e2+e=-2+，因此选C.答案：C 第一定义例 *若F1、F2分别是椭圆+=1 (ab0) 的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且|PF1|+|PF2|=4，|

17、F1F2|=2. 求出这个椭圆的方程；解析：依题意，|PF1|+|PF2|=4, 即2a=4, 所以a=2，|F1F2|=2, 即2c=2，所以 c=，b=1.椭圆的方程为+y2=1.例 *已知椭圆+=1 (ab0) 的左、右焦点分别为F1、F2，在该椭圆上求一点P，使|PF1|PF2|最大自解：|PF1|PF2|，只有在当时，|PF1|PF2|才可以取得最大值时，此时点P在椭圆短轴端点(0，b)快解：|PF1|+|PF2|=2a|PF1|PF2|2=2=a2. (自：均值不等式) 当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”，此时点P在椭圆短轴端点(0，b)例 *(2011，天门)设P是椭圆+=

18、1上一动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是() A. B. C- D-口诀：余弦定理中暗含着均值不等式。自解：由焦三角的面积公式可轻易得出：，则y越大，越大。自解：根据经验：可知，必是时取得最值：原因：“一正二定二相等”中的相等。不相等，不可能取得最值。cos是0-180度之间时，是减函数，因此，F1PF2最大时，cosF1PF2的值最小，如图所示：588由余弦定理可得：cosF1PF2解析：自：自己的解法与之完全一样设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意m+n=6，c=，则:cosF1PF2= (m+n=2a，代入此式中。) =-1-1 (自：把m+n=6代入上式

19、中。) =-答案：C例 *ABC中，A、B、C所对三边为a、b、c，B(-1,0)，C(1,0)，求满足sinC-sinB=sinA时，顶点A的轨迹，并画出图形分析：首先利用正弦定理把三角关系转成三边关系利用双曲线的定义可判断A点轨迹的形状，然后还要结合实际问题，确定曲线的范围自：解题准备:解析：1183sinC-sinB=sinA， - = ，（自：同乘2R）即：c-b= a=2=1，亦即：2a= |AB|-|AC|=1，2c=BC=2动点A(x，y)符合双曲线的定义且知双曲线中的2a=1, 2c=2，a=，b2=c2-a2= ，点A的轨迹方程为 - =1，由cb即是|AB|AC|，可知点A

20、的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为1，虚轴长为的双曲线的右支.（自：因为是三角形，）还需除去点误区指津：题目要求的是“顶点A的轨迹”，必须指明轨迹是什么及轨迹的主要特征(如中心位置、焦点坐标、实轴、虚轴长度等)，有很多同学只求出 - =1便结束了，没有指明轨迹的情况点评：利用正弦定理把条件sinC-sinB=sinA转化为|AB|-|AC|=1，正符合双曲线的定义，但与定义又有点差别(缺少差的绝对值条件)，且由实际，A、B、C不能共线，故又去掉点 第二定义：e=点焦/点准1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a2c) 的点的轨迹叫做双曲线第二定

21、义：平面内与一个定点F和一条定直线l (F不在l上)的距离的比是常数e (e1) 的动点C的轨迹叫做双曲线模块 点焦/点准利用定义|PF1|+|PF2|=2a及=e可以求解有关问题例 *设椭圆+=1(m1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为()A. 6B. 2C. D. 自解：|PF1|+|PF2|=2a=3+1=4e=.到右焦点的距离为1，到右焦点的距离设为d，则=，d=2解析：由椭圆上的点P到左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1知|PF1|+|PF2|=2a=3+1=4，a=2.m=2. 椭圆方程为+=1，e=.由椭圆的第二定义知，点P到右焦点的距离与到

22、右准线的距离之比为，即=，d=2.答案：B例 (2011杭州)在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则实数m的取值范围是()A(0,1) B(1，+)C(0,5) D(5，+)解析：将m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2变形为mx2+(y+1)2=(x-2y+3)2，则当m0时：不表示任何曲线； (自：出现了虚数。) 当m=0时：表示直线 (自：0=(x-2y+3)2) 当m0时 ，方程进一步变为：=|x-2y+3|. 设动点P(x，y)：设直线l：x-2y+3=0，则动点P(x，y)到直线l的距离，即：，可代入上式，设点A(0，-

23、1)，则动点P(x，y)与已知点A(0，-1)的距离为：|PA|=，方程转化为|PA|=d，所以=.故动点P(x，y)到定点A(0，-1)的距离与到定直线l：x-2y+3=0的距离之比为 ，由椭圆第二定义知该椭圆离心率为 ，则0 1，m(5，+)故选D.答案：D例 *已知双曲线-=1的离心率e1+，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？解析：设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|d，由双曲线的第二定义知=e，即|PF2|=e|PF1|，再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a，由式，解得|

24、PF1|=，|PF2|=. 因在PF1F2中有|PF1|+|PF2|2c，自：这样构造的原因：在圆锥曲线中，只要是知道任意两个参数，就可以推知出e。知a与b，可推知c,于是，e=，知a与c，可知e=，知b与c，可知a，于是，可知：e=)因此，只有a与e，要与c产生联系。于是，构造出c。构造b的话，还要与c间接产生联系。我的自解中，就是构造出b. 拼凑e=：e2-2e-10，解得1-e1+.e1，1e1+与已知e1+矛盾即符合条件的点P不存在自解：总方向：向的方向进行构造。604自：设点P到左焦点的距离为，点P到右焦点的距离为根据“|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项”，有根据椭圆的

25、第二定义，有，代入到上式中：根据椭圆的第二定义，有，与上式合并为：由图像可知，P到左准线的距离与到右准线的距离相差，因此，即：由图像可知，的最小值在长轴的端点处取得，即因此，应该有不等式成立。 (因为在双曲线中定义中，因此，可以同除a) (因为e1+，因此，因此，可以同乘。)此结论与前提e1+矛盾。因此，不存在这样的P点。 焦半径 焦半径的传统证法模块 椭圆的焦半径椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a (2a) 的点的轨迹叫做椭圆椭圆的第二定义：平面内与一个定点F和一条直线l (F不在l上)的距离的比是常数e (0e1) 的动点P轨迹叫做椭圆证明：注：永远在负半轴

26、(无论是x轴还是y轴) ，永远在正半轴，长轴在x轴：585(自：e为椭圆上一点到定点与到定直线的比。)自：记忆：把P点设在第一象限 (这样得到的中的x与y皆为正值) ，由图即可观察到，而且，可以反映在数据上：ll同时： (这正好是椭圆的定义)长轴在y轴：586自：记忆：把P点设在第一象限 (这样得到的中的x与y皆为正值) ，由图即可观察到，而且，可以反映在数据上：ll模块 双曲线的焦半径一、点P在右半支603 （自：距离永远是大于0的数，这里，因此，是。对比椭圆：因为,，因此，距离若要大于0，因此，为）二、点P在左半支604三、点P在上半支605四、点P在下半支606 焦半径的快速记忆：点焦距转化为点准距半径无负值：大-小上-下，大-小P点视为ex或ey准线视为自：没有负值，全部是正值自：有正负之分椭圆585586双曲线603604605606模块 焦半径 椭圆例 *在椭圆+=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍自解：其中，,代入到其中：以下同解析。解析：设P点的坐标为(x，y)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点椭圆的准线方程为x=，= (自：到焦点的距离与到准线的距离之比为) ，又 |PF1|=2|PF2|，x=.把x=代入方程+=1，得y=.因此，