一致连续函数性质的应用(2)电子版本.doc

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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一致连续函数性质的应用(2)-一致连续函数性质的应用（2）定理1设在上有定义，且在上有界，则有（1）；（2）；（3）；（4）。证明（1）由，得，从而，由对称性，所以；（2），得，从而，故有；（3）；（4）。定理2设在上连续，对每一，记，则，在上连续。证明(1)，对任意，由在上一致连续，对任意，存在，当，时，有，于是当，时，（），从而有,即得在上连续；(2)，因为在上连续，在上一致连续，对任意，存在，当，时，有，于是当，时，（），,即得在上连续。定理3设在上连续，对每一，记，则，在上连续。证明由在上一致连

2、续，对任意，存在，当，时，有，即得在上一致连续；同理可证在上一致连续。定理4设在上连续，对每一，记，则在上连续，在上连续。1、设函数在上一致连续，在上通过下式定义函数：，试证在上一致连续。证明，由在上一致连续，对任意，存在，当，时，有，于是，当，时，有，即得在上一致连续。设，是在上有定义的周期函数，且，试证。证明，的周期分别为，对任意，由条件，得，故得。2、若函数在上一致连续，求证：在上有界.证:由函数在上一致连续，对,对,且满足时,有,特别有,于是,()对任意,存在,使得,故有,即得在上有界.3、若函数在上一致连续，求证：存在正常数，使得。三、设函数在上一致连续，且对任何，有，证明：。试举例

3、说明，仅有在上的连续性推不出上述结论。证明证法一由在上一致连续，对，当且时，便有；取定充分大的正整数，使得。现把区间等分，设其分点为，每个小区间的长度小于。对于任意，；从而必有，使得；由条件对每个，有；于是存在，当时，对都成立；故当时，便有，即得，结论得证。证法二设,由题设条件知在上等度一致连续,对每一,有;利用Osgood定理得,在上一致收敛于0,对,存在，当时,有,从而当时,有,即得，结论得证。4、设在上的连续，且对任何，有，但推不出。例如函数满足在上的连续，且对任何，有，但不成立。实事上,取，显然有，（），但是，（），所以不成立.7.设在上连续可微，收敛，且在上一致连续，试证必有.证明由

4、在上一致连续，得，对，当，且时，便有；由收敛，由微分中值定理，存在，使得，于是有.对上述，存在，当时，便有；取，对任意，必存在正整数，使得，故得.8.设且存在，在上有界，试证成立.6.设函数在上有三阶导数，并且和在上有界，试证：和也在上有界.例13设在上连续可微，且收敛，在上有界，则必有，。证明设，则有收敛，且在上有界，于是在上有界，在上一致连续，从而。，故，。例14设，且，对某个，函数在上有界，试证。证明设，则有在上有界，于是在上一致连续；由，且，知在上一致连续；从而在上一致连续；由和在上一致连续，得到。二阶常微分方程解的一个性质定理设且是方程（为常数）。的一个解,若，则，且。证明设，由及条件，得在上有界,从而得在上一致连续；由条件,可知在上一致连续,故在上一致连续；又，所以成立,由得存在,于是,再由方程,得.-