反比例函数的图象(教学案例)知识分享.doc

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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。反比例函数的图象(教学案例)-反比例函数的图象与性质教学目标1、使学生能从简单的实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；2、会画出反比例函数的图象，并能结合图象总结出反比例函数的性质，渗透数形结合的数学思想；.3、会用待定系数法求反比例函数的解析式；5、通过观察、归纳、总结反比例函数的性质，培养学生勇于探索的科学精神；6、培养学生数学地发现问题，并利用数学知识解决问题的能力.教学建议1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析本节的重点是结合图象，总结出反比例函数的性质.学习了前面三个基本函数后，学生

2、有了一些识图的能力，并掌握了基本的研究方法.学生在经历了一个画图的过程后，可以通过观察、分析、与同学的相互讨论、交流中，逐步形成对反比例函数的全面认识.可以培养学生运用数形结合的数学思想方法，也是一个数学地发现问题解决问题的过程.本节的另一个重点是用待定系数法求反比例函数的解析式，这种方法在求四种基本函数解析式中都已经用到，本节课通过巩固练习，可进一步提高对待定系数法的认识.本节的难点是描点、画图.由于学生知识的限制，描点、画图不能对图形有一个全面的把握.这样，学生在描点画图时就会感到困难，无法估计出这个图象到底是什么样子，感到无从下手.因此，从解析式中可以进行初步的分析，认识到反比例函数的图

3、象分成两支，以便初步认识其图象的大致变化趋势.2、教法建议数学教育的目的之一是帮助学生认识数学，数学与现实世界有着密切的联系，而且数学的发展是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程，因此，学生在获得知识的同时，也应该养成尊重客观事实的态度，勇于探索的精神以及独立思考与人合作交流的习惯.具体安排如下：(1)从实例中抽象出数学模型小学学习过反比例关系的知识，现在的物理、化学等学科中也有许多反比比例的实例.学生可以从比较简单的实例中，抽象出这类函数的特点，形成反比例函数的概念.(2)画出图象，研究反比例函数的性质可以创设数学情境，引导学生找出数与形的关系.如：k0时，x与y同号，图象在一、

4、三象限，k0时的情形，即k0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.的讨论与此类似.抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.（2）函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小；从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k0时，函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.同样可以推出的图象的性质

5、.（3）函数的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出，.如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出图象的性质.函数的图象性质的讨论与次类似.4、小结：本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.5、布置作业教学设计示例2反比例函数及其图像一、素质教

6、育目标（一）知识教学点1使学生了解反比例函数的概念；2使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；3使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；4会用待定系数法确定反比例函数的解析式.（二）能力训练点1培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；2向学生渗透数形结合的教学思想方法.（三）德育渗透点1向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；2使学生体会事物是有规律地变化着的观点.（四）美育渗透点通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.二、学法引导教师采用类比法、

7、观察法、练习法学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号.三、重点难点疑点及解决办法1教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.2教学难点：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.3教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）

8、.4解决办法：（1）中隐含条件是或；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.四、教学步骤（一）教学过程提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.看下面的实例：（出示幻灯）1当路程s一定时，时间t与速度v成反比例；2当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例；它们分别可以写成（s是常数），（S是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数.即在上面的例子

9、中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速度v是时间t的反比例函数呢？通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足（k是常数，）就可以因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为（s是常量）对第2个实例也一样练习一：教材P129中1口答P1301根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？答：图像和性质通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）例1画出反比例函数与的图像提问：1画函数图像的关键问题是什么？答：合理、正确地选值列表

10、2在选值时，你认为要注意什么问题？答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；（2）不能选，因为时函数无意义；（3）选整数较好计算和描点这个问题中最核心的一点是关于的问题，提醒学生注意3你能不能自己完成这道题呢？学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：注意：（1）一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）这两条曲线不相交；（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？通过这个问题既可加深学生

11、对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性再让学生观察黑板上的图，提问：1当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？2当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：对于双曲线（1）当：（1）当时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大3反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用练习二：教材P129中2由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P1

12、30中2、3填在书上上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）例2已知y与成反比例，并且当时，求时，y的值.用提问的方式对此题加以分析：（1）y与成反比例是什么含义？由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了：.（2）根据这个式子，能否求出当时，y的值？（3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？（4）怎样才能确定k的值？用什么条件？答：用待定系数法，把时代入，求出k的值.（5）你能否自己完成这道例题：由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.例3已知：，与x成正比例，与x成反比例，当时，时，求y与x的解析式.分析：一定要先写

13、出y与x的函数表达式，要用x分别把，表示出来得，要注意不能写成k，解：设，.由题意得.（二）总结、扩展教师提问，学生思考回答：1什么是反比例函数？2反比例函数的图像是什么样的？3反比例函数的性质是什么？4命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.五、布置作业1教材P130中4，5，62选做：P130中B1，2六、板书设计138反比例函数及其图像引例：（1）例1：例2：例3：（2）1反比例函

14、数：2反比例函数的性质典型例题例1、已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式解：依题意，由两个函数解析式得所以一次函数和反比例函数的解析式分别为注意：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决例2、已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x2成反比例，并且x=-1时，y=1；时，.求时y的值.解方程组注意：解本题的关键是正确理解什么叫y1与x+1成正比例，y2与x2成反比例，即把x+1与x2看成两个新的变量例3、

15、已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点P(m，2)(1)求这个一次函数的解析式；(2)如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和a+2，求a的值解：（1）点在函数的图象上，所以，P点坐标为(6，2)因为一次函数y=kx-7的图象经过点P(6，2)，所以(2)因为点A、B的横坐标分别为a和a+2，由此可得a=-4或a=2经检验a=-4，a=2均为所求的值点评本题是综合考察学生能力，培养数形结合的思想，点在曲线上则点的坐标应满足函数方程另外要注意检验返回页首扩展资料马尔克广场上的游戏在世界著

16、名的水都威尼司斯，有个马尔克广场.广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂.教堂的前面是一方开阔地.这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面！奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都如下图那般，走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！类似的情形也有很多，这与俗话说的鬼打墙类似.有许多人在沙漠或雪地里，由于迷失方向而在原地打圈子，这一切近乎玩笑般的遭遇，终于引起了科学家的注意.公元1896年，挪威生理学家古德贝对闭眼打转的问题进行深入的探讨.他搜集了大量的事例后分析说：这一切都是由于人自身两

17、条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离.而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！现在我们将这个过程数学化，研究一下x与y之间的函数关系.假定某个两脚踏线间相隔为d.很显然，当人在打圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆.设该人平均步长为1.那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即：对一般的人，米，米，代入得（单位米）这就是所求的迷路人打圈子的半径公式.是我们学过的反比例函数(图象如下图).今设迷路人两脚步差为毫米，仅此微小的差异，就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子！

18、让我们回到那个马克尔广场的游戏上来.我们先计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的M点，要想抵达教堂CD，最小的弧线半径应该是多少？如图，注意到矩形ABCD边BC=175（米），（米）上述问题可以转化成几何中的命题：已知与求的半径的大小这就说,游人要想成功,他所走弧线半径必须不小于394米我们再来计算一下，要达到上述要求，游人的两脚步差需要什么限制这表明游人的两只脚步差必须小于毫米，否则就难以成功然而在闭眼的情况下两脚这么小的步差一般人是达不到的，这就是在游戏中为什么没有人能够蒙上眼睛走到教堂前面的道理返回页首探究活动已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A

19、、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。解：（1）过点B作轴于点H。在Rt中，由勾股定理，得又，点B（3，1）。设反比例函数的解析式为。点B在反比例函数的图像上，。反比例函数的解析式为。（2）设直线AB的解析式为。由点A在第一象限，得。又由点A在函数的图像上，可求得点A的纵坐标为。点B（3，1），点，解关于、的方程组，得直线AB的解析式为。令。求得点

20、D的横坐标为。过点A作轴于点G由已知，直线经过第一、二、三象限，即。由此得。即。（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。证明如下：。由，得解得。经检验，都是这个方程的根。，不合题意，舍去。点A（1，3）。设过A（1，3）、B（3，1）两点的抛物线的解析式为。由此得即。设抛物线与x轴两交点的横坐标为。则令则。即。整理，得。，方程无实数根。因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。习题精选1、若y+b与成反比例，则y与x的函数关系是()(A)正比例(B)反比例(C)一次函数(D)二次函数2、若与y成反比例，与z成正比例，则x与成()比例.(A)正(B)反(C)不成(

21、D)有一次函数关系3、若反比例函数的图象在它所在的象限内，y随x的增大而增大则m的值是()（A）-2（B）2（C）2（D）以上结果都不对4、反比例函数在第一象限内的图象如图所示，P为该图象上任意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q，设POQ的面积为S，则S的值与k之间的关系是()5、函数与在同一坐标系中的图像可能是()6、如图，正比例函数y=x和y=ax（a0）的图象,与反比例函数的图象,分别相交于A点和C点,若RtAOB和RtCOD的面积分别为和,则与的关系是()（A）S1S2（B）S1=S2（C）S1S2（D）不确定7、若函数为反比例函数，则k=_.8、已知反比例函数(m0)和一次函数，画出它们同一坐标系中的大致图象.答案与提示：123456CBABDB10、111、略-