数学物理方法线性空间精品文稿.ppt

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1、数学物理方法线性空间第1页，本讲稿共108页第二章第二章线性空间线性空间线性空间线性空间理论是理论是线性泛函分析线性泛函分析的重要组成部分。的重要组成部分。应用应用线性泛函分析的方法可以把对许多数学问题的线性泛函分析的方法可以把对许多数学问题的处理方法加以系统化，在更处理方法加以系统化，在更抽象的意义上理解初看来抽象的意义上理解初看来毫无关系的数学概念之间的本质联系。毫无关系的数学概念之间的本质联系。第2页，本讲稿共108页1、线性空间；线性空间；2、线性变换；线性变换；3、线性变换的本征值与本征向量；线性变换的本征值与本征向量；4、内积空间；内积空间；5、正交化法；正交化法；6、自伴算子；自

2、伴算子；7、等距变换；等距变换；8、正规变换的本征值与本征向量；正规变换的本征值与本征向量；9、平方可积函数空间；平方可积函数空间；10、完备正交归一函数集；、完备正交归一函数集；11、多项式逼近、多项式逼近12、完备正交归一集的例子；、完备正交归一集的例子；13、正交多项式正交多项式第二章第二章线性空间线性空间第3页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间一、群一、群设设G是一元素集，是一元素集，“.”是某种定义在是某种定义在G上的运算，对任意上的运算，对任意有这种运算称为这种运算称为封闭运算。封闭运算。定义：群定义：群为由集合为由集合G和封闭运算和封闭运算“.”所组

3、成的系统，记为所组成的系统，记为它满足以下三个公理：它满足以下三个公理：（1）运算满足结合律：）运算满足结合律：（2）存在单位元素存在单位元素e，有，有（3）对任意的）对任意的存在存在逆元素逆元素满足满足注意：当群满足运算的交换率：注意：当群满足运算的交换率：则称为则称为Abel群或交换群。群或交换群。第4页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例例：（：（1）整数的集合，以普通的加法做运算，构成）整数的集合，以普通的加法做运算，构成Abel群。群。此时此时0是单位元素，是单位元素，n 和和n互为逆元素互为逆元素。（2）二维旋转矩阵）二维旋转矩阵相对矩阵乘法也是一个相

4、对矩阵乘法也是一个Abel群。群。是单位元。是单位元。和和互为逆元素。互为逆元素。例例：以上是满足交换律的即：以上是满足交换律的即Abel 群，有没有不满足交换律的例子？群，有没有不满足交换律的例子？三维旋转的集合是一个不可对易的连续群三维旋转的集合是一个不可对易的连续群先绕先绕z轴转动轴转动90度，再绕度，再绕y轴转动轴转动90度度先绕先绕y轴转动轴转动90度，再绕度，再绕z轴转动轴转动90度度一样？一样？第5页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。群。以以n=3为例。该集

5、合包含为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为个元素，可以表示为定义一个乘法定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换，运算由右至左连续施行两次。运算由右至左连续施行两次。第6页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间二、域二、域域是满足以下三条公理的系统，记为域是满足以下三条公理的系统，记为（1）系统）系统是一个具有单位元素是一个具有单位元素0的的Abel群；群；（2）设）设是除是除以外的所有以外的所有的集合，的集合，则系统则系统是一个具有单位元素是一个具有单位元素e的的Abel群；群；（3）相对于，满足分配率，即）相

6、对于，满足分配率，即第7页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：例：所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的加法和乘所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的加法和乘法都构成了法都构成了域。域。有了域的概念我们可以定义线性空间有了域的概念我们可以定义线性空间（1）在非空集合）在非空集合V内的任一对元素间定义运算（），使内的任一对元素间定义运算（），使构成构成Abel群。群。(单位元素用单位元素用0表示，表示，x的逆元素用的逆元素用x表示表示)结合律结合律交换律交换律零元素零元素负元素负元素满足：满足：三、线性空间三、线性空间第8页，本讲稿共108页

7、2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间则称则称V是数域是数域F上的线性空间（向量空间），记为上的线性空间（向量空间），记为V(F)。（以上（以上8个公式为线性空间的个公式为线性空间的8个公理个公理）（2）在数域）在数域F中的数与中的数与V中的元素之间定义一个纯量乘法运中的元素之间定义一个纯量乘法运算，对算，对F中任意数中任意数与与V中任一元素中任一元素,都可由该运算唯一决都可由该运算唯一决定定V中的一个元素中的一个元素y,记为记为,数乘满足：数乘满足：左分配律左分配律右分配律右分配律结合律结合律数数1的数乘的数乘第9页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：例

8、：n维向量空间的定义维向量空间的定义：是一个以：是一个以n重有序数重有序数为元素构成的集合，其中为元素构成的集合，其中，定义向量加法，定义向量加法其中：其中：向量数乘：向量数乘：零向量：零向量：的逆元：的逆元：可以证明，这个可以证明，这个n维向量空间是一个线性空间，记为维向量空间是一个线性空间，记为例：所有的复数的集合也是一个复线性空间。例：所有的复数的集合也是一个复线性空间。第10页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第11页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第12页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间对于

9、线性空间对于线性空间有以下定理存在：有以下定理存在：定理定理1：（：（1）当）当y和和z已知时，方程已知时，方程有唯一解有唯一解x（2）如果）如果，则，则（3）对每一个）对每一个（4）对每一个）对每一个（5）如果）如果，则，则或或定理定理2：若把若把定义为定义为x和和y之差，则有之差，则有第13页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间设设V是是F上的线性空间，如果上的线性空间，如果（即（即是是V中的某些向量的集合），且满足：中的某些向量的集合），且满足：（1）对任意的）对任意的（2）对任意的）对任意的则称则称是是V的线性的线性子空间子空间。定理定理：在：在V(F)中任

10、取一组向量中任取一组向量，这组向量，这组向量的所有线性组合的集合的所有线性组合的集合是是V的一个子空间。的一个子空间。并称这个子空间是由向量集合并称这个子空间是由向量集合所张成所张成（生成）的子空间。（生成）的子空间。四、线性子空间四、线性子空间第14页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第15页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第16页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第17页，本讲稿共108页五、线性空间的基与维数五、线性空间的基与维数基基：指线性空间：指线性空间V中的最大线性无关的子集。中的最大线性无

11、关的子集。V中的任一向量均可中的任一向量均可由这个子集中的向量的线性组合表示。由这个子集中的向量的线性组合表示。维数维数：基中所含的向量的数目，称为空间的维数。：基中所含的向量的数目，称为空间的维数。例：实三维空间中的三个向量组成一组基例：实三维空间中的三个向量组成一组基因为它们是线性无关的且任意向量因为它们是线性无关的且任意向量x均可表示成这三个向量的均可表示成这三个向量的线性组合线性组合 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第18页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间解：在解：在中设有中设有阶矩阵阶矩阵，其中位于，其中位于的的元素为元素为1，其他元素为，

12、其他元素为0。如。如，容易证明，容易证明是是的一组基，且线性无关，的一组基，且线性无关，任何矩阵任何矩阵均可由它们线性表示。均可由它们线性表示。所以所以又由于又由于，所以，所以A在在该基下的坐标为：该基下的坐标为：例：例：写出实数域写出实数域R上矩阵空间上矩阵空间的一组基，求的一组基，求，并求并求在此基下的坐标。在此基下的坐标。第19页，本讲稿共108页六、线性空间的同构六、线性空间的同构（A）映射的定义：）映射的定义：设设S1和和S2是两个非空集合，如果按照一定的是两个非空集合，如果按照一定的法则法则f，对于，对于S1中的每个元素中的每个元素x，都存在，都存在S2中的一个确定的元素中的一个确

13、定的元素y与之与之对应，则称对应，则称f为定义在为定义在S1上取值于上取值于S2中的一个映射，记为中的一个映射，记为，y称为称为x在映射在映射f 下的像。下的像。S1：2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间fS2xy集集S1称为映射称为映射f的定义域的定义域集集S2称为映射称为映射f 的值域的值域映射的种类：映射的种类：满射、单射、双射满射、单射、双射第20页，本讲稿共108页（B）线性空间的同构）线性空间的同构设设S=E,*和和S=E,是分别具有封闭运算是分别具有封闭运算*和和的代数系统，的代数系统，假设假设f是一个从是一个从E到到E的双射，即一一映射，它给每个属于的双射，即一一映射，

14、它给每个属于E的元的元a，b，c，E，都有指定的属于，都有指定的属于E的元，的元，f（a），），f（b），），f（c），E，与之对应，与之对应 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间E：fEf(a)设设a*b=c，则，则c f（c）=f（a*b）同构即要求）同构即要求af(b)bf若若a*b=c 则则f（a）f（b）=f（c）第21页，本讲稿共108页线性空间同构的判定方法：线性空间同构的判定方法：设设U和和V是同一数域是同一数域F上的两个线性空间，上的两个线性空间，f是从是从U到到V的一个映的一个映射，如果射，如果:（1）f是一个双射；是一个双射；（2）f是一个线性映射，即是一个线性映

15、射，即则称则称f是是U到到V的同构映射，并说的同构映射，并说U与与V同构同构。定理：定理：域域F上每一个上每一个n维线性空间都和空间维线性空间都和空间同构。同构。（即同一域上的同维数的任何两个线性空间是同构的即同一域上的同维数的任何两个线性空间是同构的。）。）2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间第22页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间同构的意义：同构的意义：在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算

16、的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数。的维数。同构映射不仅能使两系统中的元素保持一一对应的关系，同构映射不仅能使两系统中的元素保持一一对应的关系，而且还要求这种对应关系在各自的运算下仍保持着，即而且还要求这种对应关系在各自的运算下仍保持着，即x*y=z f（x）f（y）=f（z）第23页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。例如前面讨论例：两个同构系统初看起

17、来可能会很不相同。例如前面讨论的三元素置换群与下述的三元素置换群与下述6个个2X X2矩阵相对矩阵乘法构成的群是同矩阵相对矩阵乘法构成的群是同构的。构的。例如例如AXB=FXB=F，从右向左：把从右向左：把1换为换为3，再把，再把3换为换为3，1 3 3,2 2 13 1 2，所以，所以对应刚好是置换对应刚好是置换F。第24页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间而而AXBXB=F=F，刚好是置换刚好是置换F。一般来说，如果两个系统具有相同的乘法表，这两个一般来说，如果两个系统具有相同的乘法表，这两个系统便是同构的，或结构等同的。系统便是同构的，或结构等同的。第25页

18、，本讲稿共108页 定义定义：指在线性空间：指在线性空间V(F)中变换中变换A,对每一个对每一个有确定的向量有确定的向量，且对任意的，且对任意的有有则称则称A为线性变换也称线性算子。式中为线性变换也称线性算子。式中a，b为标量为标量 2 线性空间线性空间 2.2线性变换线性变换一、线性变换的定义一、线性变换的定义线性变换举例：零变换和单位变换是特殊的线性变换。线性变换举例：零变换和单位变换是特殊的线性变换。即零变换把空间的任意向量变换成空间的零向量，而单位变即零变换把空间的任意向量变换成空间的零向量，而单位变换是把任意向量变换成自身的线性变换。换是把任意向量变换成自身的线性变换。第26页，本讲

19、稿共108页 2.2线性变换线性变换证明：证明：满足线性变换定义，得证。满足线性变换定义，得证。2 线性空间线性空间例：例：设设是是空间的一个给定的单位向量，对于空间任一向空间的一个给定的单位向量，对于空间任一向量量，若变换，若变换的定义为的定义为则则是一个线性变换。是一个线性变换。第27页，本讲稿共108页 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第28页，本讲稿共108页 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第29页，本讲稿共108页 2.2线性变换线性变换二、基本运算：二、基本运算：（1）变换加法：）变换加法：（2）变换数乘：）变换数乘：（3）变换乘法：）变换乘法：其中其中

20、是线性变换是线性变换，是线性空间是线性空间V中的向量中的向量。说明说明：（：（1）线性变换相乘一般不服从交换律。）线性变换相乘一般不服从交换律。（2）满足下述运算性质）满足下述运算性质 2 线性空间线性空间第30页，本讲稿共108页三、线性变换的逆变换：三、线性变换的逆变换：如果线性变换如果线性变换A满足：满足：（1）（2）则存在则存在A的逆变换，记为的逆变换，记为，称，称A是可逆的。且是可逆的。且可逆性的判定定理：可逆性的判定定理：2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第31页，本讲稿共108页四、线性变换的矩阵表示：四、线性变换的矩阵表示：于是，当于是，当已知时已知时即可完全确定。即

21、可完全确定。定理定理1：设设是线性空间是线性空间的一组基，的一组基，A是是上的一个线性变换，只要给出上的一个线性变换，只要给出的像向量的像向量，则，则A完全确定。完全确定。证明：证明：只要证明对只要证明对中任一向量中任一向量，其像向量，其像向量唯一确唯一确定即可。由于定即可。由于是基，对是基，对有有 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第32页，本讲稿共108页定理定理2：设设是是的一组基，的一组基，是是中的任意中的任意n个向量，则存在唯一的线性变换个向量，则存在唯一的线性变换A，使，使定理定理3：有限维空间上的线性变换（称此空间可分的），当选择有限维空间上的线性变换（称此空间可分的）

22、，当选择一组基后，便与一个确定的矩阵相对应。反之，在固定基下，一组基后，便与一个确定的矩阵相对应。反之，在固定基下，每一个矩阵对应一个确定的线性变换。每一个矩阵对应一个确定的线性变换。即线性变换与相应矩阵同构，使得线性变换的运算与矩阵的相关即线性变换与相应矩阵同构，使得线性变换的运算与矩阵的相关运算法则对应运算法则对应 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第33页，本讲稿共108页例：例：求求Fxn的求导变换，在基的求导变换，在基1，x，x2，,xn-1下的矩阵。下的矩阵。解：解：因为因为即所求矩阵。在取定一组基后，线性变换与相应矩阵是一一即所求矩阵。在取定一组基后，线性变换与相应矩阵

23、是一一对应的关系。对应的关系。2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间所以所以第34页，本讲稿共108页定理定理4：同一线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的。同一线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的。即：若存在可逆矩阵即：若存在可逆矩阵A，使矩阵，使矩阵B和和C满足满足则称则称B和和C是相似矩阵是相似矩阵。记。记矩阵的相似是一种等价关系，具有：矩阵的相似是一种等价关系，具有：2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间第35页，本讲稿共108页例：例：设设A是一个实三维空间上的旋转变换，它把空间任一是一个实三维空间上的旋转变换，它把空间任一矢量矢量绕绕轴右旋一个角度轴右旋一个角度,求此变换

24、在求此变换在Cartesian基基下的矩阵。下的矩阵。解：这里我们用解：这里我们用表示直角坐标系中的三个单位矢量，即实三维空表示直角坐标系中的三个单位矢量，即实三维空间的一组基。间的一组基。2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间因此变换因此变换A在基在基下的矩阵表示为下的矩阵表示为根据根据A的定义：的定义：第36页，本讲稿共108页定义：定义：设设A是是V(F)上的线性变换，如果上的线性变换，如果则称则称为为A的的本征值本征值，为为A的属于的属于的的本征向量本征向量。上述条件也可以表示为：上述条件也可以表示为：不妨设有限维空间的基不妨设有限维空间的基,x可表示为：可表示为：又设又设A在此

25、基下的矩阵为在此基下的矩阵为，则有，则有2.3线性变换的本征值与本征向量线性变换的本征值与本征向量2线性空间线性空间第37页，本讲稿共108页即：即：有有非零解的条件是非零解的条件是：上式左边的行列式是上式左边的行列式是的的n次多项式。在复数域上有次多项式。在复数域上有n个零点，个零点，即即n维空间上的任何线性变换在复数域上必有维空间上的任何线性变换在复数域上必有n个本征值。另外，个本征值。另外，由于由于，的秩必然小于的秩必然小于n，所以每个本征，所以每个本征值至少对应一个本征向量。注意，本征值和本征向量与基的选值至少对应一个本征向量。注意，本征值和本征向量与基的选择无关。择无关。2.3线性变

26、换的本征值与本征向量线性变换的本征值与本征向量2线性空间线性空间第38页，本讲稿共108页(1)线性变换线性变换A的本征值的集合称为的本征值的集合称为A的的谱谱，其中本征值的模，其中本征值的模的最大值称为的最大值称为谱半径谱半径。(2)若若是是A的本征多项式的的本征多项式的k级零点，则说该本征值级零点，则说该本征值的代的代数重数为数重数为k。当。当时称时称A的谱是的谱是简并的简并的。(3)如果变换如果变换A有有n个线性无关的本征向量（个线性无关的本征向量（n为空间维数），为空间维数），则它的矩阵一定可以通过相似变换则它的矩阵一定可以通过相似变换对角化对角化，且对角元素为，且对角元素为A的本征值

27、。的本征值。说明：说明：注意：定理给出注意：定理给出A的本征值不同是相应的本征向量线性无关的充的本征值不同是相应的本征向量线性无关的充分条件，并非必要条件。分条件，并非必要条件。定理：定理：设设是线性变换是线性变换A的两两相异的本征值，则的两两相异的本征值，则相应地本征向量相应地本征向量线性无关。线性无关。2.3线性变换的本征值与本征向量线性变换的本征值与本征向量2线性空间线性空间第39页，本讲稿共108页例：例：下列矩阵是否与对角矩阵相似下列矩阵是否与对角矩阵相似解：解：（1）属于特征值属于特征值的与线性无关的特征向量有两个，因为的与线性无关的特征向量有两个，因为此时此时2.3线性变换的本征

28、值与本征向量线性变换的本征值与本征向量2线性空间线性空间秩：秩：，与线性无关的特征向量有，与线性无关的特征向量有312个个因此因此A一定可以与对角阵一定可以与对角阵相似。相似。第40页，本讲稿共108页秩：秩：，因此属于，因此属于的线性无关的特征的线性无关的特征向量只有向量只有（2）特征值分别为：特征值分别为：具有三不同的特征值即具有三不同的特征值即3个不同的本征向量，必有相似的对角矩阵。个不同的本征向量，必有相似的对角矩阵。2.3线性变换的本征值与本征向量线性变换的本征值与本征向量2线性空间线性空间（3）三个特征值三个特征值对对有有从而从而A一定不能与对角阵相似。一定不能与对角阵相似。第41

29、页，本讲稿共108页在实三维空间，普通向量的长度和两向量的夹角是通过标积定在实三维空间，普通向量的长度和两向量的夹角是通过标积定义的，如果义的，如果则：则：x 的长度的长度 的夹角的夹角作为标积的推广，可以引入作为标积的推广，可以引入内积内积的概念。的概念。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间两个向量的标积两个向量的标积第42页，本讲稿共108页2.4内积空间内积空间一、内积的定义一、内积的定义对于线性空间对于线性空间V(F)内任一对有序向量内任一对有序向量都有域都有域F内的内的一个确定的数与之对应，记为一个确定的数与之对应，记为，其对应规则满足以，其对应规则满足以下三个条件：下三个条件：

30、定义了内积的线性空间称为定义了内积的线性空间称为内积空间。内积空间。F 是实数域为是实数域为实内积空实内积空间间（欧几里得空间），复数域为（欧几里得空间），复数域为酉空间酉空间。说明说明:1、对实内积空间，对实内积空间，不起作用，可以略去。不论实内积空间还是复不起作用，可以略去。不论实内积空间还是复内积空间，条件内积空间，条件(1)意味着任何向量与自身的内积总是实数，从而保证了条件意味着任何向量与自身的内积总是实数，从而保证了条件(3)不不等式有意义。等式有意义。2、在同一线性空间，可以按照多种形式定义内积空间，只要满足内积公理。、在同一线性空间，可以按照多种形式定义内积空间，只要满足内积公理

31、。2线性空间线性空间内积公理内积公理第43页，本讲稿共108页二、向量范数、内积和范数的性质：二、向量范数、内积和范数的性质：（1）范数定义：即向量的长度，记为）范数定义：即向量的长度，记为（2）内积和范数的性质）内积和范数的性质定理定理1：在任何内积空间，有在任何内积空间，有2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间第44页，本讲稿共108页证明证明:(1)由内积公理第一条知由内积公理第一条知由内积公理的第三条得由内积公理的第三条得xy0，即，即xy。其他证明类似。其他证明类似。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间(由第二条由第二条)(由第一条由第一条)(2)如对任意的如对任意的z，(x,

32、z)(y,z)成立，则成立，则(x y,z)0 (对所有的对所有的z)取取zxy(由于由于z的任意性的任意性)得得(x y,x y)0 第45页，本讲稿共108页定理定理2：（施瓦兹：（施瓦兹Schwartz不等式）若不等式）若x,y是复内积空间中的任一是复内积空间中的任一对向量，则对向量，则定理定理3：（三角不等式）在任何内积空间，对任意向量（三角不等式）在任何内积空间，对任意向量x,y均有均有证明略。证明略。柯西许瓦兹不等式柯西许瓦兹不等式2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间注意：上等化为等式当且仅当注意：上等化为等式当且仅当时成立。时成立。这等价于这等价于x,y中有一个零向量，或者中

33、有一个零向量，或者ykx，k 0第46页，本讲稿共108页三、正交性和完备性三、正交性和完备性定义定义：（：（1）当且仅当）当且仅当时，称时，称x与与y正交正交。（2）设）设是一个向量集合，如果对所有的是一个向量集合，如果对所有的满足满足则称该集合是则称该集合是正交归一集正交归一集。（3）在有限维空间中，如果一个正交归一集不含于任何一）在有限维空间中，如果一个正交归一集不含于任何一个更大的正交归一集中，则该正交归一集被说成是个更大的正交归一集中，则该正交归一集被说成是完备的完备的正交归一集正交归一集。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间第47页，本讲稿共108页定理定理1：正交归一集是线性

34、无关集。（即在正交归一集是线性无关集。（即在n维空间中的任何维空间中的任何n个向量的正交归一集都可以作为该空间的基）个向量的正交归一集都可以作为该空间的基）定理定理2：（：（Bessel不等式）设不等式）设是内积空间任一有限是内积空间任一有限正交归一集，正交归一集，x为空间任一向量，则为空间任一向量，则其中，其中，。且。且与每一个与每一个正交。正交。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间第48页，本讲稿共108页以下几种有关有限维内积空间的正交归一集完备性的说法等价：以下几种有关有限维内积空间的正交归一集完备性的说法等价：定理定理3：设设是内积空间是内积空间V的的m个向量组成的个向量组成的正

35、交归一集，则下述关于正交归一集，则下述关于X的说法彼此等价：的说法彼此等价：Parseval 等式等式2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间第49页，本讲稿共108页一、度量矩阵一、度量矩阵对一个对一个n维空间维空间Vn，要定义内积（，要定义内积（x,y），只要确定一组基间的内），只要确定一组基间的内积就可以了。设积就可以了。设是一组基，则是一组基，则上式中的矩阵上式中的矩阵由各基向量间的内积决定，称为在由各基向量间的内积决定，称为在基基下的下的度量矩阵度量矩阵。2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间第50页，本讲稿共108页说明：说明：（1）度量矩阵是厄米正定矩阵。因为满足）度量矩阵是厄

36、米正定矩阵。因为满足（2）度量矩阵在实空间是个正定矩阵。）度量矩阵在实空间是个正定矩阵。（3）度量矩阵与基的选择有关。最简单的度量矩阵就是单位）度量矩阵与基的选择有关。最简单的度量矩阵就是单位矩阵，对应的基就是正交归一基。即度量矩阵可以通过选择矩阵，对应的基就是正交归一基。即度量矩阵可以通过选择一组正交归一基转化为单位矩阵。一组正交归一基转化为单位矩阵。（4）定义正交归一基的方法：葛兰姆施密特正交化方法。）定义正交归一基的方法：葛兰姆施密特正交化方法。（正定），在实空间是对称矩阵。（正定），在实空间是对称矩阵。（厄米）（厄米）2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间第51页，本讲稿共108页二

37、、葛兰姆施密特二、葛兰姆施密特(G-S)正交化方法正交化方法设设是是Vn中的任一组基，利用中的任一组基，利用G-S方法建立方法建立正交归一基正交归一基的方法是：的方法是：（1）因为）因为，否则，否则X不会是线性无关集，故可命：不会是线性无关集，故可命：则则是一个归一向量。是一个归一向量。（2）令）令即即是是的线性组合则的线性组合则故：故：故令故令得得，类似地，我们可以得到，类似地，我们可以得到2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间第52页，本讲稿共108页例：设例：设空间中的一组基：空间中的一组基：求：由此基确定的一组正交归一基。求：由此基确定的一组正交归一基。解：解：因为：因为：2.5正交

38、法化正交法化2线性空间线性空间第53页，本讲稿共108页类似地，类似地，可见可见正交，即所求。正交，即所求。2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间第54页，本讲稿共108页定义：定义：已知已知A是内积空间上的线性变换，如果对任意的是内积空间上的线性变换，如果对任意的，变换，变换满足满足则称则称为为A的伴随算子。的伴随算子。几点说明：几点说明：（1）对给定的线性算子，其相应的伴随算子是唯一的，且是线性）对给定的线性算子，其相应的伴随算子是唯一的，且是线性的。的。一、一、伴随算子伴随算子是是A的转置共轭矩阵。的转置共轭矩阵。2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第55页，本讲稿共108页（

39、2）A和和在同一基下的矩阵间的关系在同一基下的矩阵间的关系设设是内积空间是内积空间的基，的基，A在该基下的矩阵为在该基下的矩阵为，是内积空间在该基下的度量矩阵。是内积空间在该基下的度量矩阵。A的伴随的伴随变换在该基下对应矩阵为变换在该基下对应矩阵为，则有，则有注意到度量矩阵的厄米性，有注意到度量矩阵的厄米性，有，它还是正定矩阵，其逆矩阵存，它还是正定矩阵，其逆矩阵存在，因此在，因此 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第56页，本讲稿共108页（3）在正交基下，）在正交基下，G是单位矩阵，则有是单位矩阵，则有即伴随变换在任意正交归一基下相应的矩阵是变换在此基下的矩阵的即伴随变换在任意正

40、交归一基下相应的矩阵是变换在此基下的矩阵的共轭转置矩阵共轭转置矩阵。（4）关于伴随矩阵的运算性质）关于伴随矩阵的运算性质 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第57页，本讲稿共108页二、二、自伴算子自伴算子 在实内积空间中自伴算子称对称算子，在复内积空间中自伴算子在实内积空间中自伴算子称对称算子，在复内积空间中自伴算子称为厄米算子。在正交归一基下，对称算子对应的矩阵是对称矩称为厄米算子。在正交归一基下，对称算子对应的矩阵是对称矩阵，厄米算子对应矩阵是阵，厄米算子对应矩阵是厄米矩阵厄米矩阵。2、性质、性质：（1）设）设A、B是自伴算子，则是自伴算子，则AB也是自伴算子。也是自伴算子。（

41、2）A、B自伴，一般不能保证自伴，一般不能保证AB自伴，当且仅当自伴，当且仅当AB=BA时，时，A、B的自伴保证的自伴保证AB自伴。自伴。（3）若）若A自伴，则当且仅当自伴，则当且仅当是实数时，是实数时，自伴。自伴。1、定义：、定义：若若，则称，则称A是自伴的。是自伴的。若若，则称，则称A是反自伴的。是反自伴的。2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第58页，本讲稿共108页3、判定定理：、判定定理：定理定理1：若若A是实内积空间上的自伴算子，则对任意的是实内积空间上的自伴算子，则对任意的，有有的充要条件是的充要条件是证明：充分性：证明：充分性：因为因为时时必要性：必要性：注意到注意到A

42、是实内积空间的自伴算子，由定义有是实内积空间的自伴算子，由定义有考察下面内积：考察下面内积：所以所以如果内积空间是复的，上述定理可以如果内积空间是复的，上述定理可以加强加强 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第59页，本讲稿共108页定理定理2：若若A是酉空间上的线性变换，则对所有的是酉空间上的线性变换，则对所有的，的充要条件是的充要条件是。即若即若A是内积空间中的自伴变换，（不论是实空间还是复空间）是内积空间中的自伴变换，（不论是实空间还是复空间）对所有对所有，的充要条件是的充要条件是.定理定理3：设设A是酉空间的线性变换，则对所有是酉空间的线性变换，则对所有，为实数的充要条件是为

43、实数的充要条件是A为厄米变换。为厄米变换。定理定理4：厄米变换的本征值是实的。厄米变换的本征值是实的。证明：证明：即即对厄米变换对厄米变换总是实的总是实的。由定理由定理3 结论得证结论得证 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第60页，本讲稿共108页例：例：给定给定g(x),求在区间求在区间中满足中满足解：这是一个边值问题，对它算子为解：这是一个边值问题，对它算子为在区间在区间内，所有函数内，所有函数g的空间是的空间是L的值域。的值域。L的定义域在该区间内函数的定义域在该区间内函数f的空间。的空间。这些函数满足边界条件，且在这些函数满足边界条件，且在L的值域内具有二阶导数。如无适当的

44、的值域内具有二阶导数。如无适当的边界条件，则方程的解不惟一，即，要由微分算子及其定义域两者边界条件，则方程的解不惟一，即，要由微分算子及其定义域两者来确定算子。来确定算子。的的f(x)。并求该微分算子的伴随算子。并求该微分算子的伴随算子。适用于此问题的一个内积是适用于此问题的一个内积是 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第61页，本讲稿共108页注意内积的规定不惟一，在上式的积分中加上注意内积的规定不惟一，在上式的积分中加上w(x)0的权重数也是可的权重数也是可采用的内积。但是伴随算子依赖于内积，因此可以选定内积，使其采用的内积。但是伴随算子依赖于内积，因此可以选定内积，使其成为自伴

45、算子。成为自伴算子。根据定义，先构造伴随算子的左边，有根据定义，先构造伴随算子的左边，有最后两项是边界项，可以选择最后两项是边界项，可以选择的定义域使它们为零。由边的定义域使它们为零。由边界条件知，界条件知，2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子第62页，本讲稿共108页则第二个边界项也为零。显然，对于由式则第二个边界项也为零。显然，对于由式确定的内积，从伴随算子的定义式知，确定的内积，从伴随算子的定义式知，的伴随算子为：的伴随算子为：2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子因为因为，且，且的定义域与的定义域与L的定义域相同，所以算子的定义域相同，所以算子是自伴的。因为当是自伴的。因

46、为当f 是实数时，是实数时，Lf 也是实数，也是实数，L是实算子，是实算子，可以证明，由可以证明，由知算子知算子L也是正定算子。即使也是正定算子。即使f 是复数，是复数，L也是也是正定算子正定算子*。第63页，本讲稿共108页所谓正定算子是指所谓正定算子是指 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子则算子为则算子为正定正定的。上式中的大于换成大于等于则算子是的。上式中的大于换成大于等于则算子是半正定的半正定的。若换为小于则算子为若换为小于则算子为负定的负定的。*正定算子正定算子当给出一个形式为当给出一个形式为L(f)=g 的问题。的问题。解的特性依赖于算子的特性，如果解的特性依赖于算子的特

47、性，如果f是实数是实数,Lf 也是实数，则算子为也是实数，则算子为实算子。实算子。第64页，本讲稿共108页 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子的逆算子可以由标准的格林函数法得到，它是的逆算子可以由标准的格林函数法得到，它是式中式中G是格林函数，即是格林函数，即构成构成后，微分两次便可以得到后，微分两次便可以得到(1)这样就证明了式这样就证明了式(1)是逆算子。注意到在是逆算子。注意到在的定义域中不需要的定义域中不需要边界条件，这是大多数积分算子的共同特点。从边界条件，这是大多数积分算子的共同特点。从L是自伴的证明是自伴的证明同样可以得出同样可以得出也是自伴的。类似的也可以得出，只要

48、也是自伴的。类似的也可以得出，只要L是正是正定的，定的，也是正定的。也是正定的。第65页，本讲稿共108页例：量子力学中简谐振子的哈密顿算子为：例：量子力学中简谐振子的哈密顿算子为：2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子证明它的本征值是正的。证明它的本征值是正的。证明：令证明：令其中本征向量其中本征向量u是归一化的，即是归一化的，即因为因为p和和x均是厄米的，故均是厄米的，故第66页，本讲稿共108页定义：定义：设设U是内积空间上的线性变换，是内积空间上的线性变换，为为U的伴随变换，如果的伴随变换，如果则称则称U为等距变换。若同时满足为等距变换。若同时满足则称它为则称它为酉变换或么正变换

49、酉变换或么正变换。在有限维空间，变换有左逆必有右逆，因此等距与么正是等价的，在有限维空间，变换有左逆必有右逆，因此等距与么正是等价的，么正变换的逆变换是它的伴随变换，即么正变换的逆变换是它的伴随变换，即（单位变换）（单位变换）2 线性空间线性空间 2.7等距变换等距变换一、等距变换的定义一、等距变换的定义第67页，本讲稿共108页二、等距变换的特性二、等距变换的特性定理定理1、设设U是内积空间上的线性变换，则下列三个条件是彼是内积空间上的线性变换，则下列三个条件是彼此等价的，每一个都可以作为等距变换的定义：此等价的，每一个都可以作为等距变换的定义：定理定理2、对有限维内积空间，一个完备正交归一

50、集、对有限维内积空间，一个完备正交归一集，经等距变，经等距变换后的集合换后的集合仍是完备的正交归一集。仍是完备的正交归一集。可见等距变换把一组正交归一基变换成另一组正交归一基。可见等距变换把一组正交归一基变换成另一组正交归一基。2 线性空间线性空间 2.7等距变换等距变换第68页，本讲稿共108页 由于一个变换由于一个变换A的伴随变换在正交归一基下对应的矩阵是的伴随变换在正交归一基下对应的矩阵是A在同在同一基下对应矩阵的共轭转置，故等距变换在正交归一基下对应的矩一基下对应矩阵的共轭转置，故等距变换在正交归一基下对应的矩阵也满足等距变换和酉变换的定义式，即阵也满足等距变换和酉变换的定义式，即，把