数学物理方法第一章复变函数精品文稿.ppt

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1、数学物理方法第一章复变函数第1页，本讲稿共51页课程内容n复变函数论n复变函数n复变函数的积分n幂级数展开n留数定理n傅立叶变换n拉普拉斯变换n数学物理方程n数学物理定解问题n分离变数法n二阶常微分方法解法 本征值问题n球函数(柱函数)n积分变换法第2页，本讲稿共51页课程考核作业，出勤20%期中20%期末60%第3页，本讲稿共51页学习要求n保证出勤n课后复习n按时按量完成作业n有问题及时问n共同探讨，共同提高第4页，本讲稿共51页第一篇 复变函数论第一章 复变函数第5页，本讲稿共51页1、1 复数与复数运算（一）复数的基本概念 =a+ib 实部Re 虚部Im复数平面内用矢量表示复数的极坐标

2、表示：(r,)模 辐角第6页，本讲稿共51页复数的三角式：=r(cos+sin)复数的指数式：=re i注意：1、辐角值不能唯一确定，可以取无穷多值，彼此相差2的整数倍。以arg表示其主值，也称为主辐角。=Arg=arg+2k第7页，本讲稿共51页2、复数零，即实部、虚部都等于零的复数，其辐角无意义。共轭复数*=a-ib=r(cos-isin)=re i互为共轭的复数关于实轴对称第8页，本讲稿共51页(二)无限远点在复变函数论中，将模为无限大的复数对应到复平面上的一点，称为无限远点。对应N极点模无限大辐角无明确意义第9页，本讲稿共51页（三）复数的运算交换律、结合律与分配律都成立第10页，本讲

3、稿共51页采用三角式或指数式更有利于乘、除、乘方和开方第11页，本讲稿共51页注意：1、|z|2与z2的区别。前者是模r的平方。zz*=|z|2 后者是z的自乘。2、关于复数的研究可以转化为一对实数（实部、虚部）的研究。例如：z=x+iy逼近常数z0=x0+iy0,即z逼近z0。可归结为x逼近x0，y逼近y0。第12页，本讲稿共51页1、2 复变函数（一）复变函数的定义在复平面上存在一个点集E，对于E中每一点，按照一定规律，有一个或多个复数值与之对应，则称为z的函数-复变函数。z为的宗量，定义域为E。记作：=f(z),zE第13页，本讲稿共51页（二）区域的概念满足一定条件的点集，称为区域，记

4、作B。邻域：以复数z0为圆点，以任意小正实数作半径划一个圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域。内点：若z0及其邻域均属于点集E，则称z0为该点集的内点。外点：若z0及其邻域均不属于点集E，则称z0为该点集的外点。第14页，本讲稿共51页境界点（边界点）：若z0的每个邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则z0称为E的境界点。既不是内点，也不是外点。境界点的全体成为境界线。直观地说，区域就是宗量z在复数平面的取值范围。严格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：（1）全由内点组成；（2）具有连通点，即点集中任意两点都可用一条折线连接起来，且折线上的点都属于该点集。第15页，本讲稿共51页闭区域

5、：区域B及其境界线所组成的点集称为闭区域。注意：区域可以是各种各样的。比如，圆形域|z-z0|r,z0为圆心，r为半径。环形域 a|z-z0|b,a为内半径，z0为环心，b为外半径。表示闭圆域，闭环域圆形域|z|rr闭圆域|z|r环形域 a|z|f(z0)可归结为一对二元实变函数u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)连续，即当x-x0,y-y0时，u(x,y)-u(x0,y0),v(x,y)-v(x0,y0)第23页，本讲稿共51页1、3 导数设函数=f(z)是在区域B上定义的单值函数，即对于B上每一个z值，有且只有一个与之对应。若在B上的某点z，极限则称函数=f(z)在z点可导，此极限称

6、为f(z)在z点的导数，以f(z)或df/dz表示。复变函数的导数定义，在形式上与实变函数的导数定义一样，因此，实变函数论中关于导数的规则和公式可以用于复变函数中。第24页，本讲稿共51页第25页，本讲稿共51页必须指出的是，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，但是实质上却有很大不同。因为实变数x只能沿实轴逼近零，复变数z却可以沿复数平面上任一曲线逼近零。因此，复变函数的可导是更严格的要求。第26页，本讲稿共51页z沿平行于实轴方向逼近零，则y=0,z=x-0，于是：z沿平行于虚轴方向逼近零，则x=0,z=y-0，于是：第27页，本讲稿共51页如果f(z)在点z可导，则以上两个极限必

7、须存在且彼此相等，即称为柯西-黎曼方程（条件），C-R条件，是复变函数可导的必要条件。注意：C-R条件只能保证z沿实轴逼近零或沿虚轴逼近零时，f/z逼近同一极限，并不能保证z沿任意曲线逼近零时，f/z逼近同一极限，因此，C-R条件不是复变函数可导的充分条件。第28页，本讲稿共51页函数f(z)可导的充分必要条件：f(z)的偏导数 存在且连续，并满足C-R条件。第29页，本讲稿共51页这一极限与z-0的方式无关，且为有限值。第30页，本讲稿共51页复变函数的可导比实变函数的可导更严格，具体表现之一就是，函数的实部和虚部通过柯西-黎曼条件约束。极坐标中的柯西-黎曼方程：作业：从直角坐标系中的C-R

8、方程，推导极坐标中的C-R方程。第31页，本讲稿共51页1、4 解析函数若函数f(z)在z0点及其邻域上处处可导，则f(z)在z0点解析。若f(z)在区域B上每点都解析，则f(z)是区域B上的解析函数。可见，函数在某一点解析，则必该点可导。反之不成立！例如，f(z)=|z|2仅在z=0点可导，而在其他各点均不可导。第32页，本讲稿共51页表明函数在某一点可导与解析是不等价的。但是，函数若在某一区域B上解析，则在B上处处可导。即，函数在某一区域上可导与解析是等价的。第33页，本讲稿共51页解析函数的主要性质：1、若f(z)=u+iv在B上解析，则u(x,y)=C1,v(x,y)=C2(C1,C2

9、为常数)是B上两组正交曲线族。第34页，本讲稿共51页例如：第35页，本讲稿共51页第36页，本讲稿共51页2、若f(z)=u+iv在B上解析，则u，v均为B上的调和函数。调和函数是指，如果某函数H(x,y)在B上有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称H(x,y)为B上的调和函数。后面将证明，某区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，那么u，v的二阶导数均存在且连续。第37页，本讲稿共51页第38页，本讲稿共51页假设给定的二元调和函数的实部为u(x,y)，试求相应的虚部v(x,y)。可分别利用三种方法计算：（1）曲线积分法；（2）凑全微分显式法；（3）不定积分法第39页，本讲稿共51

10、页yx0(x,0)(x,y)第40页，本讲稿共51页第41页，本讲稿共51页第42页，本讲稿共51页第43页，本讲稿共51页第44页，本讲稿共51页1、5 平面标量场物理或工程技术上经常要研究各种场，如电磁场、温度场。通常，这些场可能会随时间、空间发生变化。若与时间无关，则称为恒定场，如静电场。若研究的场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直该方向的平面上进行研究，这样的场成为平面场。平面是指，x,y变化则场值变化，与z无关，从三维变为二维。标量，即不是矢量，无方向问题。第45页，本讲稿共51页首先来看平面静电场，在没有电荷的区域内，静电场的电势满足二维拉普拉斯方程。那么可以用某一个解析函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)的实部或虚部表示该区域上的静电场电势。解析函数f(z)称为该平面静电场的复势。因为它的实部或虚部就是电势。设u(x,y)表示电势，那么u(x,y)=常数为等势线族。因为v(x,y)=常数与u(x,y)=常数垂直，那么v(x,y)=常数就是电场线族。这样v值本身就具有物理意义。第46页，本讲稿共51页第47页，本讲稿共51页第48页，本讲稿共51页第49页，本讲稿共51页第50页，本讲稿共51页作业：P5：1、（1）（2）（5）2、（1）（4）P13P18：2、（2）（4）（6）（8）（10）第51页，本讲稿共51页