数学实验对称性精品文稿.ppt

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1、数学实验课件对称性数学实验课件对称性All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院第1页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算简化前提（结构对称）简化前提（结构对称）1.几何形状对称几何形状对称2.刚度对称刚度对称关于对称轴对称的任一关于对称轴对称的任一对杆段，刚度相等。对杆段，刚度相等。3.约束形式对称约束形式对称包含包含支座的对称支座的对称和和结点结点的对称的对称。坡屋面框架EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI2EI2EI3EI3EI3EI

2、3EI4EI4EI4EI4对称结构对称结构第2页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算对称荷载对称荷载沿对称轴对折后，对沿对称轴对折后，对称轴以左荷载的大小、称轴以左荷载的大小、方向和作用点，都完全方向和作用点，都完全与以右的荷载重合的一与以右的荷载重合的一组荷载。组荷载。坡屋面框架FP1FP1对称结构承受对称荷载对称结构承受对称荷载FP2FP2第3页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结

3、构承受对称荷载的简化计算简化思路简化思路力法计算的主要工作量在于求解典型方程。力法计算的主要工作量在于求解典型方程。式中，主系数式中，主系数d dii0，而，而尽量使副系数和自由项等于尽量使副系数和自由项等于0，从而，从而系数和自由项的计算工作量大副系数自由项第4页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算可以简化为可以简化为独立方程独立方程和和少元联立方程少元联立方程，以便求解。，以便求解。简化目标简化目标使典型方程中尽量多的副系数和自由项为使典型方程中尽量多的副系数和自由项为0，

4、以方便典型方程的求解。以方便典型方程的求解。第5页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算原结构FPFP基本结构之一对称的基本结构基本体系FPX2X2X3X3X1X1FP按力法步骤推导简化方法按力法步骤推导简化方法超静定次数为超静定次数为3。选择对称的基本结构。选择对称的基本结构。使基本未知力满足对称性或使基本未知力满足对称性或反对称性。反对称性。写出典型方程。写出典型方程。着重研究着重研究副系数副系数d dij和和自由项自由项D DiP的计算，的计算，找出其中为找出其中为0者者。

5、第6页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算求副系数：求副系数：绘制绘制 图图反对称弯矩图与对称弯矩图的图乘结果为反对称弯矩图与对称弯矩图的图乘结果为0。即。即X2=1图（对称）图（对称）X3=1X1=1X1=1图（反对称）第7页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算求自由项：绘制求自由项：绘制MP图和图和 图图MP图（对称）FPFPX1=1X1=1图（反对称）第8

6、页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算原典型方程简化为原典型方程简化为其中，（其中，（a）是）是独立方程独立方程，（，（b）是）是少元联立方程少元联立方程。方程组（方程组（a）中主系数）中主系数d d11不为零，因此不为零，因此X1=0。（a）（b）第9页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算原典型方程最终简化为原典型方程最终简化为（b）第10页，本讲稿共30页A

7、ll Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算叠加法绘内力图叠加法绘内力图同理，最终变形也是同理，最终变形也是对称的。对称的。X2 （对称）（对称）+=M（对称）（对称）MP图（对称）FPFPX2=1图（对称）图（对称）X3=1+X3 （对称）（对称）第11页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算【小结小结】对称结构承受反对称荷载时的特征对称结构承受反对称荷载时的特征1.内力和变形是对称的；

8、内力和变形是对称的；2.对称轴截面上只有对称的内力（对称轴截面上只有对称的内力（X2和和X3），而反对称内），而反对称内力为零（力为零（X1）。）。第12页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算半结构法（进一步简化）半结构法（进一步简化）奇数跨对称结构简化方法奇数跨对称结构简化方法按结论按结论1，只需取原结构只需取原结构一半的基本体系计算即可一半的基本体系计算即可。这样，在对称轴截面上附这样，在对称轴截面上附加加垂直于对称轴的定向支座垂直于对称轴的定向支座，就能使就能使半结构在受

9、力和变形半结构在受力和变形两方面都与原结构相符两方面都与原结构相符。奇数跨等效半结构奇数跨等效半结构原结构DH=0q=0DVFPFPllFPFPX2X3DVDH=0q=0lFPDH=0q=0DVFR=X3MR=X2第13页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算偶数对称跨结构的半结构取法偶数对称跨结构的半结构取法D DH=0D DV=0q q=0原结构FPFPFPFRxMFRy偶数跨等效半结构取一半，中柱去除对称轴截面加固定支座中柱仅有轴力。中柱仅有轴力。第14页，本讲稿共30页A

10、ll Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算【例例1 1】利用对称性简化图利用对称性简化图示结构，绘其弯矩图。已知各示结构，绘其弯矩图。已知各杆杆EI相同，为常数。相同，为常数。解：原结构解：原结构n=2，取，取其等效半结构如图。其等效半结构如图。半结构半结构n=1，按力法，按力法计算其计算其M图。图。最后补全另一半，得最后补全另一半，得原结构弯矩图。原结构弯矩图。8kN8kN3m3m3m3m3m3mABCDEEIEI8kN3m3m3mABE半结构8kNX1基本体系1X1=1X1=1图8kN12图M图(

11、kNm)123.6原结构M图(kNm)12123.6第15页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算对称结构承受对称荷载的简化计算【思考题思考题】1.如何处理对称轴经过结构如何处理对称轴经过结构铰结点的情况？铰结点的情况？FP思考题1图FP等效半结构FP第16页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算第17页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工

12、程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算简化前提（结构对称）简化前提（结构对称）1.几何形状对称；几何形状对称；2.刚度对称；刚度对称；3.约束形式对称。约束形式对称。反对称荷载反对称荷载在绕对称轴对折后，其在绕对称轴对折后，其大小相等，作用点重合，大小相等，作用点重合，但方向相反的荷载。但方向相反的荷载。坡屋面框架EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI2EI2EI3EI3EI3EI3EI4EI4EI4EI4FP1FP2FP1对称结构承受反对称荷载对称结构承受反对称荷载FP2第18页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大

13、学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算简化目标简化目标使典型方程中尽量多的副系数和自由项为使典型方程中尽量多的副系数和自由项为0，以方便典型方程的求解。以方便典型方程的求解。第19页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算按力法步骤推导简化方法按力法步骤推导简化方法超静定次数为超静定次数为3。选择对称的基本结构。选择对称的基本结构。使基本未知力满足对称性或反使基本未知力满足对称性或反对称性。对称性。写出典型方程。写出典型方程。着重研究着重

14、研究副系数副系数d dij和和自由项自由项D DiP的计算，的计算，找出其中为找出其中为0者者。原结构FPFP对称的基本结构基本体系FPX2X2X3X3X1X1FP第20页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算求副系数：求副系数：绘制绘制 图图反对称弯矩图与对称弯矩图的图乘结果为反对称弯矩图与对称弯矩图的图乘结果为0。即。即X2=1图（对称）图（对称）X3=1X1=1X1=1图（反对称）第21页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学

15、土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算求自由项：求自由项：绘制绘制MP图和图和 图图X2=1图（对称）图（对称）X3=1MP图（反对称）FPFP第22页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算原典型方程简化为原典型方程简化为其中，（其中，（a）是）是独立方程独立方程，（，（b）是）是少元联立方程少元联立方程。方程组（方程组（b）为线性齐次方程组，可证明系数行）为线性齐次方程组，可证明系数行列式不为零，于是列式不为零，于是X2=0，X3=0。

16、（a）（b）第23页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算原典型方程最终简化为原典型方程最终简化为（a）第24页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算叠加法绘内力图叠加法绘内力图同理，最终变形也是同理，最终变形也是反对称的。反对称的。X1=1X1=1图（反对称）MP图（反对称）FPFPX1 （反对称）（反对称）+=M（反对称）（反对称）第25页，本讲稿共30

17、页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算【小结小结】对称结构承受反对称荷载时的特征对称结构承受反对称荷载时的特征1.内力和变形是反对称的；内力和变形是反对称的；2.对称轴截面上只有反对称的内力（对称轴截面上只有反对称的内力（X1），而对称内力），而对称内力为零（为零（X2和和X3）。）。第26页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算半结构法（进一步简化）半结构法（进一步简化

18、）奇数跨对称结构简化方法奇数跨对称结构简化方法按结论按结论1，只需取原结构只需取原结构一半的基本体系计算即可一半的基本体系计算即可。这样，在对称轴截面上附这样，在对称轴截面上附加加沿对称轴的活动铰支座沿对称轴的活动铰支座，就能使就能使半结构在受力和变形半结构在受力和变形两方面都与原结构相符两方面都与原结构相符。奇数跨等效半结构奇数跨等效半结构原结构FPFPllDHqDV=0X1FPFPX1DHqDV=0lFPFR=X1DHqDV=0第27页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计

19、算偶数对称跨结构简化方法偶数对称跨结构简化方法(a)原结构EIFPFPC(b)中柱看作双柱EI/2EI/2FPFPC(c)按奇数跨取半结构EI/2EI/2FPFPCCFQC(d)偶数跨等效半结构FPEI/2C取一半，中柱刚度折半还原时，中柱M、FQ乘2第28页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算【例例1 1】利用对称性简化图利用对称性简化图示结构，绘其弯矩图。已知各示结构，绘其弯矩图。已知各杆杆EI相同，为常数。相同，为常数。解：原结构解：原结构n=1，取其，取其等效半结构

20、如图。等效半结构如图。该半结构为静定！直该半结构为静定！直接按静力平衡条件计算，接按静力平衡条件计算，绘其弯矩图。绘其弯矩图。最后，补全另一半，最后，补全另一半，得原结构弯矩图。得原结构弯矩图。FPFPllC2lFPlC等效半结构半结构M图FPlC2FPl2FPl2lM图2FPl2FPl2FPl第29页，本讲稿共30页All Rights Reserved重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算对称结构承受反对称荷载的简化计算【思考题思考题】1.如何处理对称轴经过结构如何处理对称轴经过结构铰结点的情况？铰结点的情况？2.如何处理对称轴上有支杆如何处理对称轴上有支杆和链杆的情况？和链杆的情况？FP思考题1图FP等效半结构FP思考题思考题2图图FPFPEAFPFPn=6FPn=1等效半结构等效半结构n=3第30页，本讲稿共30页