求数列通项公式精品文稿.ppt

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1、求数列通项公式第1页，本讲稿共27页通项公式：通项公式：通项公式：通项公式：如如如如果果果果数数数数列列列列anan的的的的前前前前n n项项项项与与与与序序序序号号号号n n之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系可可可可以以以以用用用用一个式子来表示一个式子来表示一个式子来表示一个式子来表示,即即即即 注意：注意：注意：注意：1.1.通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；2.2.通项公式以数列的项数通项公式以数列的项数通项公式以数列的项数通项公式

2、以数列的项数n n为唯一为唯一为唯一为唯一变量变量变量变量；3.3.并非每个数列都存在通项公式并非每个数列都存在通项公式并非每个数列都存在通项公式并非每个数列都存在通项公式.第2页，本讲稿共27页例例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。下列各数。已知数列的前几项，已知数列的前几项，观察数列特征，观察数列特征，通常先将各项分解成通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。分与项数的关系，写出通项。一、观察法一、观察

3、法第3页，本讲稿共27页1、写出下列数列的一个通项公式、写出下列数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,解：解：an=10n1(2)1,11,111,1111,分析：注意观察各项与它的序号的关系分析：注意观察各项与它的序号的关系有有 101，1021，1031，1041解：解：an=(10n1)这是特殊到一般的思想，也是数这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！学上重要的思想方法，但欠严谨！分析分析:注意与熟悉数列注意与熟悉数列9,99,999,9999,联联系系练习：练习：第4页，本讲稿共27页第5页，本讲稿共27页二、二、公式法：公式法：(1)等差数列通项公

4、式：等差数列通项公式：(2)等比数列通项公式：等比数列通项公式：例如：例如：(1)(1)(2)(2)第6页，本讲稿共27页三、定义法定义法：运用运用 第7页，本讲稿共27页例例2.an的前项和的前项和Sn=2n21，求通项，求通项an解：当解：当n2时，时，an=SnSn1 =(2n21)2(n1)21 =4n2不要遗漏不要遗漏n=1的情形哦！的情形哦！当当n=1时时,a1=1不满足上式不满足上式 因此因此 an=1 (n=1)4n 2(n2,)第8页，本讲稿共27页变式变式.已知已知an中，中，a1+2a2+3a3+nan=3n+1,求通项求通项an解解:a1+2a2+3a3+nan=3n+

5、1 (n1)注意注意n的范围的范围 a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2）nan=3n+13n=23n23nnan=而而n=1时时,a1=9（n2）两式相减得：两式相减得：an=9 (n=1)23nn（n2,）第9页，本讲稿共27页 例例3.3.第10页，本讲稿共27页 例4.第11页，本讲稿共27页例例5.已知已知an中中,an+1=an+n (nN*),a1=1,求通项求通项an解解:由由an+1=an+n (nN*)得得a2 a1 =1a3 a2 =2 a4 a3 =3anan1=n 1an=(anan1)+(an1an2)+(a2 a1)+a1 =(n 1)+(n 2)2)

6、+2+1+1四、累加法四、累加法(递推公式形如递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列型的数列)n个等式相加得a1 =1an+1 an=n (nN*)（1）注意讨）注意讨论首项论首项;(2)(2)适用于适用于an+1=an+f(n)型递推公式型递推公式第12页，本讲稿共27页求法：累加法求法：累加法练习：练习：第13页，本讲稿共27页五、累乘法五、累乘法 (形如形如an+1=f(n)an型型)例例6.已知已知an是首项为是首项为1的正项数列的正项数列,且且(n+1)an+12+an+1annan2=0,求求an的通项公式的通项公式解解:(n+1)an+12+an+1annan2=0 (an

7、+1+an)(n+1)an+1 nan=0 an+1+an0 (n1)an=.注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得(n+1)an+1=nan第14页，本讲稿共27页练习练习1：五、累乘法五、累乘法 (形如形如an+1=f(n)an型型)第15页，本讲稿共27页练习练习2五、累乘法五、累乘法 (形如形如an+1=f(n)an型型)第16页，本讲稿共27页六、构造法六、构造法题题型型1.已知数列已知数列an的首的首项项,以及以及满满足条件足条件an+1=pan+q（p、q为为常数）常数）时时，求，求该该数列的通数列的通项项公式公式.例例7.已知已知 ，根据条件，根据条件 ,确定数列

8、确定数列 的通项公式的通项公式.方法方法：猜想证明猜想证明：由：由 及及 ,计算出计算出 ,归纳猜想：归纳猜想：;然后用数学归纳法证明猜想正确然后用数学归纳法证明猜想正确(略略).第17页，本讲稿共27页六、构造法六、构造法题题型型1.已知数列已知数列an的首的首项项,以及以及满满足条件足条件an+1=pan+q（p、q为为常数）常数）时时，求，求该该数列的通数列的通项项公式公式.例例7.已知已知 ，根据条件，根据条件 ,确定数列确定数列 的通项公式的通项公式.方法方法迭代法迭代法：。第18页，本讲稿共27页六、构造法六、构造法题题型型1.已知数列已知数列an的首的首项项,以及以及满满足条件足

9、条件an+1=pan+q（p、q为为常数）常数）时时，求，求该该数列的通数列的通项项公式公式.例例7.已知已知 ，根据条件，根据条件 ,确定数列确定数列 的通项公式的通项公式.方法方法构造法构造法：根据：根据 构造一个新数列构造一个新数列 设设 ，则，则 ，即，即 ，为等比数列，首项为为等比数列，首项为 ，公比为，公比为 3.，.第19页，本讲稿共27页六、构造法六、构造法题题型型1.已知数列已知数列an的首的首项项,以及以及满满足条件足条件an+1=pan+q（p、q为为常数）常数）时时，求，求该该数列的通数列的通项项公式公式.方法总结：方法总结：利用待定系数法利用待定系数法令令 an+=p

10、(an-1+),得到得到从而构造出等比从而构造出等比数列数列 ,辅助求出辅助求出an的通的通项项公式公式第20页，本讲稿共27页六、六、构造法构造法例例8.已知数列已知数列 中，中，34，第21页，本讲稿共27页六、六、构造法构造法例例8.已知数列已知数列 中，中，34，第22页，本讲稿共27页六、构造法第23页，本讲稿共27页【变式迁移】已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列an的通项公式.解：（1）方法1：（构造法）因为a15且an2an12n1，所以当n2时，an12（an11）2n，所以，所以，第24页，本讲稿共27页所以是以为首项，以1为公差的等差数列.（2）由（1）知,所以an（n1）2n1.已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列an的通项公式.【变式迁移】第25页，本讲稿共27页例例10：题型题型4形如形如 的递推式，的递推式，可采用可采用取倒数方法转化成为取倒数方法转化成为第26页，本讲稿共27页形如形如 的递推式的递推式例例11：题型题型5第27页，本讲稿共27页