高二数学必修五教案.pdf

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1、高二数学高二数学 教学案教学案主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：课题：课题：1.1.1正 弦 定 理【学习目标】【学习目标】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。【学习重点学习重点】正弦定理的探索和证明及其基本应用。【学习难点】【学习难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。【授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】课件、电子白板【学习方法】【学习方法】【学习过程学习过程】个性设计一、引入：一、引入：固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。思考：C 的大小

2、与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课学习：二、新课学习：中，角与边的等式关系。如图 1 1-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角 三角 函数中 正弦 函数 的定义，有abc sinA，sinB，又sinC 1,则ccc在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形asinAbsinBcsinCc，从而在直角三角形 ABC 中，asinAbsinBcsinC思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种

3、情况：当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的ab定义，有 CD=asinBbsinA,则，sinAsinB同理可得csinCbsinB，从而 asinAbsinBcsinC证法二）：过点 A 作jAC，由向量的加法可得ABACCB 则jABj(ACCB)-1-高二数学高二数学 教学案教学案 jABjACjCBj 00j AB cos90 A0 j CB cos90 Ccsin A asin C，即同理，过点 C 作j BC，可得acsin Asin Cbcsin Bsin C从而asinAbsinBcsinC类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍

4、然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinAbsinBcsinC 理解定理理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使aksinA，bksinB，cksinC；（2）asinAasinAbsinBcsinC等 价 于asinAbsinB，csinCbsinB，csinC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA；sinB已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAasinB。b

5、一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角解三角形形。三、特例示范：三、特例示范：例 1在ABC中，已知A32.00，B 81.80，a 42.9cm，解三角形。例 2在ABC中，已知a 20cm，b 28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到 1cm）。（注意：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。）四、当堂练习：四、当堂练习：第 5 页练习第 1（1）、2（1）题。补充练习已知ABC 中，sinA:sinB:sinC 1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）五、本节小结：五、本节小结：-2-高二数学高二数学 教学案教学案（asin

6、A1）b定csinC理的表示形式：sinBabckk 0；sinA sinB sinC或aksinA，bksinB，cksinC(k 0)（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。六、作业布置六、作业布置:学案 1.1.1课后反思：课后反思：-3-高二数学高二数学 教学案教学案主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：课题：课题：1.1.2余 弦 定 理【学习目标】【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用

7、余弦定理解决两类基本的解三角形问题【学习重点学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【学习难点】【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。【授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】课件、电子白板【学习方法】【学习方法】【学习过程学习过程】个性设计一、引入：一、引入：1.什么是正弦定理？什么是解三角形？2.思考：如图 11-4，在ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和C，求边 c二、新课学习：二、新课学习：联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑

8、用向量来研究这个问题。如图 11-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则2 ccababaabb 2ab22ab 2abc从而c2a2b2 2abcosC同理可证a2b2c2 2bccosAbac 2accosB222于是得到以下定理余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即abc 2bccosA222b2a2c2 2accosB-4-高二数学高二数学 教学案教学案c2a2b2 2abcosC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论

9、：b c acos A2bca c bcos B 2acb a ccos C 2ba222222222 理解定理理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC 中，C=900，则cos C 0，这时c2 a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。三、特例示范：三、特例示范：例 1在ABC 中，已知a 23，c 6 2，B 600，求 b

10、 及 A例 2在ABC 中，已知a 134.6 cm，b 87.8 cm，c 161.7 cm，解三角形四、当堂练习：四、当堂练习：第 8 页练习第 1、2 题。五、本节小结：五、本节小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。六、作业布置六、作业布置:学案 1.1.2课后反思：课后反思：-5-高二数学高二数学 教学案教学案执教者：执教者：课题：课题：1.1.3正 弦 定 理 和 余 弦 定 理主备人：主备人：何志杰【学习目标】【学习目标】1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解

11、三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。2.通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。【学习重点学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。【学习难点】【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用【授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】课件、电子白板【学习方法】【学习方法】【学习过程学习过程】个性设计一、引入：一、引入：思考：在ABC 中，已知a 22cm，b 25cm，A 1330

12、，解三角形。（由学生阅读课本第 9 页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。二、特例示范：二、特例示范：例例 1 1在ABC 中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况分析：先由sinB0则C 180(AB)bsinA可进一步求出 B；a从而casinCA1当 A 为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2当 A 为锐角时，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只有一解；（3）若absinA，则

13、无解。（以上解答过程详见课本第 910 页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。例例 2 2在ABC 中，已知a 7，b 5，c 3，判断ABC 的类型。分析：由余弦定理可知-6-高二数学高二数学 教学案教学案abcA是直角 ABC 是直角三角形222abcA是钝角 ABC 是钝角三角形222abcA是锐角 ABC 是锐角三角形222（注意：A是锐角 ABC 是锐角三角形）解：72 52 32，即a2b2c2，ABC 是钝角三角形。例例 3 3在ABC 中，A 600，b 1，面积为值分析：可利用三角

14、形面积定理S弦定理asinA32，求abc的sinA sinB sinC1212absinC12acsinBbcsinA以及正bsinBcsinCabcsinA sinB sinC32解：由S12bcsinA得c 2，则a2b2c2 2bccosA=3，即a3，从而abca 2sinA sinB sinCsinA四、当堂练习：四、当堂练习：（1）在ABC 中，已知a 80，b 100，A 450，试判断此三角形的解的情况。c（2）在ABC 中，若a 1，12，C 400，则符合题意的 b 的值有_个。（3）在ABC 中，axcm，b 2cm，B 450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x

15、的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2 x 22）（1）在ABC 中，已知sinA:sinB:sinC 1:2:3，判断ABC 的类型。（2）已知ABC 满足条件acosAbcosB，判断ABC 的类型。（答案：（1）ABC 是钝角三角形；（2）ABC 是等腰或直角三角形）（1）在ABC 中，若a 55，b 16，且此三角形的面积S 2203，求角C-7-高二数学高二数学 教学案教学案（2）在ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积S求角 C（答案：（1）600或1200；（2）450）abc4222，五、本节小结：五、本节小结：（1）在已知三角形的两边及其中一边的对

16、角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用六、作业布置六、作业布置:学案 1.1.3课后反思：课后反思：-8-高二数学高二数学 教学案教学案主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：课题：课题：1.2.1应 用 举 例（距 离）【学习目标】【学习目标】1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法 2理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等 3.掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用【学习重点学习重点】1实际问题向数学问题的转化；2解斜

17、三角形的方法【学习难点】【学习难点】实际问题向数学问题转化思路的确定【授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】多媒体课件、电子白板【学习方法】【学习方法】【学习过程学习过程】一、引入：引入：1正弦定理：asin Absin Bcsin C 2R个性设计b c a2bc22222余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A,cos A b2 c a 2ca cos B,cos B 22c a b2ca22c a b 2ab cos C，cos C 222a b c2ab222 3解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的

18、外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力 下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用二、新课学习：二、新课学习：解斜三角形中的有关名词、术语：（2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。（3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。（4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。（5）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角三、特例示范：三、特例示范：例例 1 1 课本课本 1212页例页例 1 1-9-高二数学高二数学

19、 教学案教学案例例 2 2 课本课本 1212页例页例 2 2例例 3 3自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度 已知车箱的最大仰角为 60，油泵顶点 B 与车箱支点 A 之间的距离为1 95，AB 与水平线之间的夹角为620，AC 长为 140，计算 BC 的长(保留三个有效数字)(油泵顶杆 BC约长 189)例例 4 4 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45、距离A为 10 海里的C处，并测得渔船正沿方位角为 105的方向，以 9 海里的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以 21海里的速度前去营救，试问舰艇

20、应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间(舰艇方位角为 6647，23小时即 40 分钟)例 5课本 17 页例 6例 6 课本 15 页例 3例 7课本 15 页例 4例 8 课本 16 页例 5例 9 据气象台预报，距S岛 300 的A处有一台风中心形成，并以每小时 30的速度向北偏西 30的方向移动，在距台风中心 270 以内的地区将受到台风的影响问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由例例 4 4：海中有一小岛 B，周围 38 海里有暗礁，军舰由西向东航行到 A，望见岛在北 75东，航行 8 海里到 C，望见岛 B

21、在北 6O东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?四、当堂练习：四、当堂练习：1直线AB外有一点C，ABC6O，AB2OO，汽车以 8O 速度由A向B行驶，同时摩托车以 5O 公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小-10-高二数学高二数学 教学案教学案（答案：约 13 小时）2一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15相距 20里处，随后货轮按北偏西 30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东 45，求货轮的速度五、本节小结：五、本节小结：通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形

22、问题及实际应用题的能力六、作业布置六、作业布置:课时作业 1.2.1、1.2.2、1.2.3、1.2.4课后反思课后反思-11-高二数学高二数学（必修（必修 5 5）教学案）教学案课题：2.1.1 数列的概念与简单表示法（1）主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：【学习目标】【学习目标】1、理解数列的概念；2、认识数列是反映自然规律的基本数学模型；3、初步掌握数列的一种表示方法通项公式；【学习重点学习重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用.【学习难点】【学习难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.【授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。【学

23、习方法】【学习方法】诱思探究法【学习过程学习过程】一、复习引入：一、复习引入：师师 课本图 2.1-1 中的三角形数分别是多少？生生 1，3，6，10，.师师 图 2.1-2 中的正方形数呢？生生 1，4，9，16，25，.师师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生生-1 的正整数次幂：-1，1，-1，1，无穷多个数 1 排成一列数：1，1，1，1，.生生 一些分数排成的一列数：23415个性设计，635，863，1099，.二、新课学习：折纸问题师师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试生生 一般折 5、6 次就不能折下去了，厚度太高了.师师 你知道这

24、是为什么吗？我们设纸原来的厚度为 1 长度单位，面积为 1 面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，256，；随着对折数面积依次为121418116,1256,.生生 对折 8 次以后，纸的厚度为原来的 256 倍，其面积为原来的 1/256，再折下去太困难了.师师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生生 均是一列数.生生 还有一定次序.师师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.教师精讲教师精讲1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意

25、：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可-12-高二数学高二数学（必修（必修 5 5）教学案）教学案以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项)，第 2 项，第 n 项，.同学们能举例说明吗？生生 例如，上述例子均是数列，其中中，“2”是这个数列的第 1 项(或首项)，“16”是这个数列中的第 4 项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6 是

26、有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本 P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.知识拓展知识拓展师师 你能说出上述数列中的 256 是这

27、数列的第多少项？能否写出它的第 n项？生生 256 是这数列的第 8 项，我能写出它的第 n 项，应为 an=2n.合作探究合作探究同学们看数列 2，4，8，16，256，中项与项之间的对应关系，项2481632序号12345你能从中得到什么启示？生生 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数 y=f(x)，如果 f(i)(i=1、2、3、4)有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),f(n),.师师 说的很好.如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个

28、公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.三、三、特例示范特例示范1.根据下面数列an的通项公式，写出前 5 项：(1)an=nn1;(2)an=(-1)nn.师师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中 n 依次取 1，2，3，4，5，即可得到数列的前 5 项.-13-高二数学高二数学（必修（必修 5 5）教学案）教学案2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，；(2)23，415，635，863，1099，；(3)0，1，0，1，0，1，；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，；(5)2，-6，12，-20，30，-42，.这是由“数”给出

29、数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.合作探究合作探究师师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数函数数列数列(特殊的函数特殊的函数)y=f(x)an=f(n)图象图象点的集合一些离散的点的集合师师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10 1,12定义域定义域解析式解析式R 或 R 的子集N*或它的有限子集1，2，n,13,14,的图象.生生 根据这数列的通项公式画出数列、的图象为师师 数列 4，5，6，7，8，9，10

30、,的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生生 与我们学过的一次函数 y=x+3 的图象有关.师师 数列 1,121314,的图象与我们学过的什么函数的图象有关？1x生生 与我们学过的反比例函数y的图象有关.师师 这两数列的图象有什么特点？生生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生生 它们都位于 y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于 y 轴的右侧的点.四、课堂小结四、课堂小结本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公

31、式.六、作业布置六、作业布置:课时作业 2.1.1六、课后反思：六、课后反思：-14-高二数学（必修高二数学（必修 5 5）教学案教学案课题：课题：2.1.2数列的概念与简单表示法（2）主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：【学习目标】【学习目标】1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.【学习重点学习重点】根据数列的递推公式写出数列的前几项.【学习难点】【学习难点】理解递推公式与通项公式的关系.【授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板【学习方法】【学习方法】诱思探究法【学习过程学习过程】一、复习引入：

32、一、复习引入：师师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生生 如果数列an的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.师师 你能举例说明吗？生生 如数列 0，1，2，3，的通项公式为 an=n-1(nN*);1,1,1 的通项公式为 an=1(nN,1n3)1,12*个性设计,13,14,的通项公式为 an=1n(nN*).合作探究合作探究数列的表示方法师师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？生生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法

33、是以项数n 为横坐标，相应的项 an为纵坐标，即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列 1,111234,为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.师师 说得很好，还有其他的方法吗？生生 师师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.生生 模

34、型一：自上而下第 1 层钢管数为 4,即 1 4 1+3;第 2 层钢管数为 5,即 2 5 2+3;-15-高二数学（必修高二数学（必修 5 5）教学案教学案第 3 层钢管数为 6,即 3 6 3+3;第 4 层钢管数为 7,即 4 7 4+3;第 5 层钢管数为 8,即 5 8 5+3;第 6 层钢管数为 9,即 6 9 6+3;第 7 层钢管数为 10,即 7 10 7+3.若用 an表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 an=n+3(1n7).师师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管

35、数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)生生 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1,即 a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.依此类推：an=an-1+1(2n7).师师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?生生 若知其第 1 项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.师师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.二、新课学习：二、新课学习：1.递推公式定义：如果已知数列an的第 1 项(或前几项)，且任一项 an与它的前一项 a

36、n-1(或前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+an-2(3n8).2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法.三、三、特例示范特例示范【例【例 1 1】设数列an满足a1 11,n1an 1an1.写出这个数列的前五项.师师 分析：题中已给出an的第 1 项即 a1=1，题目要

37、求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：an=1+如何应用呢?生生 这要将 n 的值 2 和 a1=1 代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.-16-1an1我们将高二数学（必修高二数学（必修 5 5）教学案教学案师师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例【例 2 2】已知 a1=2，an+1=2an，写出前 5 项，并猜想 an.师师 由例 1 的经验我们先求前 5 项.生生 前 5 项分别为 2，4，8，16，32.师师 对，下面来猜想第 n 项.生生 由 a1

38、=2，a2=22=2，a3=22=2 观察可得，我猜想 an=2.教师精讲教师精讲(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.例如，由数列an中的递推公式 an+1=2an+1 无法写出数列an中的任何一项，若又知 a1=1，则可以依次地写出 a2=3,a3=7,a4=15,.(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.四、当堂练习四、当堂练习：学案 2.1.2五、五、本节小结：本节小结：通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的关系.对于

39、通项公式，只要将公式中的 n 依次取 1，2，3,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前 n 项)，才可求得其他的项.六、作业布置六、作业布置:课时作业 3.1.2课后反思：课后反思：223n-17-高二数学（必修高二数学（必修 5 5）教学案）教学案课题：课题：2.2.1 等差数列（1）主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：【学习目标】【学习目标】了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项【学习重点学习重点】等差数列的概念，等差数列的通项公式【学习难点】

40、等差数列的性质【授课类型】新授课【教【教具】具】多媒体、实物投影仪、电子白板【学习方法】【学习方法】诱思探究法【学习过程学习过程】一、复习引入：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的 数列的数列的 几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。课本 P41 页的 4 个例子：0，5，10，15，20，25，48，53，58，6318，15.5，13，10.5，8，5.510072，10144，10216，10288，10366观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与

41、它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列等差数列二、新课学习：二、新课学习：1 1等差数列等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列a,若anan1=d(与 n 无关的数或字母)，n个性设计2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差。思考：思考：数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？2 2等差数列的通项公式：等差数列的

42、通项公式：an a1(n 1)d【或anam(n m)d】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公差是 d，则据其定义可得：a2 a1 d即：a2 a1 d-18-高二数学（必修高二数学（必修 5 5）教学案）教学案a3 a2 d即：a3 a2 d a1 2a4 a3 d即：a4 a3 d a1 3d由此归纳等差数列的通项公式可得：an a1(n 1)d已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差 d，便可求得其通项an。由上述关系还可得：am a1(m 1)d即：a1 am(m 1)d则：ana1(n 1)d=am(m 1)d (n 1)d am(n m)

43、d即 等 差 数 列 的 第 二 通 项 公 式anam(n m)dam anm nd=三、三、特例示范特例示范例例 1 1 求等差数列 8，5，2的第 20 项-401 是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？例例 3 3 已知数列a的通项公式an pn q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？注：若 p=0，则an是公差为 0 的等差数列，即为常数列 q，q，q，若 p0,则an是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数 y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为 q.数列an为等差数列的

44、充要条件是其通项an=pn+q(p、q 是常数)，称其为第 3 通项公式。判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个。-19-高二数学（必修高二数学（必修 5 5）教学案）教学案四、当堂练习四、当堂练习：补充练习1.（1）求等差数列 3，7，11，的第 4 项与第 10 项.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列 10，8，6，的第 20 项.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100 是不是等差数列 2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数 n 值，使得an等于这一数.（4

45、）20 是不是等差数列 0，3第几项？如果不是，说明理由.五、五、本节小结：本节小结：an通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：12，7，的项？如果是，是an1=d，（n2，nN）.其次，要会推导等差数列的通项公式：an a1(n 1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(n m)d和an=pn+q(p、q 是常数)的理解与应用.六、作业布置六、作业布置:课时作业：2.2.1课后反思：课后反思：-20-高二数学（必修高二数学（必修 5 5）教学案教学案课题：课题：2.2.2 等差数列（2）主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：【学习目标】【学习目标】明

46、确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。【学习重点学习重点】等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用【学习难点】【学习难点】灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题【授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】多媒体、实物投影仪【学习方法】【学习方法】诱思探究法【学习过程学习过程】一、复习引入一、复习引入：首先回忆一下上节课所学主要内容：1 1等差数列等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即anan1=d，（n2，nN），这个数列就叫做等差数列，这个

47、常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）个性设计an amn m2 2等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：an a1(n 1)d(anam(n m)d或an=pn+q(p、q 是常数)3 3有几种方法可以计算公差有几种方法可以计算公差 d d d=anan1 d=二、新课学习：二、新课学习：问题问题：如果在a与b中间插入一个数 A，使a，A，b成等差数列数列，那么 A 应满足什么条件？由定义得 A-a=b-A，即：A 反之，若A 由此可可得：三、例题三、例题例例在等差数列an中，若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项

48、公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手P44 例 2-21-an a1n 1 d=a b2a b2A，则 A-a=b-Aa b2 a,b,成等差数列高二数学（必修高二数学（必修 5 5）教学案教学案问：问：已知数列a是等差数列（1）2a5 a3 a是否成立？2a5 a1 a呢？为什么？79（2）2an an1 an1(n 1)是否成立？据此你能得到什么结论？(n k 0)是否成立？你又能得到什么结（3）2an ank a论？nk结论：结论：（性质）（性质）在等差数列中，若 m

49、+n=p+q，则，am an ap aq即m+n=p+qm+n=p+qam an ap aq(m,n,p,q(m,n,p,q N)N)但 通 常 由am an ap aq推 不 出m+n=p+q，am an am n探究：探究：等差数列与一次函数的关系四、课堂练习：四、课堂练习：1.在等差数列an中，已知a5 10，a12 31，求首项a1与公差d2.在等差数列an中,若a5 6a8 15求a14五、课堂小结：五、课堂小结：1A a b2 a,A,b,成等差数列2在等差数列中，m+n=p+q m+n=p+qam an ap aq(m,n,p,q(m,n,p,q N)N)六、作业布置六、作业布置

50、:课时作业 2.2.2课后反思：课后反思：-22-高二数学高二数学（必修（必修 5 5）教学案）教学案课题：2.3.1 等差数列的前 n 项和（1）主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：【学习目标】【学习目标】掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.【学习重点学习重点】等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.【学习难点】【学习难点】灵活运用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.【授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。【学习方法】【学习方法】诱思探究法【学习过程学习过程】一、复习引入：一、复习