高三数学专题复习教案.pdf

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1、第 1 讲简易逻辑一、高考要求理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义二、两点解读重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；充要条件的概念；反证法的应用难点：充要条件的判断；以简易逻辑为载体命制的开放性问题、新情景问题三、课前训练1设p,q为简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的（B）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件2条件甲：“a a”是条件乙：“a 1”的（A）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3|x1|(0)的充要条

2、件是1 x 1(0)4命题“若a,b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题是：“若ab不是偶数，则a,b不都是偶数”四、典型例题例 1.直线xay 2a2与ax y a1平行（不重合）的充要条件是（）11a 2(B)2(C)a 1(D)a 1或a 1(A)1a2a2a1a1，所以a 1；故选 C解：a 例 2 命题 p：若a、bR，则a b 1是a b 1的充要条件；命题 q：函数y x 1 2的定义域是(,13,)则（）（A）“p 或 q”为假（B）“p 且 q”为真（C）p 真 q 假（D）p 假 q 真解：由三角形不等式假命题；由a b a b 1知：a b 1是a b 1的必要不充分条件，

3、即 p 为x 1 2 0可得x 1或x 3，即q为真命题故选 D例 3 在空间中：若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线以上两个命题中逆命题为真命题的是解：的逆命题为：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面例如：正方形的四个顶点不共线但共面，故其不正确；的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点由异面直线定义知，异面直线没有公共点，故的逆命题为真命题例 4.关于 x 的一次函数y m(xn)的图象过第二、三、四象限的充要条件是_m 0y kxbk 0,b 0解：直线过二、三、四象限，则，故本题中mn 0，即m 0,n 02例 5

4、已知：三个方程x 4ax4a30,x(a1)xa 0,x 2ax2a 0中至少有222一个方程有实数解，试求实数a 的取值范围解：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：13 a 22(4a)24(4a3)01322a 或a 1 a 1(a1)4a 0322(2a)42a 02 a 0，33a|a 1a 2的补集，所以a的范围是2或a 1至少有一个方程有实数解为例 6 已知 p：q：集合f1(x)f是f(x)13x的反函数，且1(a)2；A x|x2(a 2)x1 0,xR，B=x|x 0，且 AB=1 xf1(a)23，由，可得求实数 a 的取值范围，使“p 或 q”

5、为真命题，“p 且 q”为假命题解：先考虑p：f|1(x)是 f(x)=13x 的反函数，f1(x)1 a|23，解得：5 a 7；2(a 2)4 0得 4 a 0；qA B 再考虑：当0 时，A，此时：由当0 时，由A B 可得：(a 2)2 4 0 x1 x2(a 2)0 x x 1 012，解得a 0由可知a 4要使 p 真 q 假，则 5 a 7 5 a 4a 4；要使 p 假 q 真，则a 5或a 7 a 7a 4，综上所述，当a的范围是(5,47,)时，p、q 中有且只有一个为真命题第 2 讲函数的概念与性质一、高考要求了解映射的概念，理解函数的概念；了解函数的单调性和奇偶性的概念

6、，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法；了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质；理解对数函数的概念、图象和性质；能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题二、两点解读重点：求函数定义域；求函数的值域或最值；求函数表达式或函数值；二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；指数函数与对数函数；求反函数；利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题难点：抽象函数性质的研究；二次方程根的分布三、课前训练1函数f(x)log2x 2的定义域是（D）（A）(3,)（B）

7、3,)（C）(4,)（D）4,)2函数y lnx 1(x 0)的反函数为（B）x1x1y e(x R)y e(x R)（A）（B）x1x1y e(x R)y e(x 1)（C）（D）ex,x 0,11g(x)g(g()ln x,x 0,23设则2x24设a 0,a 1，函数f(x)a是增函数，则不等式loga(x 5x 7)0的解集为(2,3)四、典型例题2 xx2f(x)lgf()f()2 x，则2x的定义域为（）设（A）(4,0)(0,4)（C）(2,1)(1,2)解：在f(x)lg（B）(4,1)(1,4)（D）(4,2)(2,4)2 x2 x 02 x中，由2 x，得(x 2)(x2)

8、0，2 x 2，x 2,4 x 4,2 4 x 1或1 x 42x 1或x 1,2,x 2 x2 2 f()f()x中，在2故选 B(3a 1)x 4a,x 1,f(x)logax,x 1已 知是(,)上 的 减 函 数，那 么 a 的 取 值 范 围 是1 1,)（C）7 31,1)（D）7（）（A）(0,1)1(0,)（B）3解：f(x)是(,)上的减函数，当x 1时，f(x)logax，0 a 1；又当x 1时，f(x)(3a 1)x 4a，3a1 0，a 11a 3，且(3a1)14a loga1，解得：7综11 a 3，故选 C上，7函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x 2)1f

9、(x)，若f(1)5，则f(f(5)1f(x)，解：函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x 4)f(x 2 2)1f(x 2)f(x 2)f(5)f(1)5，1 f(x)1f(x)，即f(x)的周期为 4，f(f(5)f(5)f(5 4)设 f(1)111 f(1 2)f(1)51f(x)log3(x6)11f(x),若 f的反函数为(m)6 f(n)6 27，则f(mn)21解：f(x)3x6,f11(m)3m6,f1(n)3n6,f1(m)6 f(n)6 3m3n 3mm 27,m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=211mnlog(f(m)6)log(f(n)6)l

10、og3273,33（另解f(mn)log392）2已知,是关于x的方程x 2(k 3)x 2k 4 0的两个实根，则实数k为何值时，大于 3 且小于 3？y3Ox解：令f(x)x2 2(k 3)x 2k 4，则方程x2 2(k 3)x 2k 4 0的两个实根可以看成是抛物线f(x)与x轴的两个交点（如图所示），故有：f(3)0，所以：9 6(k 3)2k 4 0，k 318ax有如下性质:如果常数a解之得：已知函数y x 0,那么该函数在(0,a上是减函数,在 a,)上2by x(x 0)x是增函数如果函数的值域为6,)，求 b 的值；2by x(x 0)bbx解：函数的最小值是2 2，则2

11、26，b log29；第 3 讲函数图象与变换一、高考要求给出函数的解析式或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象；给出函数的图象求解析式；给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围；考查函数图的平移、对称和翻折；和数形结合有关问题等函数的图象是函数的直观体现,运用函数的图象研究函数的性质非常方便函数的图象正成为高考命题的热点之一二、两点解读重点：已知解析式判断函数图象或已知图象判断解析式中参数的范围；函数图的平移、对称和翻折；从基本函数的图象变换到复合函数的图象等难点：利用函数性质识图；和数形结合有关问题三、课前训练g(x)log2x(x 0)1函数y f(x)的图象与函数的图象关于原点对

12、称，则f(x)的表达式为（D）f(x)（A）1(x 0)log2xf(x)（B）1(x 0)log2(x)（C）f(x)log2x(x 0)（D）f(x)log2(x)(x 0)12函数y f(x)的反函数y f(x)的图像与y轴交于点P(0,2)（如yy f1(x所 示），则 方 程f(x)0在1,4上 的 根 是x 4)2（C）（A）4（B）3x1O3（C）2（D）1图 2图23若函数y f(x 1)是偶函数，则函数y f(x)的图象关于x=1对称4若函数y axb 1(a 0且a 1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有0 a 1且b 0四、典型例题函数f(x)的图象无论经过平移还是沿直

13、线翻折后仍不能与（）（A）2xy log1x2的图象重合，则f(x)是1x42log xlog(x 1)242（B）（C）（D）xy 2解：将 1 y log1x 2的图象沿直线y x翻折即可与2的图象重合，排除A；将y log1xxy 2log4x log1x2沿x轴 翻 折 即 可 与22图 象 重 合，排 除B；将y log1x2y log2(x1)log1(x1)的图象向右平移 1 个单位，在沿x轴翻折即可与的图象重合，排除 C，故选 D22设b 0，二次函数y ax bx a 1的图象下列之一：y-1O1x1Oy1yxOyxOx(A)(B)(C)(D)则 a 的值为（）1515（A）

14、1（B）1（C）2（D）2解：前两个函数图象关于y轴对称，故b 0，与条件不符，后两个函数图象都过定点（0，0），故a 1 0，即a 1，又由对称轴大于零，即故选 B2x b 02a，由b 0得a 0，所以取a 1，11设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数f(x),f(4)0,则f(4)=解：由f(4)0，即f(x)过点（4，0），又f(x)的图象关于点(1,2)对称，可知：f(x)过点（2，14），f(2)4，故f(4)=2y321在同一平面直角坐标系中，函数y f(x)21O121x和y g(x)的图像关于直线y x对称现将y g(x)图像沿 x 轴向左平移 2 个单位，

15、再沿 y轴向上平移个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数f(x)的表达式为解：将原图象沿 y 轴向下平移个单位，再沿x轴x1,0 x 2g(x)22x 4,2 x 3向右平移个单位得g(x)的图象（如右图），求得：又函数y f(x)和y g(x)的图像关于直线y x对称，求g(x)反函数得：2x2,1 x 0g(x)x2,0 x 22，1y32x 2,1 x 0f(x)x2 2,0 x 2故2121o1123x已知函数f(x)(x a)(x b)2，m、n是方程f(x)0的两根，且a b，m n试判断实数a，b，m，n的大小关系y解：f(x)(x a)(x b)2，f(a

16、)2，f(b)2，a，b是方程f(x)2的两根，abmonxy=-2即为函数y f(x)的图象与直线y 2交点的横坐标而m，n是方程f(x)0的两根，m，n为函数y f(x)的图象与x轴交点的横坐标又a b，m n，故如图所示可得m a b nx已知函数f(x)loga(a1)(a 0,a 1)，（1）证明：函数f(x)的图象在y轴一侧；（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1 x2)是图象上的两点，证明直线AB的斜率大于零；1（3）求函数y f(2x)与y f(x)的图象交点坐标xx解：（1）由a 1 0即a 1，当a 1时，x 0，函数图象在y轴右侧；当0 a 1时，x 0，函数图

17、象在y轴左侧，故函数图象总在y轴一侧kABy1 y2x1 x2，又由x1 x2，故只需证y2 y1 0即可x2x1（2）由于因为y2 y1 loga(a1)loga(a1)logaax21ax11，ax211x1x2x1x2x1当a 1时，由0 x1 x2得0 a a，即0 a1 a1，故 有a1，logaax21ax11 0，即y2 y1 0；0 ax21ax111x1x2x1x2当0 a 1时，由0 x1 x2得a a1，即a1 a1 0，故有，logaax21ax11 0，即y2 y1 0综上直线 AB 的斜率总大于零.1x2xloga(ax1)f(2x)loga(a2x1)f(x)（3

18、），当它们图象相交时：a 1 a1可解得：ax 2，所以x loga2，y loga3，即交点坐标为：(loga2，loga3)第 4 讲函数性质的综合应用一、高考要求函数的综合应用在高考中的分值大约为20 分左右，题型的设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其它知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的综合应用是高考考查的主要着力点之一二、两点解读重点：函数的奇偶性、单调性和周期性；函数与不等式结合；函数与方程的综合；函数与数列综合；函数与向量的综合；利用导数来刻画函数难点：新定义的函数问题；代数推理问题，常作为高考压轴题三、课前训练1已知 aR，函数f(x)sin

19、x a，xR 为奇函数，则a（B）（A）1（B）0（C）1（D）12“a 1”是“函数f(x)|x a|在区间1,)上为增函数”的（A）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3若函数y 12x 2x 42的定义域、值域都是闭区间2,2b，则b的值为 261 4(kR)f(lg)x2-8，f(lg2)0，则4已知四、典型例题f(x)kx 设函数f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若f(1)1，f(2)3a 4a 1，则a的取值范围是（）a 33331 a a a 4（B）4且a 1（C）44或a 1（D）（A）解：f(x)以 3 为周期，所

20、以f(2)f(1)，又f(x)是 R 上的奇函数，3a4 1f(1)1f(2)1f(1)f(1)f(2)f(1)f(1)a1，则，再由，可得，即，解31 a 4，故选 D之得1f(x)(axax)(a 1)2设f(x)是函数的反函数，则使1f1(x)1成立的 x 的取值范围为（）a21a21a21(,a)(,)(,)2a2a2a（A）（B）（C）（D）a,)1f(x)1，即 x f(1).f(x)解：是 R 上的增函数，1a21a211f(1)(a a)x 22a2a，故选 A又，f(x)bx2 3x，若方程f(x)2x有两个相等的实根，则函数已知函数f(x)的解析式为解：则f(x)bxbx

21、2x2 3x，方程f(x)2x即为2 3x，6x2(4 b)x 0因为方程有两个相等的实数根，所以 b=4 时 x=0，符合题意f(x)4x3x 2maxa,b对 a，bR，记a,ab,b,ab.函数f(x)maxx1,3x（xR）的最小值是x1,x1 3 x,x 1,x 1,f(x)maxx1,3 xf(x)3 x,x1 3 x.化简得：3 x,x 1.解：在坐标系中作出f(x)的图象，可知：当x 1，时f(x)为增函数，f(x)min f(1)2；当x 1，时f(x)为减函数。f(x)f(1)2。综上，f(x)min f(1)2对定义域是Df，Dg的函数y f(x)，y g(x)，规定：函

22、数f(x)g(x),当xDf且xDg,h(x)f(x),当xDf且xDg,g(x),当xD 且xD.fgf(x)（）若函数12x 1，g(x)x，写出函数h(x)的解析式；（）求问题（1）中函数h(x)的值域；（）若g(x)f(x)，其中是常数，且0,，请设计一个定义域为R 的函数y f(x)，及一个的值，使得h(x)cos4x，并予以证明 x2h(x)x1,x(,1)(1,),1,x1 .解：()1x2()当x1 时,h(x)=x 1=（x1）+x1+2 若x1 时,则h(x)4，其中等号当x 2时成立；若x1 时，则h(x)0，其中等号当x=0 时成立所以函数h(x)的值域是(，014，+

23、)()令f(x)sin 2x cos2x，4，g(x)f(xa)sin2(x)cos2(x)44则=cos2x sin2x，h(x)f(x)f(x a)(sin2x cos2x)(cos2x sin2x)cos4x设f(x)3ax22bxc，若a b c 0，f(0)f(1)0，求证：2 b 1a；（）方程f(x)0有实根，且32 x x12x,x3；（）设12是方程f(x)0的两个实根，则3（）方程f(x)0在（0，1）内有两个实根2解：（）若a 0，则b c，f(0)f(1)c(3a 2b c)c 0，与已知矛盾，a 0方22 4(b 3ac),由 条 件a b c 0，消 去 b，得3a

24、x 2bxc程=0 的 判 别 式13 4(a2c2ac)4(ac)2c2 024，故方程f(x)0有实根由f(0)f(1)0，得c(3a 2b c)0，由条件a b c 0消去c，得(a b)(2a b)0，故（）由条件知x1 x2 2 b 1a2bca bx1 x2 223a，3a3a，(x1 x2)(x1 x2)4x1x24 b321b1432()2 1(x1 x2)2 x1 x29 a23。a9，故33，所以3b3ac b2,),2f(x)3ax 2bx c3a3a（）抛物线的顶点坐标为（2 bb121 1a的 两 边 乘 以3，得33a0，f(1)0，而在a2c2acbbb 00,)

25、与,1)f(x)03a3a3a3af()=，所以方程在区间（内分别有一实根 故方程f(x)0在(0,1)内有两个实根第 5 讲导数的概念与应用一、高考要求了解导数的实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念；熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值二、两点解读重点:利用导数求切线的斜率；利用导数判断函数

26、单调性或求单调区间；利用导数求极值或最值；利用导数求实际问题最优解难点：理解导数值为零与极值点的关系；导数的综合应用三、课前训练2/f(x)x bx cf1若函数的图象的顶点在第四象限，则函数(x)的图象是（A）yyyyxxxOOO（B）（A）（C）O（D）x322函数f(x)x ax 3x 9，已知f(x)在x 3时取得极值，则a=（D）（A）2（B）3（C）4（D）5a 133若函数 f（x）=ax3x2+x5 在 R 上单调递增，则 a 的范围是34与函数y x 2x 1的图象相切，切线斜率为1 的切点是(1,0),(1,2)四、典型例题例 1 函数f(x)x33x1在闭区间-3，0上的

27、最大值、最小值分别是（）（B）1，-17（D）9，-19（A）1，-1（C）3，-173/2/解：由f(x)x 3x1得f(x)3x3，令f(x)0得x1 1,x21，令f(x)0得x 1f/(x)0 x 1或，令可得1 x 1，考虑到x3,0，所以f(x)的增区间是3,1，减区间为1,0，又f(3)17，f(1)3，f(0)1，所以最大值、最小值分别为3，17故选 C例 2 设函数f(x)在定义域内可导，y f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f(x)可能为（）yyyyOyxOxOxOxOx（A）（B）（C）（D）解：由f(x)图象知，当x 0时，f(x)为增，所以这时导数为正，可排除选项

28、 A、C；又当x 0时，f(x)存在减区间，所以导数存在负值，于是可排除选项 B，选D例 3如右下图,函数y f(x)的图象在点P 处的切线方程是yy 2x 9y f(x)PO4xy 2x 9，则f(4)f/(4)的值为解：从图中可见，P 点是直线y 2x 9和曲线y f(x)的公共点，所以由 P 点的纵坐标y0 249 1，可得f(4)1；又 P 点处 切线 的斜率 为2，即f/(4)2，故f(4)f/(4)1 2 13y x x 1在点(1,3)处的切线方程是；例 4（）曲线（）已 知 函 数f(x)x33x，过 点P(2,6)作 曲 线y f(x)的 切 线 的 方程/2k y/y 3x

29、 1k解：（）设切线的斜率为，因为，故x1 31 4所以所求的切线的点斜式方程为：y 3 4(x 1)，化简得：4x y 1 0；y063x23xx0 x02x033x06 3x023x02/2（）f(x)3x3，设切点为Q(x0,y0)，则：/，即：，k f(x0)k 324解得：x0 0或x0 3，由得或，得：y 3x或y 24x 54例 5已知函数f(x)x3 ax 1（）若f(x)在实数集 R 上单调递增，求a的范围；（）是否存在实数a使f(x)在(1,1)上单调递减若存在求出a的范围，若不存在说明理由解：f/(x)3x2 a2（）若f(x)在实数集 R 上单调递增，则3x a 0恒成

30、立，即a 0（）/f(1)0 a 3/f(1)0f/(x)3x2 a(1,1)在上小于等于零即：4f(x)x3mx2(m)x63函数在 R 上有极值，求m取值范围44f(x)x3mx2(m)x6f/(x)3x2 2mx m f/(x)033解：对函数求导得：，令，43x2 2mx m 023即得方程：，此方程的判别式：4m 12m 16若0，显然/f方程(x)0无解，函数f(x)无极值；若 0，则方程有两个相等实根x0，这时f/(x)3(x x0)2，所以在x0两侧f/(x)均大于零，因此f(x0)不是函数f(x)的极值；/ff(x)0 x,x(x x)01212当时，方程有两个不等的实根且(

31、x)的符号如下表：x(,x1)+x10(x1,x2)x20(x2,)+f/(x)因此函数在x1处取得极大值，在x2处取得极小值综上所述，函数f(x)当且仅当 0时2有极值，由4m 12m16 0得m 1或m 4第 6 讲等差数列和等比数列一、高考要求理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题；理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题二、两点解读重点：等差数列的概念及其通项公式与前n 项和公式；等比数

32、列的概念及其等比数列通项公式与前 n 项和公式；等差数列和等比数列的性质；等差数列、等比数列的综合及其应用难点：等差数列和等比数列的性质；等差数列、等比数列的综合及其应用三、课前训练1已知an是首项a11，公差d 3的等差数列，如果an 2008，则序号n等于（D）（A）667（B）668（C）669（D）6702等差数列an中,a10 30,a20 50，则通项an2n10，前 11 项和为 242.3数列an中，a1 2，a71，又数列1an17为等差数列，则a1111n4设数列an的前n项和Sn 3 c，且数列an是一个等比数列,则c=1四、典型例题已知数列anan的前n项和Sn aqn

33、1(a 0,q 1,q为非零常数），则数列为（）（A）等差数列（B）等比数列（C）既不是等差数列，又不是等比数列（D）既是等差数列又是等比数列解：当n 1时，a1 S1 a，当n 2时，an Sn Sn1 aqn1(q 1)，an1 aqn(q 1)，an1 q(n 2)an为常数,但a2 q 1 qa1，数列an从第二项起为等比数列，故选C若an是等差数列，首项a1 0，a2007a2008 0，a2007a2008 0，则使数列an的前 n 项和Sn为正数的最大自然数 n 是（）（A）4013（B）4014（C）4015（D）4016解：由条件可知：a2007 0，a2008 0考虑a20

34、07 a2008 0及等差数列性质知S40144014(a1 a4014)4014(a2007 a2008)0S 022，即4014；S40154015(a1 a4015)a20084015 02，即考 虑a2008 0及 等 差 数 列 性 质 知S4015 0，故选 B设等差数列an的前 n 项和为Sn，已知S6 36，Sn 324，若Sn6144(n 6)，则 n 的值为解：由条件知an an1 an2 an3 an4 an5=Sn Sn6 324144 180，又a1 a2 a3 a4 a5 a6 S6 36，an a1 an5 a6，Snn(an a1)n36 32422，n=186

35、(an a1)36180 216，an a1 36，已知函数f(x)定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f(x 2)2 f(x 1)f(x)，且f(1)2,f(3)6，则f(2007)*f(x)(x N)当x从小到大依次取值时对应的f(x 2)f(x)2 f(x 1)解：由知函数一系列函数值组成一个等差数列，f(1),f(3),f(2005)形成一个首项为2，公差为4的等差数列，所以f(2007)2(10041)4 4014设数列an、bn满足：bna1 a2 a3 ann(nN*)（）若bn n2，求数列an的通项公式；（）若bn是等差数列，求证an也是等差数列解：设an的前n项和为

36、SnbnSn n2(n N*)S n(n2)nn，即，（）由题意：*当nN,n 2时，有Sn1(n1)(n1)，由两式相减可得：an 2n1，当n 1时，a1 S1 3，也可用an 2n1表示，所以对任意的nN*都有：an 2n1（）若bn是等差数列，设首项为b1，公差为d，由Sn b1(n1)dn，于是Sn nb1n(n1)d，bnSnn可得*当nN,n 2时，有Sn1(n1)b1(n1)(n2)d，由 两 式 相 减 可 得：an b1(n1)2d，当n 1时，a1 S1 b1，也可用an b1(n1)2d表示，所以对任意的*nN*都有：an b1(n1)2d，而anan1 2d（nN,n

37、 2），由等差数列的定义知：an也是等差数列设数列an的首项a1 a 14,且an11a,n为偶数,2na 1,n为奇数.n41bn a2n1,n 1,2,3,.4记（）求a2，a3；（）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论解：（）a2 a111111 a a3a2a 44，228；11311311a a5a4a b1 a1 a 044428，所 以2416 所 以，（）因 为b2 a3a4 a31111111(a)b3 a5(a)424，444猜想，bn是公比为2的等比数列111111111a2n(a2n1)(a2n1)bn,(n N*)424244242所以bn是首项为证明如下：因为

38、a bn1 a2n1114，公比为2的等比数列第 7 讲数列的通项和求和一、高考要求数列的通项和求和是一节综合性内容，在高考卷中有小题也有大题，其中大题有简单的数列求通项或求和题，也有复杂的数列和不等式、数列和函数、数列和方程等的综合题数列的通项和求和是高考对数列考查的主要着力点之一二、两点解读重点：等差、等比数列的通项和求和公式；利用相关数列Sn和an的关系求数列的通项公式；数列求和的几种常用方法；数列与不等式或函数等结合的综合题难点：利用递推关系求数列的通项公式；数列与不等式或函数等结合的综合题三、课前训练1111n(n1)的结果是1化简122334（D）2nnn2n（A）n1（B）n1（

39、C）2n1（D）2n1an2.若数列an的通项公式为1n n1，求其前 n 项和 Snn1111113,5,7,93已知数列an的前四项分别为：481632，试写出数列an的一个通项公式1an 2n1n12四、典型例题例 1在等比数列an中，a1 2，前n项和为Sn若数列an1也是等比数列，则Sn等于（A）2n1（）n2（B）3n（C）2n（D）3 1解：an是等比数列，设公比为 q，an1是等比数列，an112qn1an12qn112qn1 k是一常数，设为k，则2qn11对任意的正整数n都成立，可解得：k 1，q=1，Sn na1 2n，故选 C例 2设f(x)(x1)31，利用课本中推导

40、等差数列的前n项和的公式的方法，可求得f(4)f(0)f(5)f(6)的值为：解：课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法即为“倒序相加法”令f(4)f(3)f(0)f(5)f(6)S则也有f(6)f(5)f(0)f(3)f(4)S33f(x)f(2x)(x1)1(1x)1 2由可得：f(4)f(6)f(3)f(5)2，于是由两式相加得2S 112，所以S 111n(n1)(2n1)6，则已知122232n2数列12,23,34,n(n1)的前 n 项和为：an n(n1)n2 n12,23,34,n(n1)解：数列的通项为：所以：Sn a1a2an(1222n2)(12n)n(n1)(n2)

41、11n(n1)(2n1)n(n1)623ny x(1 x)在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为an，则数例 4对正整数 n，设曲线nan列n1的前 n 项和的公式是解：y xn xn1，k yx2 n2n1(2n 2)2n1(n 2)2n1，切点为(2,2n)，切线方程点斜式为：令bny 2n(n2)2n1(x2)an(n1)2nx 0，令得，nannn1，则bn n2，令Sn b1b2bn，n1由错位相减法可得：Sn 2(n1)2例 5设数列解：Sn=an的前 n 项和Sn=4an12n2，求an.4 an12n2，得Sn1=4 an1112n1，1n1n2anan1aSS2）n1n1

42、n2=+（11annn1n1naan1=2+2，两边同乘以2，得2an1=2n+2，n2 an是首项为 1 公差为 2 的等差数列，nan1a2n=2+(n 1)2=2n，解得：n=2例 6已知二次函数y f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x 2，数列an的前nn项和为Sn，点(n,Sn)(nN*)均在函数y f(x)的图像上（）求数列an的通项公式；bn3mTnanan1，Tn是数列bn的前n项和，求使得20对所有 nN*都成立的最小（）设正整数m；2解：（）依题设f(x)ax bx(a 0)，由f(x)2ax b又由f(x)6x 2得a 3,b 2,2f(x)3x2 2x，所

43、以Sn 3n 2n，22当n 2时an Sn Sn1(3n 2n)3(n 1)2(n 1)6n 5，2*当n 1时，a1 S1 31 211 615也符合，an 6n 5(n N)（）由（）得nbn33111()anan1(6n 5)6(n 1)52 6n 56n 1，Tnb 2(17)(713)(6n 56n 1)2(16n 1)ii111111111，11m11m(1)(n N*)(1)max6n 1206n 120，要使2恒成立，只要21111m(1)6n 12，只要220，即m 10，m的最小整数为 10又2第 8 讲递推数列一、高考要求理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公

44、式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；并能解决简单的实际问题特别值得一提的是近年高考试卷对数列要求较高，已超出了考纲要求二、两点解读重点：求递推数列的通项公式递推数列的求和；函数与数列综合；数列与不等式结合；数列与对数的综合难点：数阵数表类递推问题；数列推理问题，常作为高考压轴题三、课前训练1若满足a1 2，4（A）3（B）12 若数列an满足：ann(n 2)an1n 11an，则a4=4（C）5（C）2（D）3an11a且a1 2，则2008（C）1（D）2（A）-1（B）1（C）23定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列

45、叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 已知数列an是等和数列，且a1 2，公和为 5，那么a18的值为3，这个数列的前 n 项和Sn的计算公式为当 n 为偶数时Sn551nSnn n12；当 n 为奇数时，224 已知数列an满足a11，an 3 an1(n 2)，则通项公式an四、典型例题例 1.在数列an3n12n*a a 1(1)(n N)Sa 1a 2n2n中，1，2且，则100(C)51（A）150（B）5050（C）2600（D）248aan2an1(1)n 0n解：当为奇数时，即1 a3 a991，a,a,a,a100an2an1(1)n 2n当为偶数时，即246成以 2 为首

46、项，2 为公差的等差数。所以S100 50502an50(501)2 26002，故选 C例 2.已知数列a a1 2a2 3a3(n 1)an1满足a11，n，的通项则n 2时，数列anan（）n!(n1)!（A）2（B）2（C）n!（D）(n1)!解：在an a1 2a2 3a3(n 1)an1an1 n1an两边都加上nan，则有：nanan an1，即（*），当n 2时，由an a12a23a3(n1)an1得a2 a11，由（*）取 2，3，n 累乘an 345na2ann!2可得：，即f(n1)例 3.已知f(n)1f(n)1(nN*)，f(1)2，则f(2007)_f(n 1)1

47、1f(n)1f(n 1)11f(n 1)1f(n)1f(n 1)1f(n 1)1f(n 2),f(n 1)1f(n)解：，f(n 4)1 f(n),f(n 2)即f(n)是以周期为 4 的数列，11 f(1)2f(2007)f(20043)f(3)所以例 4.在数列an中，a1 3，且对任意大于1 的正整数n，点(an,an1)在直线x y 3 0上，则an=_解：点(an,an1)aan13a3在直线x y 3 0，即n，又1，所以ana3(n1)3是以3为首项，3为公差的等差数列，故n，2即an 3n例 5.数列an的前 n 项和记为 Sn，已知a11,an1n 2Sn(n 1,2,3).

48、nSn证明：（）数列n是等比数列；（）Sn1 4ann2an1 Sn1Sn,an1Snn解：（），(n 2)Sn n(Sn1 Sn),Sn1SS 2nnn.故n是以 2 为公比的等比数列；整理得nSn1 2(n1)Sn，所以n1Sn1SS 4n1(n 2)Sn1 4(n1)n1 4an(n 2)n1n1（）由（）知n1，于是，又a2 3S1 3，故S2 a1a2 4，因此对于任意正整数n 1，都有Sn1 4an第 9 讲数列的综合应用一、高考要求高考对数列的考查比较全面，重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式、等差（比）中项及等差和等比性质的灵活运用；在能力要求上，主要考查学生

49、的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿二、两点解读重点：等差和等比数列基本概念和公式的应用；难点：由递推公式求通项以及数列与不等式等知识的综合问题三、课前训练log1an3(D)1如果等比数列an的首项为正数，公比大于1，那么数列（A）是递增的等比数列（B）是递减的等比数列（C）是递增的等差数列（D）是递减的等差数列12在ABC 中，tanA 是以 4 为第三项，4 为第七项的等差数列的公差，tanB 是以3为第三项，9 为第六项的等比数列的公比则这个三角形是（B）（A）钝角三角形（B）锐角三角形（C）等腰直角三角形（D）非等腰

50、直角三角形*a 1,a 2a,n Na a2 an2n1 an1n3若数列n满足：1，则14 莱因德纸草书(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一 书中有一道这样1的题目:把 100 个面包分给 5 个人,使每个所得成等差数列,且使最大的三份之和的7是较5小的两份之和,则最小 1 份的量为3四、典型例题S 4n an1an2 an1 0(n 2)a n例 1.在各项均不为零的等差数列中，若，则2n1（）（A）2（）0（）1（）22解：由an是等差数列，当n 2时，an1an1 2an，又an1anan1 0，故可解得：an 2，又S2n14n(a1a2n1)(2n1)2a(2n