高中数学经典例题100道.pdf

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1、高高 中中 数数 学学 经经 典典 例例 题题 1 1 0 0 0 0 道道(共共 4 4 4 4 页页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-例例 1 1 判定以下关系是否正确(1)a a(2)1，2，33，2，10(3)(4)00(5)0(6)0分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的说明：含元素 0 的集合非空例例 2 2 列举集合1，2，3的所有子集分析 子集中分别含 1，2，3 三个元素中的 0 个，1 个，2 个或者 3个解 含有0个元素的子集有：；含有 1 个元素

2、的子集有1，2，3；含有 2 个元素的子集有1，2，1，3，2，3；含有 3 个元素的子集有1，2，3共有子集 8 个说明：对于集合A，我们把和A叫做它的平凡子集例3 已知a，b Aa，b，c，d，则满足条件集合A的个数为_分析 A 中必含有元素 a，b，又 A 是a，b，c，d真子集，所以满足条件的 A 有：a，b，a，b，ca，b，d答 共 3 个说明：必须考虑 A 中元素受到的所有约束U，且N M，则例4 设U为全集，集合M、N 分析 作出 4 图形答 选 C说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便-2-点击思维点击思维例例 5 5 设集合 Ax|x54aa2，aR，By|y4b24

3、b2，bR，则下列关系式中正确的是 AABBA BCABDAB分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x54aa2(2a)211，y4b24b2(2b1)211，所以它们的值域是相同的，因此 AB答 选 A说明：要注意集合中谁是元素M 与 P 的关系是 AMBMPUPDM P分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：MUNU(UP)P；三是利用画图的方法CMP答 选 B说明：一题多解可以锻炼发散思维例例 7 7 下列命题中正确的是-3-AU(UA)AB若ABB，则A BC若A1，2，则2AD若A1，2，3，Bx|x A，则AB分析 D选择项中 AB

4、似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支D选择支中，B中的元素，x A，即x是集合A的子集，而A的子集有，1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，而B是由这所有子集组成的集合，集合 A是其中的一个元素AB答 选 D说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意例例 8 8 已知集合 A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合 C 是这样一个集合：其各元素都加 2 后，就变为 A的一个子集；若各元素都减 2 后，则变为 B的一个子集，求集合 C分析 逆向操作：A中元素减 2 得 0，2，4，6，7，则 C 中元素必在其中；B中元素加 2 得 3，4，5，7，10，

5、则 C 中元素必在其中；所以 C中元素只能是 4 或 7答 C4或7或4，7说明：逆向思维能力在解题中起重要作用例例 9 9 设 S1，2，3，4，且 MxS|x25xp0，若1，4，则 p_SM-4-分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于SM1，4，S，且MM2，3则由韦达定理可解答 p236说明：集合问题常常与方程问题相结合例例 1010 已知集合 S2，3，a22a3，A|a1|，2，3，求 a的值S 这个集合是集合 A与集合SA的元素合在一起“补成”的，此外，对SAa这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用解 由补集概念及集合中元素互异性知 a应满足a33

6、2|a1|a 2a3(1)2a 2a32a22a33a3a22a3|a1|3或(2)2a 2a32a22a33在(1)中，由得 a0 依次代入检验，不合，故舍去在(2)中，由得 a3，a2，分别代入检验，a3不合，故舍去，a2能满足故 a2符合题意说明：分类要做到不重不漏-5-例11 (1993年北京高考题)集合Mx|xkx|x，kZ则42k，kZ，N24 AMNNBMCMNDM 与 N没有相同元素分析 分别令 k，1，0，1，2，3，得357M，4444435N，4244易见，MN答 选 C说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性-6-典型例题一典型例题一例例 1 1 下列

7、图形中，满足唯一性的是（）A过直线外一点作与该直线垂直的直线B过直线外一点与该直线平行的平面C过平面外一点与平面平行的直线D过一点作已知平面的垂线分析：分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键要注意空间垂直并非一定相关解：解：A过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面B过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行C过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条D过一点作已

8、知平面的垂线是有且仅有一条假设空间点A、平面，过点A有两条直线AB、AC都垂直于，由于AB、AC为相交直线，不妨设AB、AC所确定的平面为，与的交线为l，则必有AB l，AC l，又由于AB、AC、l都在平面内，这样在内经过A点就有两条直线和直线l垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾故选 D-7-说明：说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到典型例题二典型例题二例例 2 2 已知下列命题：（

9、1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直上述命题正确的是（）A（1）、（2）B（2）、（3）C（3）、（4）D（2）、（4）分析：分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形解：解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能

10、用三垂线逆定理来判断垂直关系；-8-（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性故选 D说明：说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直如在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1和BB1上的点，G为棱BC上的点，且EF BB1，FC1 EG，求D1FG典型例题三典型例题三例例 3 3 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是BB

11、1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE 平面ACD1分析：分析：本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明OE 平面ACD1，只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直证明：证明：连结B1D、A1D、BD，在B1BD中，E、O分别是B1B和DB的中点，EO/B1DB1A1面AA1D1D，DA1为DB1在面AA1D1D内的射影又AD1 A1D，-9-AD1 DB1同理可证，B1D D1C又AD1CD1 D1，AD1、D1C 面ACD1，B1D 平面ACD1B1D/EO，EO 平面ACD1另证：连结AE、CE，D1O，设正方体DB1的棱长为a，易证AE CE又AO

12、OC，OE AC在正方体DB1中易求出：26D1O DD12 DO2a2aa，2223a22OE BE OB aa222，D1E D1B12 B1E2222 3 a2a a2222D1O2OE2 D1E2，D1O OED1O AC O，D1O、AC 平面ACD1，OE 平面ACD1说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用-10-典型例题四典型例题四例例 4 4 如图，在ABC中，B 90，SA 平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为M、N，求证：

13、MN SC分析：分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想欲证SC MN，可证SC 面AMN，为此须证SC AN，进而可转化为证明AN 平面SBC，而已知AN SB，所以只要证AN BC即可由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直证明：证明：SA 面ABC，BC 平面ABC，SA BCB 90，即AB BC，BASA A，BC 平面SABAN 平面SABBC AN又AN SB，SBBC B，AN 平面SBCSC 平面SBC，AN SC，又AM SC，AM AN A，-11-SC 平面AMNMN 平面AMNSC M

14、N另证：由上面可证AN 平面SBCMN为AM在平面SBC内的射影AM SC，MN SC说明：说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的本题若改为下题，想想如何证：已知SA O所在平面，AB为O的直径，C为O上任意一点（C与A、B不重合）过点A作SB的垂面交SB、SC于点M、N，求证：AN SC典型例题五典型例题五例例 5 5 如图，AB为平面的斜线，B为斜足，AH垂直平面于H点，BC为平面内的直线，ABH，HBC，ABC，求证：cos coscos分析：分析：本题考查的是线面角的定

15、义和计算要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理证明：证明：过H点作HD垂直BC于D点，连AD-12-AH，AD在平面内射影为HDBC HD，BC，BC ADBHBABD在RtBHD中有：cosBHBD在RtABD中有：cosBA在RtABH中有：cos由、可得：cos coscos说明：说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角若平面的斜线与平面所成角为，则斜线与平面内其它直线所成角的范围为，2典型例题六典型例题六例例 6 6 如图，已知正

16、方形ABCD边长为 4，CG 平面ABCD，CG 2，E、F分别是AB、AD中点，求点B到平面GEF的距离分析：分析：此题是 1991 年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离为此要寻找过点B与平面GEF平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等-13-证明：证明：连结BD、AC，EF和BD分别交AC于H、O，连GH，作OK GH于KABCD为正方形，E、F分别为AB、AD的中点，EF/BD，H为AO中点BD/EF，BD 平面GFE，BD/平面GFEBD与平面

17、GFE的距离就是O点到平面EFG的距离BD AC，EF ACGC 面ABCD，GC EFGC AC C，EF 平面GCHOK 平面GCH，EF OK又OK GH，GH EF H，OK 平面GEF即OK长就是点B到平面GEF的距离正方形边长为 4，CG 2，AC 4 2，HO 2，HC 3 2在RtHCG中，HG HC2CG222在RtGCH中，OK HOGC2 11HG11说明：说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长用此法的关键在于准确找到垂足位置如本题可用下-14-列证法：延长CB交FE的延长线于M，连结GM，作BP ME于P，作BN/CG交MG

18、于N，连结PN，再作BH PN于H，可得BH 平面GFE，BH长即为B点到平面EFG的距离二是转移法将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离三是体积法已知棱锥的体积和底面的面积求顶点到底面的距离，可逆用体积公式典型例题七典型例题七例例 7 7如图所示，直角ABC所在平面外一点S，且SA SB SC(1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD面ABC；(2)若直角边BA BC，求证：BD 面SAC分析：分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直证明：证明：(1)在等腰SAC中，D为AC中点，SD AC取AB中点E，连DE、SEED/BC，BC AB，DE AB又SE AB，AB

19、面SED，AB SDSD面ABC（AB、AC是面ABC内两相交直线）(2)BA BC，BD AC又SD面ABC，SD BD-15-SDAC D，BD 面SAC说明：说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等典型例题八典型例题八例例 8 8如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知：已知：a/b，a 求证：b 分析：分析：由线面垂直的判定定理知，只需在内找到两条相交直线与b垂直即可证明：证明：如图所示，在平面内作两条相交直线m、na，a m，a n又b/a，从

20、而有b m，b n由作图知m、n为内两条相交直线b 说明：说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直典型例题九典型例题九-16-例例 9 9如图所示，已知平面平面=EF，A为、外一点，AB 于B，AC 于C，CD 于D证明：BD EF分析：分析：先证A、B、C、D四点共面，再证明EF 平面ABCD，从而得到BD EF证明：证明：AB，CD，AB/CDA、B、C、D四点共面AB，AC，EF，AB EF，AC EF又AB AC A，EF 平面ABCDEF BD说明：说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，

21、线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直本题证明“A、B、C、D四点共面”非常重要，仅由EF 平面ABC，就断定EF BD，则证明是无效的典型例题十典型例题十例例 1010平面内有一半圆，直径AB，过A作SA平面，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影(1)求证：NH SB；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？-17-(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断(1)(1)证明：证明：连AM、BM如上图所示，AB为

22、已知圆的直径，AM BMSA平面，BM，SA MBAM SA A，BM 平面SAMAN平面SAM，BM ANAN SM于N，BM SM M，AN平面SMBAH SB于H，且NH是AH在平面SMB的射影，NH SB解解(2)(2)：由(1)知，SA平面AMB，BM 平面SAM，AN平面SMBSB AH且SB HN，SB平面ANH，图中共有 4 个线面垂直关系(3)SA平面AMB，SAB、SAM均为直角三角形BM 平面SAM，BAM、BMS均为直角三角形AN平面SMB，ANS、ANM、ANH均为直角三角形SB平面ANH，SHA、BHA、SHN、BHN均为直角三角形综上，图中共有 11个直角三角形(

23、4)由SA平面AMB知，SA AM，SA AB，SA BM-18-由BM 平面SAM知，BM AM，BM SM，BM AN由AN平面SMB知，AN SM，AN SB，AN NH由SB平面ANH知，SB AH，SB HN综上，图中共有 11对互相垂直的直线说明：说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线面”可得到“线面内线”，当“线面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线典型例题十一典型例题十一例例 1111如图所示，BAC 90在平面内，PA是的斜线，PAB PAC 60求PA与平面所成的角分析：分析：求PA与平面

24、所成角，关键是确定PA在平面上射影AO的位置由PAB PAC，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO位置，构造直角三角形则需用三垂线定理解：解：如图所示，过P作PO 于O连结AO，则AO为AP在面上的射影，PAO为PA与平面所成的角作OM AC，由三重线定理可得PM AC作ON AB，同理可得PN AB由PAB PAC，PMA PNA90，PA PA，可得PMAPNA，PM PN-19-OM、ON分别为PM、PN在内射影，OM ON所以点O在BAC的平分线上设PA a，又PAM 60，AM AO 2AM 2a2AO2，PA21a，OAM 45，2在POA中，cosPAO PAO 4

25、5，即PA与所成角为45说明：说明：(1)本题在得出PA在面上的射影为BAC的平分线后，可由公式cos coscos来计算PA与平面所成的角，此时PAC 60，PAO，CAO 45(2)由PA与平面上射影为BAC平分线还可推出下面结论：四面体P ABC中，若PAB PAC，PBA PBC，则点A在面ABC上的射影为ABC的内心典型例题十二典型例题十二例例 1212如图所示，在平面内有ABC，在平面外有点S，斜线SA AC，SB BC，且斜线SA、SB分别与平面所成的角相等，设点S与平面的距离为4cm，AC BC，且AB 6cm求点S与直线AB的距离-20-分析：分析：由点S向平面引垂线，考查垂

26、足D的位置，连DB、DA，推得DA AC，DB BC，又ACB 90，故A、B、C、D为矩形的四个顶点解：解：作SD平面，垂足为D，连DA、DBSA AC，DB BC，由三垂线定理的逆定理，有：DA AC，DB BC，又AC BC，ACBD为矩形又SA SB，DA DB，ACBD为正方形，AB、CD互相垂直平分设O为AB、CD的交点，连结SO，根据三垂线定理，有SO AB，则SO为S到AB的距离在RtSOD中，SD 4cm，DO SO 5cm因此，点S到AB的距离为5cm说明：说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求(

27、2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算1AB 3cm，2典型例题十三典型例题十三-21-例例 1313如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD分别于点E、F、G，求证：AE SB，AG SD分析：分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可欲证AE SB，可证A

28、E 平面SBC，为此须证AE BC、AE SC，进而转化证明BC 平面SAB、SC 平面AEFG证明：证明：SA平面ABCD，BC 平面ABCD，SA BC又ABCD为正方形，BC ABBC 平面ASBAE 平面ASB，BC AE又SC 平面AEFG，SC AEAE 平面SBC又SB 平面SBC，AE SB，同理可证AG SD-22-说明：说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性典型例题十四典

29、型例题十四例例 1414如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上已知：已知：BAC在平面内，点P，PE AB，PF AC，PO，垂足分别是E、F、O，PE PF求证：BAO CAO证明：证明：PO，OE为PE在内的射影AB PE，AB 平面，AB OE同理可证：AC OF又PO，PE PF，OE OF，BAO CAO说明：说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线由此结论和上一个例题很容易-23-求解下

30、面这道题：已知ACB 90，S为平面ACB外一点，SCA SCB 60，求SC与平面ACB所成角典型例题十五典型例题十五例例 1515判断题：正确的在括号内打“”号，不正确的打“”号(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行（）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直（）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边（）(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于的平面内（）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面（）解：解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行异面，因此应打“”

31、号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系若为平行，则该命题应打“”号；若为相交，则该命题应打“”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“”号(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，该命题应打“”(4)前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线-24-a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，该命题应打“”号(5)三条共点直线两两垂直，设为a，b，

32、c且a，b，c共点于O，a b，a c，bc 0，且b，c确定一平面，设为，则a，同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由了确定的平面，该命题应打“”号说明：说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用典型例题十六典型例题十六例例 1616如图，已知空间四边形ABCD的边BC AC，AD BD，引BE CD，E为垂足，作AH BE于H，求证：AH 平面BCD分析：分析：若证AH 平面BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可证明：证明：取AB中点F，连CF、DF，AC

33、 BC，CF AB又AD BD，DF AB，AB 平面CDF，又CD 平面CDF，CD AB-25-又CD BE，CD 平面ABE，CD AH，又AH BE，AH 平面BCD典型例题十七典型例题十七例例 1717如果平面与外一条直线a都垂直b，那么a/已知：已知：直线a，a 直线b，b 求证：a/分析：分析：若证线面平行，只须设法在平面内找到一条直线a，使得a/a，由线面平行判定定理得证证明：证明：(1)如图，若a与b相交，则由a、b确定平面，设 ab b aa/aa b a 又a a/a,b,aa(2)如图，若a与b不相交，则在a上任取一点A，过A作b/b，a、b确定平面，设 ab/bbb

34、b a又aa/ab/b又a a/b ab aa 又b,a,a-26-典型例题十八典型例题十八例例 1818如图，已知在ABC中，BAC 60，线段AD 平面ABC，AH 平面DBC，H为垂足求证：H不可能是DBC的垂心分析：分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明证明：证明：如图所示，假设H是DBC的垂心，则BH DCAH 平面DBC，DC AH，DC 平面ABH，AB DC又DA 平面ABC，AB DA，AB 平面DAC，AB AC，这与已知BAC 60矛盾，假设不成立，故H不可能是DBC的垂心说明：说明：本题只要满足BAC 90，此题的结论总成立不妨给予证明典型例题十九典型例题十九例例

35、 1919在空间，下列哪些命题是正确的（）平行于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一个平面的两条直线互相平行-27-垂直于不一个平面的两条直线互相平行A仅不正确B仅、正确C仅正确D四个命题都正确分析：分析：该命题就是平行公理，即课本中的公理 4，因此该命题是正确的；如图，直线a平面，b，c，且bc A，则a b，a c，即平面内两条直交直线b，c都垂直于同一条直线a，但b，c的位置关系并不是平行另外，b，c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面外，此时与a的位置关系仍是垂直，但此时，b，c的位置关系是异面如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，易

36、知A1B1/平面ABCD，A1D1/平面ABCD，但A1B1 A1D1 A1，因此该命题是错误的该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的综上可知、正确应选 B典型例题二十典型例题二十例例 2020设a，b为异面直线，AB为它们的公垂线(1)若a，b都平行于平面，则AB；(2)若a，b分别垂直于平面、，且 c，则AB/c-28-分析：分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明AB；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB/c图图证明：证明：(1)如图 1，在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为ba/，b

37、/，a/a，b/b又AB a，AB b，AB a，AB b，AB(2)如图 2，过B作BB，则BB/a，则AB BB又AB b，AB垂直于由b和BB确定的平面b，b c，BB，BB cc也垂直于由BB和b确定的平面故c/AB说明：说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直如题中，通过作出辅助线BB，构造出平面，即由相交直线b与BB确定的平面然后借助于题目中的其他垂直关系证得-29-典型例题二十一典型例题二十一例例 2121如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，EF为异面直线A1D与AC的公垂线，求证：EF/BD1分析：

38、分析：证明EF/BD1，构造与EF、BD1都垂直的平面是关键由于EF是AC和A1D的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用证明：证明：连结A1C1，由于AC/A1C1，EF AC，EF A1C1又EF A1D，A1D A1C1 A1，EF 平面A1C1DBB1 平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，BB1 A1C1四边形A1B1C1D1为正方形，A1C1 B1D1，B1D1 BB1 B1，A1C1 平面BB1D1D，而BD1 平面BB1D1D，A1C1 BD1同理DC1 BD1，DC1 A1C1 C1，BD1 平面A1C1D由、可知：EF/BD1典型例题二十二典型例题二十二-3

39、0-例例 2222如图，已知P为ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，PA PB PC a，求P点到平面ABC的距离分析：分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长解：解：过P作PO 平面ABC于O点，连AO、BO、CO，PO AO，PO BO，PO COPA PB PC a，PAOPBOPCO，OAOB OC，O为ABC的外心PA、PB、PC两两垂直，AB BC CA 2a，ABC为正三角形，AO 363AB a，PO PA2 AO2a3333a3因此点P到平面ABC的距离说明：说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一

40、个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离-31-(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结典型例题二十三典型例题二十三例例 2323如图，已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，棱AA1 5，AB 12，求直线B1C1和平面A1BCD1的距离分析：分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解解：解：如

41、图，B1C1/BC，且B1C1 平面A1BCD1，BC 平面A1BCD1，B1C1/平面A1BCD1从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求过点B1作B1E A1B于E，BC 平面A1ABB1，且B1E 平面AA1B1B，BC B1E又BCA1B B，B1E 平面A1BCD1即线段B1E的长即为所求，-32-在RtA1B1B中，B1E A1B1BB151260，22A1B135 12直线B1C1到平面A1BCD1的距离为6013说明：说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求

42、解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解典型例题二十四典型例题二十四例例 2424AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为30，AD 8cm，AB BC，DC BC求线段BC的长分析：分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线AD、BC所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出BC之长解：解：如图，在平面内，过A作AE/BC，过C作CE/AB，两线交于EAE/BC，DAE就是AD、BC所成的角，DAE 30AB BC，四边形ABCE是矩形连DE，BC CD，BC CE，且CDC

43、E C，-33-BC 平面CDEAE/BC，AE 平面CDEDE 平面CDE，AE DE在RtAED中，得AE 4 3，BC AE 4 3(cm)说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段-34-典型例题一典型例题一例例 1 1 解不等式：（1）2x3 x215x 0；（2）(x 4)(x 5)2(2 x)3 0分析分析：如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)0（或f(x)0）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：解：（1）原不等式可化为x(2x 5)(x

44、3)05把方程x(2x 5)(x 3)0的三个根x1 0,x2,x3 3顺次标上数轴然后从右上开始2画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分5原不等式解集为x x 0或x 32（2）原不等式等价于(x 4)(x 5)2(x 2)3 0 x 5x 5 0(x 4)(x 2)0 x 4或x 2原不等式解集为xx 5或5 x 4或x 2说明说明：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图典型例题二典型例题二例例 2 2 解下列分式不等式：35x2 4x 1321（1）；（2）213x 7

45、x 2x 2x 2分析分析：当分式不等式化为f(x)0(或 0)时，要注意它的等价变形g(x)f(x)0 f(x)g(x)0g(x)f(x)g(x)0f(x)f(x)0 或 0 f(x)0或f(x)g(x)0g(x)g(x)g(x)0（1 1）解：）解：原不等式等价于3x3x 0 x 2x 2x 2x 23(x 2)x(x 2)x25x 6 0 0(x 2)(x 2)(x 2)(x 2)(x 6)(x 1)(x 2)(x 2)0(x 6)(x 1)0(x 2)(x 2)(x 2)(x 2)0用“穿根法”原不等式解集为(,2)1,26,。2x23x 1 0（2 2）解法一）解法一：原不等式等价于

46、23x 7x 2(2x23x 1)(3x27x 2)0222x 3x 1 02x 3x 1 02或23x 7x 2 03x 7x 2 011 x 或 x 1或x 23211原不等式解集为(,)(,1)(2,)。32解法二：原不等式等价于(2x 1)(x 1)0(3x 1)(x 2)36(2x 1)(x 1)(3x 1)(x 2)0用“穿根法”11原不等式解集为(,)(,1)(2,)32典型例题三典型例题三例例 3 3 解不等式x24 x 2分析分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的a(a 0)意义a a(a 0)二是根据绝对值的性质：x a a x a,x

47、.a x a或x a，因此本题有如下两种解法22x 4 0 x 4 0解法一：解法一：原不等式2或2x 4 x 24 x x 2x 2或x 22 x 2或即2 x xx 2或x 12 x 3或1 x 2故原不等式的解集为x1 x 3解法二：解法二：原不等式等价于(x 2)x2 4 x 222 x 3x 4 x 2故1 x 3即2x 1或x 2x 4 (x 2)典型例题四典型例题四x26x 5 0例例 4 4 解不等式12 4x x237分析：分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：22x 6x5 0 x 6x5 0或22124x x 0

48、12 4x x 0所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集也可用数轴标根法求解解法一：解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：x26x5 0,或2124x x20 x 6x5 0,12 4x x2 0(x 1)(x 5)0,(x 1)(x 5)0,(x 2)(x 6)0;或(x 2)(x 6)0;1 x 5,2 x 6；或x 1,或x 5,x 2,或x 61 x 5,或x 2或x 6原不等式解集是x x 2，或1 x 5，或x 6解法二：解法二：原不等式化为(x 1)(x 5)(x 2)(x 6)0画数轴，找因式根，分区间，定符号(x 1)(x 5)(x 2)(x 6)符号原不等

49、式解集是x x 2，或1 x 5，或x 6说明：说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解38解法二中，“定符号”是关键当每个因式x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含的区间符号，其他各区间正负相间在解题时要正确运用典型例题五典型例题五x2 2x 2例例 5 5 解不等式 x23 2x x分析：分析：不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0 再解(x 2)(x2 x 1)0解：解：移项整理，将原不等式化为(x 3)(x 1)由x2 x 1 0恒成立，知原不等式等价于(x

50、 2)0(x 3)(x 1)解之，得原不等式的解集为x 1 x 2或x 3说明：说明：此题易出现去分母得x2 2x 2 x(3 2x x2)的错误解法避免误解的方法是移项使一边为再解另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理典型例题六典型例题六例例 6 6 设mR，解关于x的不等式m2x2 2mx 3 0分析：分析：进行分类讨论求解解：解：当m 0时，因30一定成立，故原不等式的解集为R当m 0时，原不等式化为(mx3)(mx1)0；3931 x；mm13当m0时，解得 x mm当m 0时，解得当m 0时，原不等式的解集为x 31 x；