第11章一阶动态电路分析.pdf

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1、第 11 章一阶动态电路分析教学提示：在前面的章节里，讨论了含动态元件的电路在正弦周期量激励下的响应，都是工作在稳定状态，简称稳态。实际上，这样的响应只是电路全部响应中的一部分，而不是响应的全部。当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时，电路的状态就可能会从一种稳定的状态向另一种稳定的状态变化，这个变化过程是暂时的，称为瞬态或过渡过程。产生过渡过程的原因是由于电路中存在电感或电容动态元件，由于动态元件的 VCR 是对时间变量t 的微分或积分关系，因此，对动态电路分析需要用微分方程来描述，即在时间t 中分析动态电路，故也称为时域分析法。本章就是分析含有动态元件的电路中的电压、电流与时间的函数关系

2、，主要是分析只含一个动态元件的线性电路的电压、电流，也就是一阶动态电路分析。主要介绍一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、一阶电路的三要素公式。教学要求：在本章中应充分理解：零输入响应，零状态响应，暂态响应和稳态响应、时间常数、固有频率的含义；熟练地掌握他们的计算方法。掌握换路的初始值计算。重点能熟练运用三要素法求得输入为直流时，一阶电路中任意变量的响应。会计算阶跃响应。11.1换路定律和初始条件的计算本节讲述的是当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时，各元件上的电量（电压和电流）初始值的确定问题。主要讲述电感电流和电容电压在换路时不能发生跃变，即换路定律。11.1.1换路动态电路的结构

3、或元件参数发生变化时，电路将改变原来的稳定状态。含动态元件的含动态元件的电路在正弦周期量激励下的响应，都是工作在稳定状态，简称正弦稳态；当直流电路中各电路在正弦周期量激励下的响应，都是工作在稳定状态，简称正弦稳态；当直流电路中各个元件的电压和电流都不随时间变化时，称电路进入了直流稳态（个元件的电压和电流都不随时间变化时，称电路进入了直流稳态（DC steady stateDC steady state）。电路达到直流稳态时，电感相当于短路，电容相当于开路。电路达到直流稳态时，电感相当于短路，电容相当于开路。在电路理论中，把电路中支路的接通和切断、元件参数的改变、电源电压或电流波动等等，统称为换

4、路(switching)，并认为换路是瞬时完成的。一般情况下，换路的瞬间记为计时起点，即该时刻的t 0，并把换路前的最后一瞬间记作t 0、换路后的最初一瞬间记作t 0，0与0、0与0之间的时间间隔则都趋近于零。11.1.2换路定律由电容元件的电压电流关系i Cuc(t)du可以得到dt1t1i（）dCCt0+i（）d1ti（）dCt0377/11ti（）dt0C若电容元件在t 0时的电压为uc(0)，则t 0时的电压为uc(t0)+uc(0)uc(0)+1C00i（）d如果在换路前后，电容电流i的值是有限的，则有100i（）dC0所以uc(0)uc(0)由电感元件的电压电流关系u Ldi可以得

5、到dt11tiL(t)u（）dLLt0u（）d+1tu（）dLt0iL(t0)+1tu（）dLt0若电感元件在t 0时的电流为iL(0)，则t 0时的电流为iL(0)iL(0)+1L00u（）d如果在换路前后，电感电压u的值是有限的，则有100u（）dL0所以：iL(0)iL(0)总之：在换路瞬间，电容元件的电流值为有限时，其电压不能跃变；电感元件电压值总之：在换路瞬间，电容元件的电流值为有限时，其电压不能跃变；电感元件电压值为有限时，其电流不能跃变。这一结论称为换路定律为有限时，其电流不能跃变。这一结论称为换路定律。其表达式为：uc(0)uc(0)(11.1)i(0)i(0)LL在实际电路中

6、，若电容电压发生跃变，根据i Cdu，功率为无限大；dtdi，功率也为无限大。dt同理，若电感电流发生跃变，根据u L从以上两个等式可以看到，电容电压和电感电流不可以发生跃变。除了电容电压及与之相关联的电荷量（q=Cu）、电感电流及与之相关联的磁链（=Li）不能发生跃变外，电路中其余的各个电量均可发生跃变，例如：电容电流、电感电压、电阻的电压和电流、电流源的电压、电压源的电流等。11.1.3初始值及其计算对于一阶电路，所谓的初始值（initial value），就是在电路换路后的第一个瞬间，即t 0时的电路中各电量的数值，初始值组成求解动态电路的初始条件。由于在分析动态电路的换路过程中，通常都

7、要用到微分方程来求解，而微分方程的解中含有一个待定系数 C，需要某一个时刻的给定值来确定，通常选择初始值来求待定系数C。电路中电压和电流的初始值分为两类：对于电容电压和电感电流的初始值，由于是在t 0时刻求出uc(0)、iL(0)之后，根据换路定律uc(0)uc(0)、iL(0)iL(0)来确定，因此称为独立的初始条件。另外，根据独立电源的特点，电压源的us(0)、电流源的is(0)也是独立的初始条件。另一类初始值是可以跃变的量，如电容电流、电感电压、电阻电流及电阻电压，即ic(0)、uL(0)、iR(0)及uR(0)等统称为非独立初始条件，它们要根据独立初始条件及电路的基本定律来求解。简单电

8、路的初始条件的求解，可以直接在原电路中进行，而对于含有多个动态元件电路初始条件的求解，若在原电路中求解则比较麻烦。通常的做法是，在求得uc(0)、iL(0)之后，将电路中的电容元件代以电压为uc(0)的电压源、电感元件代以电流为iL(0)的电流源，这样替代后，称为电路在t 0的等效电路，它是一个纯电阻电路，可以按照线性电阻电路的解题方法进行求解。例例 11.111.1 在图 11.1(a)所示的电路中，已知R1 5，R2 8，Us 5V，t 0时已稳定。在t=0 时刻开关 S 合上，假设开关合上前电容电压为零。试求换路后各元件电流、电压的初始值。解解 根据题意，开关合上前电容电压为零，即uC(

9、0)0，根据换路定律，uc(0)uc(0)0作t 0的等效电路图，如图 11.1（b）所示u2(0)uc(0)0i2(0)u2(0)0 0R28u1(0)Us 5Vi1(0)u1(0)51AR15iC(0)i1(0)i2(0)10 1Au1u2ucu1u2(a)图 11.1 例 11.1图(b)例例 11.211.2 在图 11.2(a)所示的电路中，已知US12V，R1 R2 6，R312，电路原已稳定。在t 0时合上开关 S，试求uC(0)、iL(0)、i1(0)、i2(0)、iK(0)、iC(0)、uL(0)。-)+k-)-)(b)t=0-时等效电路图k(c)t=0+时等效电路图图 11

10、.2例 11.2 图 解解 开关合上前，电路原已稳定，电感相当于短路、电容相当于开路，t=0 等效电路图如图 11.2（b），可得iL(0)-US12 0.5AR1 R2 R36612uC(0_)iL(0)R3 0.512 6V根据换路定律可得iL(0)iL(0)0.5AuC(0)uC(0)6V作t 0的等效电路图，如图 11.2（c）所示，将电感和电容分别看作电流源和电压源USi1(0)R1 0i1(0)US12 2AR16uC(0)6 1AR26i2(0)R2uC(0)0i2(0)iK(0)i1(0)i2(0)2(1)3AiC(0)i2(0)iL(0)10.5 1.5A由uC(0)iL(0

11、)R3uL(0)0得uL(0)0.5126 0V思考与练习11.1-1在电容电流为有限值时，电容电压是不能跃变的。那么，当电容电压为有限值时，电容电流是否也不能跃变？为什么？11.1-2当电感电压为有限值时，电感电流是不能跃变的。那么，当电感电流为有限值时，电感电压是否也不能跃变？为什么？11.1-3题 11.1-3 图所示电路中，直流电压源电压US10V、R1 2、R2 3，电路原先已达稳定，在t 0时打开开关 S，试求电容电压及电阻R1上电流的初始值。uc题 11.1-3 图题 11.1-4 图11.1-4题 11.1-4 图所示电路中，已知US12V、R1 4、R2 8、L 1mH，电路

12、原已稳定。在t 0时合上开关 S，试求电感电流及电阻R2电压的初始值。11.1-5题 11.1-5 图所示电路中，已知US 20V、R110电路原已稳定。、R2 5。在t 0时合上开关 S，试求各元件的电压、电流的初始值。题 11.1-5 图11.2一阶动态电路的零输入响应本节讲述的是在没有外加激励的情况下，一阶RC 和 RL 电路在初始储能的作用下所产生的响应，对 RC 电路来讲相当于电容释放电场能，对RL 电路来讲相当于电感释放磁场能。11.2.1零输入响应含有一个动态元件的电路称为一阶电路（first-order circuit），如果在换路瞬间动态元件原来就储存有能量，根据换路定律可知

13、，即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电流、电压。这是因为动态元件的原始储能要通过电路中的电阻释放能量。动态电路在没有独立源作用的情况下，由初始储能产生的响应称为零输入响应(zero-inputresponse)。11.2.2 RC 电路的零输入响应如图 11.3 所示电路，设开关 S 合上之前电容 C 已充电到电压为uC(0)U0。根据换路定律，开关合上之后uC(0)U0，列换路之后的电路方程，取各元件的电压、电流为关联一致参考方向，由 KVL 得uRuC 0把电阻、电容元件 VCR 关系uR iRi C代入上式得:RCduuc 0dtdudtucuR图6-2-1 RC电路的零输入

14、响应图 11.3 RC 电路的零输入响应这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，分离变量duu 1dtCRC等式两边积分lnu1C RCt C11uC e1RCtC eRCteC AeRCt式中待定系数 A 可由电路的初始条件uC(0)U0确定，令t 0，得uC(0)Ae1RC0 Ae0 A U0电容的零输入响应电压为：utC(t)U0eRC(t 0)(11.2)根据uRuuC 0，i RR可得：tuR(t)uC(t)U0eRC(t 0)(11.3)tRCi(t)uRU e Ut00RCRRRe(t 0)(11.4)式中的负号说明uR、i的方向与所选参考方向相反。uC、iU9u0t-U0/R图 1

15、1.4 RC 电路的零输入响应的 uC和 i 关系将uC（t）、i(t)的变化曲线用图 11.4 表示，可以看出uC（t）、i(t)均随时间逐渐减小、最终衰减为零，说明RC 电路的零输入响应实质上就是已充电的电容对电阻放电电路的响应。刚开始放电时电流最大，为U0R，电容电压在衰减的过程中，其储存的电场能通过电阻转换为热能而消耗完毕。令=RC，其中 R 为由电容两端看过去的戴维南等效电阻，由下式可知欧姆法拉 伏特库仑库仑安培秒 秒安培伏特安培安培的单位为秒，因此将称为 R、C 串联电路的时间常数，时间常数只决定于电路的参数，与电路的初始情况无关。引入后，电容电压uc和电流i可分别表示为uC(t)

16、U0et(t 0)（11.5）tU0i(t)e(t 0)(11.6)R的大小反映了放电持续时间的长短。开始放电时的uCU0，经过一个时间常数的时间后，uc衰减为1e1U0U0 0.368U0e因此时间常数可以理解为一个按照指数规律衰减的量，衰减到它初始值的36.8%时所需的时间。同样还可以计算出经过t、2、3 时的uc，如表 11.1 所示。表 11.1tte0U01230.05U0450uC(t)U00.368U00.135U00.018U00.007U0从表 11.1 及式（11.5）还可以看出，从理论上来讲，t=时，uc才衰减为零，即放电要经过无限长时间才能结束。实际上，经过 5的时间，

17、uc已衰减为 0.007U0，即为初始值的 0.7%，因此工程实际上认为经过（35），放电过程即已结束。所以，电路的时间常数决定了放电的持续时间，时间常数越大，放电时间越长。图 11.5（b）作出了不同值下的 曲线，表明越大，放电持续时间越长。32123123(a)t=时f(t)衰减为初始值的36.8%（b)对暂态过程的影响图6-2-3时间常数的意义图 11.5时间常数的意义2)一定时，RC 电路的时间常数与电路的 R 和 C 都成正比。当电容的初始储能(CU012电阻越大，电路放电电流越小，放电所需时间越长，所以与R 成正比。同样U0的情况下，C 越大，初始储能越多，放电时间越长，因此又与C

18、 成正比。在实际电路中，适当选择R 或 C，就可控制放电的快慢。例例 11.311.3 如图 11.6（a）所示电路原已处于稳态。在t 0时刻开关 S 由位置 1 接至位置 2，电容 C 通过电阻R2放电。已知R110，R2100，C 50 F,U0 50V。试求：（1）换路后的uC（2）放电到 0.05S 时的电容电压。（t）、i(t)；R1R1U0ucR2U0ucucR2图 11.6例 11.3 图 解解 换路前 RC 电路处于稳态，根据电容在直流电路中相当于开路的特点可知，电容上的电压与电源电压相同，如图11.6（b）所示uC(0)U0 50V根据换路定律，电容电压不能跃变，即uc(0)

19、uC(0)U0 50V换路之后的电路如图 11.6（c）,电路的时间常数为 R2C 10050106 5103S根据式（11.5）和式（11.6）可知uC(t)U0te 50e200tV（t0）U50200ti(t)0e e 0.5e200tA（t0）R100t放电到 0.05S 时,电容的电压为uC(0.05S)50e2000.05 50e118.4V11.2.3 RL 电路的零输入响应如图 11.7（a）所示电路中开关S 原来闭合，电路已处于稳定状态，电感中流过的电流为I0(IS)。当 t=0 时，开关S 断开，如图11.7（b）所示。这时电感L 将通过电阻 R 释放换路前储存的能量，在电

20、路中将产生电流和电压。该电路中产生的响应是由电感L 的初始储能产生的，因此也是零输入响应。uLuL图 11.7 RL 电路的零输入响应取各元件电流和电压为关联一致参考方向，根据KVL，列写换路后的电路方程，得uLuR 0把电感、电阻元件的 VCR 关系uL Ldi，uR Ridt代入上式，得Ldi Ri 0dt这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，分离变量两边同时积分，得lni iLRtCeLdiR dtiLRt CLRteLeCRtAeL式中待定系数 A 可由电路的初始条件iL(0)I0确定，令t 0，得iL(0)R0AeL Ae0 A I0电感的零输入响应电流为：RtLiL(t)I0e根据u

21、RuL 0，uR Ri可得：(t 0)(11.7)uR(t)Ri(t)RI0RteL(t 0)(11.8)0)(11.9)uL(t)uR(t)RI0RteL(t式中的负号说明uL的方向与所选参考方向相反。R将i(t)、uR(t)的变化曲线用图 11.8表示，可以看出i(t)、uR(t)均随时间逐渐减小、最终衰减为零。说明 RLRL 电路的零输入响应实质上就是具有磁场储能的电感对电阻释放储能的响应。刚开始释放储能时电阻（电感）电压最大，其大小为RI0，电感电流在衰减的过程I0RI0R中，其储存磁场能通过电阻转换为热能图6-2-6 RL电路的零输入响应 u、L波形图 11.8 RL 电路的零输入响

22、应波形R而消耗完毕。令=L，其中 R 为由电感两端看过去的戴维南等效电阻，可以导出的单位为秒，R因此将称为 R、L 串联电路的时间常数。时间常数只决定于电路的参数，与电路的初始情况无关。引入后，电感电流i和电感电压uL可分别表示为iL(t)I0et(t 0)(11.10)tuL(t)RI0e(t 0)(11.11)122)，RL 电路的时间常数与电路的L 成正比、R 成反比。电感的初始储能为(LI0同样I0的情况下，L 越大，初始储能越多，放电时间越长，因此与 L 成正比。同样I0及 L 情况下，电阻越大，消耗能量越快，所以与R 成反比。例例 11.411.4 图 11.9 所示为某汽轮发电机

23、的励磁回路。已知励磁绕阻的电阻R 0.2电，感L 0.4H，直流电压源电压U035V。电压表的量程为100V，内阻为RV 5K，电路原已稳定。在 t=0 时，开关 S 断开，试求：（1）换路后电路的时间常数；（2）iL(t)，uV(t)；（3）开关断开瞬间，电压表处的电压。解解（1）电路的时间常数为L0.40.48105sR RV0.2 50005000（2）开关断开前，电路原已稳定，电感相当于短路，此时电感上的电流为RU0uv图 11.9例 11.4 图iL(0)根据换路定律，可得U035175AR0.2I0 iL(0)iL(0)175A代入（11.10）、（11.11）可得iL(t)I0e

24、uV(t)RVI0ett175et8105175e12500tA 5000175e12500t 875e12500tKV（3）开关断开瞬间，电压表处的电压为uV 875KV由此可见，开关刚断开时电压表要承受很高的电压，超过电压表额定值很多倍，可能会损坏电压表。电压表处之所以出现这么高的电压，是由于电感电流不能跃变，电压表内电阻又远大于励磁绕阻的电阻，所以开关打开瞬间，电压表的电压将远大于直流电源的电压U。另外，励磁绕阻的绝缘也将被击穿。所以，在切断大电感支路时，必须考虑磁场能量的释放，通常将电感和一个小电阻并联，这个小电阻又称为续流电阻。续流电阻又不宜过小，否则会造成增大，过渡过程持续时间较长

25、。思考与练习11.2-1一组C 40 F的电容器从高压电路断开，断开时电容器的电压U0 2.2KV。断开后，电容器通过其本身的漏电阻放电，假设电容器的漏电阻为800M。试问断开后经过多长时间，电容器的电压衰减为1KV。11.2-2一个C 0.1 F、uC(0)120V的电容经过某电阻放电，经过 10s 时电容的电荷量q 10106C，试求该电阻阻值。11.2-3题 11.2-3 图所示电路，已知US 9V、R1 3、R2 4、R3 2、R41、C 1 3F，电路原已稳定。在 t=0 时打开开关 S，试求换路后的uC(t)、i(t)。11.2-4题 11.2-4 图所示电路，已知US 9V、R1

26、 2、R2 3、L 5H，电路原已稳定。在 t=0 时打开开关 S，试求换路后的电压u(t)。R2uCu题 11.2-3 图题 11.2-4 图11.3一阶动态电路的零状态响应本节讲述的是在有外加激励并且在电容和电感的初始储能为零的情况下，一阶 RC 和RL 电路的响应过程，即向电容和电感充电的过程。11.3.1零状态响应动态电路中所有动态元件的uC(0)、iL(0)均为零的情况，称零状态。零状态的动态电路在外施激励作用下的响应，称为零状态响应(zero-state response)。11.3.2 RC 电路的零状态响应R如图 11.10 所示电路，设开关 S 合上之前电容 C 电压为uC(

27、0)0。根据换路定律，开关合上之后，列换路之后的电路方程，取各元件的电压、电流为关联参考方向，由 KVL 得uRuCUS把电阻、电容元件 VCRuR iRi CdudtuC图6-3-1 RC电路的零状态响应图 11.10 RC 电路的零状态响应代入上式得RCduucUSdt这是一个关于uC(t)的一阶常系数线性非齐次微分方程，此方程的解由下式解得，(t)uC(t)uC(t)uC(t)为方程的一个特解，与外加激励有关，称为强制分量，由方程可以看出，US为该其中uC(t)US。uC(t)为与该方程对应的齐次方程方程的一个特解，因此取uCRCduuc 0dt所求得的通解相同，与外加激励无关，因此又称

28、为自由分量。由前一节所学内容可知其中的求法与零输入响应相同，A为待定系数，由电路的初始条件求得uC(t)Us代入初始条件uC(0)uC(0)0得0 US Ae0US AtAeuC(t)tAeA US最后解得电容上的电压为uC(t)UsUSe由uRuCUS、uR iR可得tUS(1e)(t 0)(11.12)tuR(t)USuC(t)UStte(t 0)(11.13)u(t)Ui(t)RSe(t 0)(11.14)RRuC(t)、uR(t)、i(t)的波形如图 11.11 所示UsR图 11.11 RC 电路的零状态响应图6-3-2 RC电路的零状态响应由式 11.1211.14 及图 11.1

29、1 可知，在电容充电过程中，电容电压uC由零按照指数规律逐渐增加，最终趋近于外加电源电压U。电路中的电流i则开始充电时最大，为US/R，然后逐渐减小，最终减小到零，电阻上的电压uR则与uC变化规律相反。电容充电结束后，电路达到新的稳态，相当于直流电路中S的电容元件，即uCUS，i 0，uR 0，电容储存的磁场能为CU2。与 RC 电路的零输入响应相似，从理论上来讲，当 t 为时，电容充电才能结束。但实际上，当 t=5时，电容已充电至 0.997U0，可以认为充电已经完成。例例 11.511.5 如图 11.10 所示电路中，已知US10V、R 200、C 0.25 F，电容的初始电压为零。当

30、t=0 时合上开关 S，试求：（1）电路的时间常数；（2）电容上电压uC和电流i；（3）开关合上后200 s时的电压uC和电流i值。解解 （1）电路的时间常数为 RC 2000.25106 5105s 50 s（2）电容上的电压和电流分别为uC(t)USt(1e)t12t510510(1e)10(1e210 t)444U102104ti(t)See 0.05e210 tA 50e210 tmAR200（3）将t 200 s分别代入电容电压、电流表达式中，得uC(200 s)10(1e210i(200 s)50e2104200106)10（1e4)9.82V4200106 50e4 0.916m

31、A 例例 11.611.6 电路如图 11.10 所示，设R 8电容初始电压为零。外加电源uS,C 0.25F，如图 11.12（a）所示。试求换路后电容上的电压和电流。图 11.12例 11.6 图 解解 因为外施激励是一个矩形脉冲，t 在 02s 时US10V，电容相当于从零开始被充电（并未充电到 10V）；t2s 时，US 0V，此时外施激励为零，而电容却储存有电能，相当于 RC 电路的零输入响应。电路的时间常数 RC 80.25 2s当0t 2s时，根据 RC 电路的零状态响应公式得uC(t)10(1et2)10(1e0.5t)V(0 t 2s)100.5te1.25e0.5tA(0

32、t 2s)8因为当 t2s 时，电容开始放电，需计算出t=2s 时电容的电压，即求出uC(2)i(t)U0 uC(2)10(1e0.52)10(1e1)6.32Vi(2)1.25e1 0.46A当 t2s 时，根据 RC 电路的零输入响应公式得uC(t)U0et2t2 6.32e0.5(t2)V(t 2s)U6.320.5(t2)i(t)0e e 0.79e0.5(t2)A(t 2s)R8负号说明电流方向与参考方向相反,电容上电压、电流变化曲线分别见图11.12（b）、11.12（c）。11.3.3 RL 电路的零状态响应如图 11.13 所示的 R、L 串联电路，设外施激励为直流电压源US，

33、电感iL(0)0。当t 0时合上开关 S，该电路实质上就是电感从电源吸收能量转换为磁场能储存起来的响应过程。分析图 11.13，各元件电流电压参考方向如图所示，换路后，由KVL 得uRuLUS把电阻、电感元件 VCR 关系RuR RiuL L代入上式得：didtuLdi Ri USdt这是一个关于iL(t)的一阶常系数线性非齐次微分方L程，此方程的解由下式解得图6-3-4 RL电路的零状态响应(t)iL(t)图 11.13 RL 电路的零状态响应iL(t)iL(t)为方程的一个特解，与外加激励有关，与RC 电路零状态响应相似，也称为强其中iL制分量，由方程可以看出，对应的齐次方程USU(t)S

34、。iL(t)为与该方程为该方程的一个特解，因此取iLRRLdi Ri 0dt所求得的通解相同，与外加激励无关，也称为自由分量。(t)iLtAe其中的求法与 RL 电路零输入响应相同，A为待定系数，得UiL(t)S AeR代入初始条件iL(0)iL(0)0t0 USU Ae0S ARRUSRA 最后解得电感上的电流为tUSiL(t)(1e）(t 0)(11.15)R由uRuLUS、uR iR可得uR(t)USt(1e）(t 0)(11.16)0)(11.17)uL(t)USuR(t)USte(tiL(t)、uL(t)、uR(t)的波形如图 11.14 所示。UsR-UsR图 11.14 RL 电

35、路的零状态响应波形图6-3-5 RL电路的零状态响应电感电流由零按照指数规律逐渐增大，最终接近于稳定值USR。电感电压开始时最大，为电源电压US，然后逐渐减小，最终衰减到零，电阻电压变化则与电感电压变化规律相反。电路达到新的稳态后，电感相当于短路，其储存的能量为1US2L()。2R思考与练习11.3-1题 11.3-1 图所示电路中，直流电压源电压US10V、R1 2、R2 3，电路原先已达稳定，在t 0时开关 S 由 1 接至 2，试求换路后电容的电压和电流。11.3-2R 1K、C 10 F、uC(0)0的RC串联电路接到US100V的直流电压源。试求：（1）充电电流的最大值；（2）经过

36、0.015s 时电容的电压和电流。11.3-3C 20 F、uC(0)0的 RC 串联电路接到US 36V的直流电压源，若接通后10s 时电容的电压为 32V，试求电阻 R 的阻值。11.3-4 题 11.3-4 图所示电路中，直流电压源电压US 6VR 4、L 1H、iL(0)0，电路原先已达稳定，在t 0时开关 S 合上。试求换路后电感的电流和电压。RucuL题 11.3-1 图题 11.3-4 图11.4一阶电路的全响应及其分解本节讲述的是在既有外加激励而且电容和电感的初始储能都不为零的情况下的一阶 RC和 RL 电路的响应过程.11.4.1全响应初始值为非零状态的电路在独立源作用下的响

37、应称全响应(complete response)。第二节和第三节介绍的零输入响应和零状态响应都是全响应的特例。1 RC 电路的全响应下面分析 RC 电路的全响应。在图11.10 所示电路中，假设电容uC(0)U0，其余条件不变，试求换路后的uC(t)、i(t)、uR(t)。由 KVL 定律，换路后uRuCUS其解仍为uC(t)u u UStAe式中u、u与 RC 电路零状态响应中的含义相同，把初始条件uC(0)uC(0)U0代如上式，得U0US Ae0US AA U0US最后得到电容上电压的全响应为uC(t)US(U0US)e电阻电压、电容电流的全响应为uR(t)USuC(t)(USU0t)e

38、(tt(t 0)(11.18)0)(11.19)u(t)(UU0)i(t)RSe(t 0)(11.20)RRt2 RL 电路的全响应按照相同的方法来分析 RL 电路的全响应，在图11.13 所示电路中，设电感iL(0)I0，其余条件不变，试求换路后的iL(t)、uL(t)、uR(t)。电感上的电流为USiL(t)i i AeR把初始条件iL(0)iL(0)I0代入，得tI0最后得电感上的电流为USUU Ae0S AA I0SRRRtUSUSiL(t)(I0)e(t 0)(11.21)RR电感上电压、电阻上电压分别为uR(t)iR US(I0R USuL(t)USuR(t)(US I0t)e(t

39、tR)e(t 0)(11.22)0)(11.23)图 11.15 作出了 RC 电路中各 响应的变化曲线。CR图6-4-1 U00）i2(t)i2 i2(0)i2(1 4e)t4te1(51)et4A（t0）uC(t)和i2(t)的变化曲线如图 11.18 所示uCVi2A 25 5 5 1t st s图 11.18 uc（t）和 i2（t）的变化曲线 例例 11.811.8 电路如图 11.19（a）所示，已知直流电压源的电压US 6V，电流源IS 2A，R1 2，R2 R31，L 0.1H。电路原已稳定，试求换路后电感电流i(t)和电阻R2上的电压u(t)。U0电路(b)t=0+等效电路图

40、(c)稳态(d)等效电阻图 11.19 例 11.8 用图 解解 （1）求i(0)、u(0)电路原已稳定，电感相当于短路，所以i(0)US6 3AR12u(0)需在换路后最初一瞬间来求，作t 0时的等效电路图，在图 11.19（b）所示的等效电路图中，电感相当于电流源（其中IS、R3并联组合已变换为R3IS与R3的串联组合）。根据弥尔曼定律USR3IS612i(0)3RR2 R3111Vuab(0)121111R1R2 R3211根据R2 R3可知uab(0)2u(0)R3IS 2u(0)2u(0)21 0.5V2（2）求稳态响应i、u在稳态电路中，电感相当于短路，如图11.19（c）所示，很

41、显然UR I12iS3S 3 4AR1R1 R211u（3）求时间常数从 L 两端看过去的戴维南等效电阻Req如图 11.19（d）所示，将电压源看成短路、电流源看成开路，Req相当于R2和R3串联后再和R1并联，即ReqR1(R2 R3)221 R1 R2 R32 2L0.1 0.1sReq1R3ISR2111VR1 R2=（4）根据三要素公式求i(t)和u(t)i(t)i i(0)iu(t)u u(0te 4(34)et0.1 4e10tAt0.1t)ue1(0.51)e10.5e10tV思考与练习11.5-1试求图 11.5-1 所示各图所示电路的时间常数。(b)151Fvv(c)题 1

42、1。5-1 图2511.5-2如题 11.5-2 图所示电路，已知直流电压源电压US12V、R1 3、R2 6、R3 3、C 10 F、uC(0)0V，电路原已稳定。当 t=0 时合上开关，试用三要素法求换路后的uC(t)、i(t)。ucuc题 11.5-2 图题 11.5-3 图 11.5-3如题 11.5-3 图所示电路，已知直流电压源电压US 9V、R1 6、R2 3、当 t=0 时合上开关，试用三要素法求换路后的uC(t)。C 0.5F、uC(0)0V,电路原已稳定。、11.5-4 如题11.5-4图所示电路，已知直流电压源电压US 3V、R1 2、R21L 1H,电路原已稳定。当 t

43、=0 时打开开关，试用三要素法求换路后的uL(t)、iL(t)。题 11.5-4 图11.6一阶电路的阶跃响应本节我们将讲述当外加激励为阶跃函数加在一阶电路时所产生的响应.11.6.1阶跃函数1.单位阶跃函数单位阶跃函数(unit step function)是一种奇异函数(如图 11.20a),其定义为0(t 0)(t)1(t 0)即它在(0_,0+)时域内发生了单位阶跃,单位阶跃函数可以描述图 11.20b 所示电路的开关动作,它表示在 t=0 时把电路接到单位直流电压时u(t)的值。t=0Ru(t)+1VCu(t)1_ (a)(b)0t图 11.20单位阶跃函数2.延迟的单位阶跃函数若单

44、位阶跃函数的起始时刻不是t=0 而是 t=t0,即0(t t0)(tt0)1(t t0)(t-t0)可看成是把(t)在时间轴上移动了 t0后的结果,因此,称之为延迟的单位阶跃函数(如图 11.21 所示).(t-t0)10t0t图 11.21延迟的单位阶跃函数11.6.2阶跃响应我们把电路对于单位阶跃输入的零状态响应称为电路的阶跃响应(step response)。它是由外加单位阶跃激励所引起的，由于在t0-时，外加激励恒为零，因而在t=0-时电路中储能元件所储存的能量全为零，所以阶跃响应是零状态响应。其计算方法与前述零状态响应的计算方法完全相同，不过为表示此响应仅适用于 t0+,可在所得结果

45、的后面乘以单位阶跃函数(t)。例例 11.911.9电路如图 11.22 所示,已知：iS(t)作用于电路，uC(0)=0，求：uC(t)t0。图 11.22 例 11.9 用图 解解 首先把 iS(t)分成两项：即iS(t)IS(t)IS(t t0)其中iS(t)IS(t)为阶跃输入信号，iS(t)IS(t t0)为延迟阶跃输入信号。iS(t)作用时，u(t)RIS(1eC1tRC)(t)(t t0)1(tt0)RCiS(t)作用时，u(t)RIS(1eC1(tt0)RC由叠加定理可得uC(t)RIS(1e电路响应波形如图 11.23 所示tRC)(t)RIS(1e)(t t0)图 11.2

46、3实际上，只要知道了电路的单位阶跃响应，就能求出任意直流激励作用下的零状态响应，其响应为单位阶跃响应乘以该直流激励的大小。思考与练习11.6-1试写出题 11.6-1 图所示波形的函数表达式。21012u(t)3t题 11.6-1 图11.6-2如果单位阶跃激励引起的电容电压为uC(t)(1e励引起的电容电压为uC(t)(1e1(tt0)1 t)(t)，则延迟单位阶跃激)(t t0)，为什么？11.7一阶动态电路分析的应用本节我们从微分电路和积分电路着手,运用上面几节所讲述的一阶动态电路的分析方法来分析微分电路和积分电路中的输出电压波形和输入电压波形之间的特定(微分或积分)关系.11.7.1微

47、分电路如图 11.24 所示 的RC电路（uC(0-)=0）。输入的是矩形脉冲电压u1(如图 11.25 所示)，在电阻R两端输出的电压为u2，则u2=uR。输出电压u2的波形同电路的时间常数 和脉冲宽tp的大小有关。当tp一定时，改变 的值，电容元件充放电的快慢就不同，而且 和tp的比值发生了改变则输出电压u2的波形也就不同.图 11.25 矩形脉冲电压图 11.24 微分电路在图 11.24 中，设输入矩形脉冲u1的幅度为 U=6 伏。当 =10 tp和t=t1=tp时，u2Uet 6e0.1 60.905 5.43V由于 tp，电容充电很慢，在经过一个脉冲宽度（t=tp）时，电容器上只充

48、到（6-5.43）=0.57 V，而剩下的 5.43 V 加在电阻两端。这时，输出电压u2和输入电压u1的波形很相近，电路就成为一般的阻容耦合电路(即电容相当于短路).随着 和tp的比值的减小，在电阻两端逐步形成正、负尖脉冲输出如图11.26 所示。例例 11.1011.10在图 11.24 的电路中，R=20k，C=100pF.输入信号u1为一矩形脉冲如图11.26，其幅值U=6V,脉冲宽度tp=50.试分析和作出输出电压u2的波形，设电容元件原先未储能。解解 RC 2010 10010312 2106s 2s是输入电压宽度的二十五分之一，tp。在t=0 时,u1从零突然上升到 6 V，即u

49、1=U=6V，开始对电容进行充电。由于电容两端的电压不能跃变，在这瞬间它相当于短路（uc=0）,所以u2=U=6V。因为 tp,对于tp而言，充电很快，uc很快增长到 U 值，与此同时，u2很快衰减到零值。这样，在电阻两端就输出一个正尖脉冲（图 11.26）。u2的表达式为u2Ut 6et2106V在t=t1时，u1突然下降到零（这时输入端不是开路，而是短路），也由于uc不能跃变，所以在这瞬间，u2=-uc=-U=-6V,极性与以前相反。而后电容元件经电阻很快放电，u2很快衰减到零。这样就输出一个负尖脉冲。u2的表达式为u2 Ut 6et2106V图 11.26 u1 和 u2 的波形图 11

50、.27 周期性矩形脉冲输入输出的波形比较上例中u1和u2的波形，可见在u1的上升跃变部分（从零跃变到6V），u2=U=6V，此时正值最大；在u1的平直部分，u2 0；在u1的下降跃变部分（从 6 V 跃变到零）,u2=-U=-6V，此时负值最大。所以输出电压u2与输入电压u1近似于微分关系。这种输出尖脉冲反映了输入矩形脉冲的跃变部分，是对矩形脉冲微分的结果。因此这种电路称为微分电路(differentiating circuit)。如果输入的是周期性矩形脉冲，则输出的是周期性正负尖脉冲如图11.27。总之,RC 微分电路具有两个条件：（1）tp(一般 0.2tp）；（2）输出信号从电阻端输出。