高等数学电子教案 .pdf
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1、教学目的:教学目的:第四章第四章不定积分不定积分1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法(第一,第二)与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点:教学重点:1、不定积分的概念;2、不定积分的性质及基本公式;3、换元积分法与分部积分法。教学难点:教学难点:1、换元积分法;2、分部积分法;3、三角函数有理式的积分。4 4 1 1不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、教 学 目 的 与 要 求:12理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式。二、重 点、难 点:原函数与不定积分的概念三、主
2、 要 外 语 词 汇:At first function,Be accumulate function,Indefinite integral,Formulasintegralselementary forms.四、辅 助 教 学 情 况:多 媒 体 课 件 第 四 版 和 第 五 版(修 改)五、参 考 教 材(资 料):同 济 大 学 高 等 数 学 第 五 版一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义 1 1如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x)即对任一 xI 都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(
3、x)dx)在区间 I 上的原函数例如 因为(sin x)cos x 所以 sin x 是 cos x 的原函数又如当 x(1)时因为(x)1 所以x是1的原函数2 x2 x提问:cos x 和1还有其它原函数吗?2 x原函数存在定理如果函数f(x)在区间 I 上连续 那么在区间I 上存在可导函数F(x)使对任一 xI 都有F(x)f(x)简单地说就是 连续函数一定有原函数两点说明第一 如果函数f(x)在区间I 上有原函数F(x)那么f(x)就有无限多个原函数 F(x)C都是 f(x)的原函数 其中 C 是任意常数第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和 F(x)都是 f(
4、x)的原函数 则(x)F(x)C(C 为某个常数)定义定义 2 2在区间I上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或 f(x)dx)在区间I 上的不定积分 记作f(x)dx其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变量根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分 即f(x)dxF(x)C因而不定积分f(x)dx可以表示 f(x)的任意一个原函数例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数 所以cosxdxsinxC因为x是1的原函数 所以2 x21dx xCx例 2.求
5、函数f(x)1的不定积分x解:当 x0 时(ln x)1x1dxlnxC(x0)x当 x0 时 ln(x)1(1)1xx1dxln(x)C(x0)解:设 xa sin tt那么a2x2a2a2sin2t acost22dxa cos t d t于是a2x2dxacostacostdta2cos2tdt a2(1t1sin2t)C24因为t arcsin22x,sin2t2sintcost2xa x所以aaa2a2x2dxa2(1t1sin2t)Caarcsinx1x a2x2C2a224解:设 xa sin tt那么22a2x2dxacostacostdt2a2cos2tdt a2(1t1si
6、n2t)Caarcsinx1x a2x2C2a224提示:a2x2a2a2sin2t acostdxacos tdt22提示:tarcsinx,sin2t2sintcost2xa xaaa例 20.求dx(a0)x2a2解法一设 xa tan tt那么22x2a2 a2a2tan2ta 1tan2ta sec tdxa sec 2t d t于是2dxasec tdt sectdt ln|sec t tan t|Casectx2a222因为sectx atantx所以aadx ln|sec t tan t|Cln(xx2a2)Cln(xx2a2)C1aax2a2其中 C 1Cln a解法一设 x
7、a tan tt那么22dxasec2tdt sectdtln|secttant|Casectx2a222ln(xx a)Cln(xx2a2)C1aa其中 C 1Cln a提示:x2a2 a2a2tan2tasectdxa sec 2t dt22提示:sectx atantxaa解法二:设 xa sh t那么dxach tdt dt tC arshxCach tax2a2lnx(x)21Cln(xx2a2)C1aa其中 C 1Cln a提示:x2a2 a2sh2ta2a ch tdxa ch t d t例 23.求dx(a0)x2a2解:当 xa 时设 xa sec t(0t)那么2x2a2
8、a2sec2ta2a sec2t1a tan t于是dxasecttantdt sectdt ln|sec t tan t|Catantx2a222因为tantx asectx所以aadx ln|sec t tan t|Cln|xx2a2|Cln(xx2a2)C1aax2a2其中 C 1Cln a当 xa于是dxduln(u u2a2)Cx2a2u2a2ln(xx2a2)C ln(x x2a2)C12a2Cln(x x2a2)Clnx x1a2其中 C 1C2ln a综合起来有dxln|x x2a2|C22x a解:当 xa 时设 xa sec t(0t)那么2dxasecttantdt se
9、ctdtatantx2a222ln|secttant|Cln(xx a)Caaln(x x2a2)C其中 C 1Cln a当 xa于是dxduln(u u2a2)Cx2a2u2a22a2Cln(x x2a2)Clnx xa2ln(x x2a2)C1其中 C 1C2ln a提示:x2a2 a2sec2ta2a sec2t1atant22提示:tantx asectxaa综合起来有dxln|x x2a2|Cx2a2补充公式(16)tanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|C(18)secxdxln|secxtanx|C(19)cscxdxln|cscxcotx|C(20)(21)(
10、22)(23)(24)1dx1arctanxCaaa x221dx1ln|xa|C2axax a221dxarcsinxCaa2x2dxln(x x2a2)Cx2a2dxln|x x2a2|Cx2a2 4 4 3 3分部积分法分部积分法一、教 学 目 的 与 要 求:掌 握 分 部 积 分 公 式,并 会 灵 活 运 用。二、重 点、难 点:用 分 部 积 分 公 式 时 的 u 和 dv 的 选 取三、主 要 外 语 词 汇:Divide a department integral四、辅 助 教 学 情 况:多 媒 体 课 件 第 四 版 和 第 五 版(修 改)五、参 考 教 材(资 料)
11、:同 济 大 学 高 等 数 学 第 五 版设函数 uu(x)及 vv(x)具有连续导数那么两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv移项得uv(uv)uv对这个等式两边求不定积分得uvdxuvuvdx或udvuvvdu这个公式称为分部积分公式分部积分过程:uvdxudvuvvduuvuvdx例 1xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxx sin xcos xC例 2xexdxxdexxexexdxxexexC例 3x2exdxx2dex x2exexdx2x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdxx2ex2xex2exCex(x22x2)C例 4xlnxdx1l
12、nxdx21x2lnx1x21dx222x1x2lnx1xdx1x2lnx1x2C2224例 5arccosxdx xarccosxxdarccosxxarccosxx1dx1x21xarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx 1x2C2111dx例 6xarctanxdx1arctanxdx2x2arctanxx22221x2111)dxx2arctanx(1221x21x2arctanx1x1arctanxC222例 7 求exsinxdx解 因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinxexsinxexcosxdxexsinxcosxdexexsinxexco
13、sxexdcosxexsinxexcosxexdcosxexsinxexcosxexsinxdx所以exsinxdx1ex(sinxcosx)C2例 8 求sec3xdx解 因为sec3xdxsecxsec2xdxsecxd tanxsecxtanxsecxtan2xdxsecxtanxsecx(sec2x1)dxsecxtanxsec3xdxsecxdxsecxtanxln|secxtanx|sec3xdx所以sec3xdx1(secxtanxln|secxtanx|)C2例 9 求Indx其中 n 为正整数(x2a2)ndx1x解I122arctanCax aa当 n1 时,用分部积分法有
14、2dxxx22 n122 n12(n1)22 ndx(x a)(x a)(x a)x1a2dx2(n1)(x2a2)n1(x2a2)n(x2a2)n1x 2(n 1)(In1 a2In)22n1(x a)即In1于是In12x2 n1(2n3)In12a(n1)(x a)2以此作为递推公式并由I11xarctan C即可得Inaa例 10 求exdx解 令 xt 2则dx2tdt于exdx 2tetdt2et(t1)C2ex(x1)Cexdxexd(x)22xexd x2xdex2 xex2exd x2 xex2exC 2ex(x1)C第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分f(
15、x)(x)dxf(x)d(x)令(x)uf(u)duu(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)哪些积分可以用分部积分法?xcosxdxxexdxx2exdxxlnxdxarccosxdxxarctanxdxexsinxdxsec3xdx2xexdxexdx2eudux2exdxx2dexx2exexdx2 4 4 4 4有理函数的积分有理函数的积分一、教 学 目 的 与 要 求:会求有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分。二、重 点(难 点):有理函数的积分。三、主 要 外 语 词 汇:Have the reason function integral四
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