2021年河南省中考数学试卷和答案.pdf

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1、20212021 年河南省中考数学试卷年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）下列各小题均有四个选项，其分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。中只有一个是正确的。1 1（3 3 分）分）2 2 的绝对值是（的绝对值是（）A A2 2B B2 2C CD D2 2（3 3 分）河南省人民济困最“给力”分）河南省人民济困最“给力”！据报道，！据报道，20202020 年河南省人民年河南省人民在济困方面捐款达到在济困方面捐款达到 2.942.94 亿元数据“亿元数据“2.942.94 亿”用科学记数法表亿”用科学记数法表示为（示为（）

2、A A2.942.9410107 7B B2.942.9410108 8C C0.2940.29410108 8D D0.2940.29410109 93 3（3 3 分）如图是由分）如图是由8 8 个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）A AB BC CD D4 4（3 3 分）下列运算正确的是（分）下列运算正确的是（）A A（a a）2 2a a2 2C Ca a2 2 a aa a3 3B B2a2a2 2a a2 22 2D D（a a1 1）2 2a a2 21 15 5（3 3 分）如图，分）如图，a ab b，1 16060（）第1

3、1页（共3838页）A A9090B B100100C C110110D D1201206 6（3 3 分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A A四条边相等四条边相等C C对角线互相垂直对角线互相垂直B B对角线相等对角线相等D D是轴对称图形是轴对称图形7 7（3 3 分）分）若方程若方程 x x2 22x+m2x+m0 0 没有实数根，没有实数根，则则 mm 的值可以是的值可以是（）A A1 1B B0 0C C1 1D D8 8（3 3 分）现有分）现有 4 4 张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相张卡片，正面图案如图所示，它们除此之

4、外完全相同，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”同，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（和“九章”的概率是（）A AB BC CD D9 9（3 3 分）如图，分）如图，OABCOABC 的顶点的顶点 O O（0 0，0 0），A A（1 1，2 2），点，点 C C 在在 x x轴的正半轴上，轴的正半轴上，当点当点 D D 的对应点的对应点 D D落在落在 OAOA 上时，上时，D DA A的延的延长线恰好经过点长线恰好经过点 C C（）第2 2页（共3838页）A A（2 20 0）1010（3 3 分）如图分）如图 1 1，矩形，矩形

5、ABCDABCD 中，点中，点 E E 为为 BCBC 的中点，设的中点，设 B B，P P两点间的距离为两点间的距离为 x x，图，图 2 2 是点是点 P P 运动时运动时 y y 随随 x x 变化的关系图象，变化的关系图象，则则 BCBC 的长为（的长为（），0 0）B B（2 2，0 0）C C（2 2+1+1，0 0）D D（2 2+1+1，A A4 4B B5 5C C6 6D D7 7二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1111（3 3 分）若代数式分）若代数式有意义，则实数有意义，则实数 x x 的取值范围是的取值范围是1212（3

6、3分分）请请 写写 出出 一一 个个 图图 象象 经经 过过 原原 点点 的的 函函 数数 的的 解解 析析式式1414（3 3 分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1 1，点，点 A A，B B，且点，且点 B B，C C 在在上，则上，则的长为的长为第3 3页（共3838页）1515（3 3 分）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图分）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图 1 1，在，在 RtRtABCABC 中，中，B B3030，ACAC1 1第一步，将纸片沿第一步，将纸片沿 CDCD 折叠，折叠，点点 A A 落在落在 A

7、A处；第二步，将纸片沿处；第二步，将纸片沿 CACA折叠，如图折叠，如图 3 3当点当点 D D恰恰好好落落在在原原直直角角三三角角形形纸纸片片的的边边上上时时，线线段段 A AD D的的长长为为三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 8 个小题，共个小题，共 7575 分）分）1616（1010 分）分）（1 1）计算：）计算：3 31 1（2 2）化简：）化简：（1 1）+（3 3）0 0；1717（9 9 分）分）20212021 年年 4 4 月，教育部印发关于进一步加强中小学生睡月，教育部印发关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知眠管理工作的通知，明确要求初中生每天睡眠时间应

8、达到，明确要求初中生每天睡眠时间应达到 9 9 小小时某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，并将调查结果用统时某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，并将调查结果用统计图描述如下计图描述如下调查问卷调查问卷1 1近两周你平均每天睡眠时间大约是近两周你平均每天睡眠时间大约是_小时小时如果你平均每天睡眠时间不足如果你平均每天睡眠时间不足 9 9 小时，请回答第小时，请回答第 2 2 个问题个问题2 2影响你睡眠时间的主要原因是影响你睡眠时间的主要原因是_（单选）（单选）A A校内课业负担重校内课业负担重B B校外学习任务重校外学习任务重第4 4页（共3838页）C C学习效率低学习效率低D D其他其他平

9、均每天睡眠时间平均每天睡眠时间 x x（时）分为（时）分为 5 5 组：组：5 5x x6 6；6 6x x7 7；8 8x x9 9；9 9x x1010根据以上信息，解答下列问题：根据以上信息，解答下列问题：（1 1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第（填（填序号）组，达到序号）组，达到 9 9 小时的学生人数占被小时的学生人数占被调查人数的百分比为调查人数的百分比为；（2 2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议建议1818（9 9 分）如图，大、小两个正方形的中

10、心均与平面直角坐标系的分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点原点 O O 重合，边分别与坐标轴平行重合，边分别与坐标轴平行 的图象与大正方形的一边交的图象与大正方形的一边交于点于点 A A（1 1，2 2），且经过小正方形的顶点，且经过小正方形的顶点 B B（1 1）求反比例函数的解析式；）求反比例函数的解析式；（2 2）求图中阴影部分的面积）求图中阴影部分的面积第5 5页（共3838页）1919（9 9 分）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，分）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像某数学活动小组到龙门石窟景卢舍那佛像

11、是石窟中最大的佛像某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度如图，他们选取的测量点区测量这尊佛像的高度如图，他们选取的测量点 A A 与佛像与佛像 BDBD的底部的底部 D D 在同一水平线上已知佛像头部在同一水平线上已知佛像头部 BCBC 为为 4m4m，头底部，头底部 C C的仰角为的仰角为 37.537.5，求佛像，求佛像 BDBD 的高度（结果精确到的高度（结果精确到 0.1m0.1m参考数参考数据：据：sin37.5sin37.50.610.61，cos37.5cos37.50.790.79，tan37.5tan37.50.770.77）2020（9 9 分）在古代，智慧的劳动人

12、民已经会使用“石磨”分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，将粮食磨碎，物理学，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”小明受此启发设计了一个“双连杆机构”小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图，设计图如图 1 1，两个固，两个固定长度的“连杆”定长度的“连杆”APAP，当点，当点P P 在在O O 上转动时，带动点上转动时，带动点A A，ONON 上上滑动，滑动，OMOMONON当当 APAP 与与O O 相切时，如图相切时，如

13、图 2 2请仅就图请仅就图 2 2 的情形解答下列问题的情形解答下列问题（1 1）求证：）求证：PAOPAO2 2PBOPBO；（2 2）若）若O O 的半径为的半径为 5 5，APAP，求，求 BPBP 的长的长第6 6页（共3838页）2121（9 9 分）分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销猕猴玩偶非常畅销 小小李在某网店选中李在某网店选中 A A，B B 两款猕猴玩偶两款猕猴玩偶类别类别价格价格进货价（元进货价（元/个）个）销售价（元销售价（元/个）个）4040565630304545A A 款玩偶款玩偶B B 款玩偶款玩偶（1 1）第一

14、次小李用）第一次小李用 11001100 元购进了元购进了 A A，B B 两款玩偶共两款玩偶共 3030 个，求两个，求两款玩偶各购进多少个款玩偶各购进多少个（2 2）第二次小李进货时，网店规定）第二次小李进货时，网店规定 A A 款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量不得超过 B B款玩偶进货数量的一半小李计划购进两款玩偶共款玩偶进货数量的一半小李计划购进两款玩偶共 3030 个，应如何个，应如何设计进货方案才能获得最大利润设计进货方案才能获得最大利润（3 3）小李第二次进货时采取了（）小李第二次进货时采取了（2 2）中设计的方案，并且两次购进）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，对于

15、小李来说哪一次更合算？的玩偶全部售出，对于小李来说哪一次更合算？（注：利润率（注：利润率100%100%）2222（1010 分）如图，抛物线分）如图，抛物线 y yx x2 2+mx+mx 与直线与直线 y yx+bx+b 相交于点相交于点 A A（2 2，0 0）和点）和点 B B（1 1）求）求 mm 和和 b b 的值；的值；（2 2）求点）求点 B B 的坐标，并结合图象写出不等式的坐标，并结合图象写出不等式 x x2 2+mx+mxx+bx+b 的解的解第7 7页（共3838页）集；集；（3 3）点）点 MM 是直线是直线 ABAB 上的一个动点，将点上的一个动点，将点 MM 向左

16、平移向左平移 3 3 个单位个单位长度得到点长度得到点 N N，若线段，若线段 MNMN 与抛物线只有一个公共点与抛物线只有一个公共点MM的取值范的取值范围围第8 8页（共3838页）答案与卡片答案与卡片一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）下列各小题均有四个选项，其分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。中只有一个是正确的。1 1参考答案：参考答案：2 2 的绝对值是的绝对值是 2 2，即即|3|3|2 2故选：故选：A A2 2参考答案：参考答案：2.942.94 亿亿2940000002940000002.942.9410107 7，故选：故

17、选：B B3 3参考答案：该几何体的主视图有三层，最上面有一个正方形，最参考答案：该几何体的主视图有三层，最上面有一个正方形，最下面有三个正方形，下面有三个正方形，故选：故选：A A4 4参考答案：参考答案：A A（a a）2 2a a2 2，故本选项不符合题意；，故本选项不符合题意；B.2aB.2a2 2a a2 2a a7 7，故本选项不符合题意；，故本选项不符合题意；C Ca a2 2 a aa a3 3，故本选项符合题意；，故本选项符合题意；D D（a a2 2）2 2a a2 24a+14a+1，故本选项符合题意；，故本选项符合题意；故选：故选：C C5 5参考答案：由图得参考答案：

18、由图得2 2 的补角和的补角和1 1 是同位角，是同位角，8 86060且且 a ab b，1 1 的同位角也是的同位角也是 6060，2 21801806060120120，故选：故选：D D第9 9页（共3838页）6 6参考答案：参考答案：A A菱形的四条边相等，不符合题意，菱形的四条边相等，不符合题意，B B菱形的对角线互相垂直且平分，不正确，菱形的对角线互相垂直且平分，不正确，C C菱形的对角线互相垂直且平分，不符合题意，菱形的对角线互相垂直且平分，不符合题意，D D菱形是轴对称图形，不符合题意，菱形是轴对称图形，不符合题意，故选：故选：B B7 7参考答案：关于参考答案：关于 x

19、x 的方程的方程 x x2 22x+m2x+m2 2 没有实数根，没有实数根，（2 2）2 27 71 1mm4 45m5m0 0，解得：解得：mm1 1，mm 只能为只能为故选：故选：D D8 8参考答案：把参考答案：把 4 4 张卡片分别记为：张卡片分别记为：A A、B B、C C、D D，画树状图如图：画树状图如图：，共有共有 1212 种等可能的结果，种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是两张卡片正面图案恰好是“天问”“天问”和和“九“九章”的结果有章”的结果有 2 2 种，种，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为故选：故选：

20、A A9 9参考答案：延长参考答案：延长 A AD D交交 y y 轴于点轴于点 E E，延长，延长 D DA A，如图，如图，第1010页（共3838页）A A（1 1，2 2），ADAD3 3，ODOD2 2，OAOA由题意：由题意：OAOAD DOADOAD，A AD DADAD5 5，OAOAOAOA9090则则 ODODA AE E，OAOA 平分平分A AOEOE，A AOEOE 为等腰三角形为等腰三角形OEOEOAOA，EDEDA AD D6 6，A AD DO OADOADOEOEOOCOC，ODODECEC，OEDOEDCEOCEO，0 0）OCOC2 2C C（3 3故选：

21、故选：B B1010参考答案：由函数图象知：当参考答案：由函数图象知：当 x x0 0，即，即 P P 在在 B B 点时点时在在PAEPAE中，中，三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之差小于第三边，第1111页（共3838页）PAPAPEPEAEAE，当且仅当当且仅当 P P 与与 E E 重合时有：重合时有：PAPA一一 PEPEAEAEy y 的最大值为的最大值为 AEAE，AEAE5 5在在 RtRtABEABE 中，由勾股定理得：中，由勾股定理得：BABA8 8+BE+BE2 2AEAE2 22525，设设 BEBE 的长度为的长度为 t t，则则 BABAt+8t+8，（

22、t+1t+1）2 2+t+t2 22525，即：即：t t2 2+t+t12120 0，（t+3t+3）（t t3 3）0 0，由于由于 t t4 4，t+4t+40 0，t t8 80 0，t t3 3BCBC8BE8BE2t2t2 23 36 6故选：故选：C C二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1111参考答案：依题意得：参考答案：依题意得：x x1 10 0，解得解得 x x8 8，故答案为：故答案为：x x1 11212参考答案：依题意，正比例函数的图象经过原点，参考答案：依题意，正比例函数的图象经过原点，如如 y yx x（答案不唯一）（

23、答案不唯一）第1212页（共3838页）故答案为：故答案为：y yx x （答案不唯一）（答案不唯一）1414参考答案：如图，圆心为参考答案：如图，圆心为 O O，OBOB，ODODOAOAOBOBODOD5 5，BOCBOC2 2BACBAC4545，的长的长故答案为：故答案为：1515参考答案：点参考答案：点D D恰好落在直角三角形纸片的恰好落在直角三角形纸片的 ABAB 边上时，设边上时，设A AC C 交交 ABAB 边于点边于点 E E，由题意：由题意：ADCADCA ADCDCA AD DC C，A AC C 垂直平分线段垂直平分线段DDDD则则D DA AC

24、CDADAC CA A6060，A AC CACAC1 1ACBACB9090，B B3030，BCBCACAC tanAtanA1 1tan60tan60ABAB2AC2AC2 2，CECE第1313页（共3838页），A AE EA AC CCECE6 6在在 RtRtA AD DE E 中，中，coscosD DA AE E，A AD D2A2AE E6 6点点 D D恰好落在直角三角形纸片的恰好落在直角三角形纸片的 BCBC 边上时，如图，边上时，如图，由题意：由题意：ADCADCA ADCDCA AD DC C，ACDACDA ACDCDA ACDCD；则则D DA AC CDADA

25、C CA A6060，A AC CACAC1 1D DA AC C6060，A ACDCD3030，A AD DC C9090，A AD DC C综上，线段综上，线段 A AD D的长为：的长为：故答案为：故答案为：或或 2 2三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 8 个小题，共个小题，共 7575 分）分）1616参考答案：参考答案：（1 1）原式）原式 +1+12 2；（2 2）原式）原式 第1414页（共3838页）1717参考答案：参考答案：（1 1）由统计图可知，抽取的这）由统计图可知，抽取的这500500 名学生平均每天睡名学生平均每天睡眠时间的中位数为第眠时间的中位数为第

26、 250250 个和第个和第 251251 个数据的平均数，个数据的平均数，故落在第组；故落在第组；睡眠达到睡眠达到 9 9 小时的学生人数占被调查人数的百分比为：小时的学生人数占被调查人数的百分比为：17%17%，故答案为：，故答案为：，17%17%（2 2）答案不唯一，言之有理即可）答案不唯一，言之有理即可例如：例如：该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；建议：建议：该校该校各学科授课老师精简家庭作业内容；各学科授课老师精简家庭作业内容；建议：建议：建议学生减少参加校建议学生减少参加校外培训班外培训班1818参考答案：参考答案：（1 1）反比例函数

27、）反比例函数 y y 的图象经过点的图象经过点 A A（1 1，2 2，k k2 2，反比例函数的解析式为反比例函数的解析式为 y y；（2 2）小正方形的中心与平面直角坐标系的原点）小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O O 重合，边分别重合，边分别与坐标轴平行，与坐标轴平行，设设 B B 点的坐标为（点的坐标为（mm，mm），反比例函数反比例函数 y y 的图象经过的图象经过 B B 点，点，mm，mm2 27 7，小正方形的面积为小正方形的面积为 4m4m2 25 5，第1515页（共3838页）100%100%大正方形的中心与平面直角坐标系的原点大正方形的中心与平面直角坐标系的原点 O

28、 O 重合，边分别与坐重合，边分别与坐标轴平行，标轴平行，2 2），大正方形在第一象限的顶点坐标为（大正方形在第一象限的顶点坐标为（2 2，2 2），大正方形的面积为大正方形的面积为 4 42 26 61616，图中阴影部分的面积大正方形的面积为小正方形的面积图中阴影部分的面积大正方形的面积为小正方形的面积16168 88 81919参考答案：根据题意可知：参考答案：根据题意可知：DABDAB4545，BDBDADAD，在在 RtRtADCADC 中，中，DCDCBDBDBCBC（ADAD4 4）mm，tantanDACDACtan37.5tan37.5，0.770.77，解得解得 ADAD1

29、7.4m17.4m，答：佛像的高度约为答：佛像的高度约为 17.4 m17.4 m2020【解答】【解答】（1 1）证明：如图，）证明：如图，连接连接 OPOP，延长，延长 BOBO 与圆交于点与圆交于点 C C，APAP 与与 O O 相切于点相切于点 P P，APOAPO9090，PAO+PAO+AOPAOP9090，第1616页（共3838页）MOMOCNCN，AOP+AOP+POCPOC9090，PAOPAOPOCPOC，OPOPOBOB，OPBOPBPBOPBO，POCPOCOPB+OPB+PBOPBO2 2PBOPBO，PAOPAO2 2PBOPBO，（2 2）

30、解：如图所示，）解：如图所示，连接连接 OPOP，延长，延长 BOBO 与圆交于点与圆交于点 C C，过点，过点 P P 作作 PDPDOCOC 于点于点 D D，则有：则有：AOAO，由（由（1 1）可知）可知POCPOCPAOPAO，RtRtPODPODRtRtOAPOAP，即，即，解得，解得 PDPD3 3，CDCDOCOCODOD1 1，在在 RtRtPDCPDC 中，中，PCPCCBCB 为圆的直径，为圆的直径，BPCBPC9090，第1717页（共3838页），BPBP故故 PCPC 长为长为 3 33 3，2121参考答案：参考答案：（1 1）设）设 A A 款玩偶购进款玩偶购进

31、 x x 个，个，B B 款玩偶购进（款玩偶购进（3030 x x）个，个，由题意，得由题意，得 40 x+3040 x+30（3030 x x）11001100，解得：解得：x x2020303020201010（个）（个）答：答：A A 款玩偶购进款玩偶购进 2020 个，个，B B 款玩偶购进款玩偶购进 1010 个；个；（2 2）设）设 A A 款玩偶购进款玩偶购进 a a 个，个，B B 款玩偶购进（款玩偶购进（3030a a）个，）个，由题意，得由题意，得 y y（56564040）a+a+（45453030）（3030a a）a+450a+450A A 款玩偶进货数量不得超过款玩

32、偶进货数量不得超过 B B 款玩偶进货数量的一半款玩偶进货数量的一半a a（3030a a），a a1010，y ya+450a+450k k6 60 0，y y 随随 a a 的增大而增大的增大而增大a a1010 时，时，y y 最大最大460460 元元B B 款玩偶为：款玩偶为：303010102020（个）（个）答：按照答：按照 A A 款玩偶购进款玩偶购进 1010 个、个、B B 款玩偶购进款玩偶购进 2020 个的方案进货才个的方案进货才能获得最大利润；能获得最大利润；（3 3）第一次的利润率）第一次的利润率第二次的利润率第二次的利润率100%100%42.7%42.7%，10

33、0%100%46%46%，第1818页（共3838页）46%46%42.6%42.6%，对于小李来说第二次的进货方案更合算对于小李来说第二次的进货方案更合算2222参考答案：参考答案：（1 1）将点）将点 A A 的坐标代入抛物线表达式得：的坐标代入抛物线表达式得：0 04+7m4+7m，解得：解得：mm2 2，将点将点 A A 的坐标代入直线表达式得：的坐标代入直线表达式得：0 02+b2+b，解得，解得 b b2 2；故故 mm2 2，b b6 6；（2 2）由（）由（1 1）得，直线和抛物线的表达式为：）得，直线和抛物线的表达式为：y yx+2x+22 25x5x，联立上述两个函数表达式

34、并解得联立上述两个函数表达式并解得即点即点 B B 的坐标为（的坐标为（2 2，3 3），从图象看，不等式从图象看，不等式 x x2 2+mx+mxx+b x+b 的解集为的解集为 x x4 4或或 x x2 2；（3 3）当点当点 MM 在线段在线段 ABAB 上时，上时，线段线段 MNMN 与抛物线只有一个公共点，与抛物线只有一个公共点，MNMN 的距离为的距离为 3 3，而，而 ABAB 的距离为的距离为 7 7，即，即1 1x xMM2 2；当点当点 MM 在点在点 B B 的左侧时，线段的左侧时，线段 MNMN 与抛物线没有公共点；与抛物线没有

35、公共点；当点当点 MM 在点在点 A A 的右侧时，的右侧时，当当 x xMM7 7 时，时，抛物线和抛物线和 MNMN 交于交于抛物线的顶点（抛物线的顶点（1 1，即，即x xMM3 3 时，线段时，线段MNMN 与抛物线只有一个公共与抛物线只有一个公共点，点，综上，综上，4 4x xMM2 2 或或 x xMM3 3（不合题意的值已舍去）（不合题意的值已舍去），第1919页（共3838页）考点卡片考点卡片1 1绝对值绝对值（1 1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值互

36、为相反数的两个数绝对值相等；互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于绝对值等于 0 0 的数有一个，的数有一个，没有没有绝对值等于负数的数绝对值等于负数的数有理数的绝对值都是非负数有理数的绝对值都是非负数（2 2）如果用字母）如果用字母a a 表示有理数，则数表示有理数，则数a a 绝对值要由字母绝对值要由字母 a a 本身的取本身的取值来确定：值来确定：当当 a a 是正有理数时，是正有理数时，a a 的绝对值是它本身的绝对值是它本身 a a；当当 a a 是负有理数时，是负有理数时，a a 的绝对值是它的相反数的绝对值是它的相反数

37、a a；当当 a a 是零时，是零时，a a 的绝对值是零的绝对值是零即即|a|a|aa（a a0 0）0 0（a a0 0）a a（a a0 0）2 2科学记数法表示较大的数科学记数法表示较大的数（1 1）科学记数法：把一个大于）科学记数法：把一个大于 1010 的数记成的数记成 a a1010n n的形式，其中的形式，其中 a a是整数数位只有一位的数，是整数数位只有一位的数，n n 是正整数，这种记数法叫做科学记数是正整数，这种记数法叫做科学记数法法【科学记数法形式：【科学记数法形式：a a1010n n，其中，其中 1 1a a1010，n n 为正整数为正整数】（2 2）规律方法总结

38、：）规律方法总结：科学记数法中科学记数法中 a a 的要求和的要求和 1010 的指数的指数 n n 的表示规律为关键，的表示规律为关键，由于由于 1010的指数比原来的整数位数少的指数比原来的整数位数少 1 1；按此规律，按此规律，先数一下原数的整数位数，先数一下原数的整数位数，即可求出即可求出 1010 的指数的指数 n n第2020页（共3838页）记数法要求是大于记数法要求是大于 1010 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于于 1010 的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号3 3实数的运算实数的

39、运算（1 1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方数可以开平方（2 2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律

40、在实数范围内仍然适用另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用【规律方法】实数运算的“三个关键”【规律方法】实数运算的“三个关键”1 1运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，数，0 0 指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等化简等2 2运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，无论何种运算，

41、都要注意先定都要注意先定符号后运算符号后运算3 3运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度度4 4合并同类项合并同类项（1 1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项第2121页（共3838页）（2 2）合并同类项的法则：合并同类项的法则：把同类项的系数相加，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变字母和字母的指数不变（3 3）合并同类项时要注意以下三点：）合并同类项时要注意以下三点：要掌握同类项的概念，要掌握同类项的概念，会辨别

42、同类项，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；“合并”“合并”是指同类项的系数的相加，是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变要保持同类项的字母和字母的指数不变5 5同底数幂的乘法同底数幂的乘法

43、（1 1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加a amm a an na am+nm+n（mm，n n 是正整数）是正整数）（2 2）推广：）推广：a amm a an n a ap pa am+n+pm+n+p（mm，n n，p p 都是正整数）都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：底数必须相同，如在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：底数必须相同，如 2 23 3与与2 25 5，（a a2 2b b2 2）3 3 与（与（a a2 2b b2 2）4 4，（x xy y）2 2与（与（x xy y）3 3等；等

44、；a a 可以是单可以是单项式，项式，也可以是多项式；也可以是多项式；按照运算性质，按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，只有相乘时才是底数不变，指数相加指数相加（3 3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时学好整式运算的关键在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂6 6完全平方公式完全平方公式（1 1）完全平方公式：）完全平方公式：（a ab b）2 2a

45、 a2 22ab+b2ab+b2 2第2222页（共3838页）可巧记为：可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”“首平方，末平方，首末两倍中间放”（2 2）完全平方公式有以下几个特征：左边是两个数的和的平方；）完全平方公式有以下几个特征：左边是两个数的和的平方；右边是一个三项式，右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，都为正，中中间一项是两项积的间一项是两项积的 2 2 倍；其符号与左边的运算符号相同倍；其符号与左边的运算符号相同（3 3）应用完全平方公式时，要注意：公式中的）应用完全平方公式时，要注意：公式中的 a a，b b 可是单项式，

46、可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；这个公式；对于三项的可以把其中的两项看做一项后，对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完也可以用完全平方公式全平方公式7 7分式有意义的条件分式有意义的条件（1 1）分式有意义的条件是分母不等于零）分式有意义的条件是分母不等于零（2 2）分式无意义的条件是分母等于零）分式无意义的条件是分母等于零（3 3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号）分式的值为正数的条件是分子、分母同号（4 4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号）分式的值为负数的条件是分子

47、、分母异号8 8分式的混合运算分式的混合运算（1 1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的（2 2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式分式或整式（3 3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算的特点，运用乘法的运算律进行灵活

48、运算【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1 1注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，第2323页（共3838页）有括号的先算括号里面的有括号的先算括号里面的2 2注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式分子、分母注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式3 3注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题

49、目的特点，有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程会简化运算过程9 9零指数幂零指数幂零指数幂：零指数幂：a a0 01 1（a a0 0）由由 a amma amm1 1，a amma amma ammmma a0 0可推出可推出 a a0 01 1（a a0 0）注意：注意：0 00 01 11010负整数指数幂负整数指数幂负整数指数幂：负整数指数幂：a ap p1ap1ap（a a0 0，p p 为正整数）为正整数）注意：注意：a a0 0；计算负整数指数幂时，计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，一定要根据负整数指数幂的意义计算

50、，避免避免出现（出现（3 3）2 2（3 3）（）（2 2）的错误）的错误当底数是分数时，当底数是分数时，只要把分子、只要把分子、分母颠倒，分母颠倒，负指数就可变为正指数负指数就可变为正指数在混合运算中，始终要注意运算的顺序在混合运算中，始终要注意运算的顺序1111二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1 1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系（2 2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来）设元：找出题中的两个关键的未