绝对值不等式与柯西不等式 (2).pdf

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1、绝对值不等式与柯西不等式一、基础训练1【题文】设【答案】，所以，得，且，则的最小值为_.试题分析：由柯西不等式得：，所以考点：柯西不等式.，故答案为.2【题文】【答案】【解析】试题分析：因为取等号，所以所以，因此的取值范围为.，又，当且仅当，若，则的取值范围为_.考点：含绝对值不等式的性质3【题文】(1).（不等式选做题）对任意A【答案】C【解析】试题分析：因为时取等号，所以考点：含绝对值不等式性质，当且仅当的最小值为，选 C.B,C的最小值为（）D4【题文】不等式【答案】.的解集为.【解析】试题分析：令（1）当（2）当（3）当时，由时，时，由得得，则，解得，此时有；，此时不等式无解；，解得的

2、解集为，此时有.；综上所述，不等式【考点定位】本题考查含绝对值不等式的求解，属于中等题.5【题文】（本小题满分 7 分）选修 45：不等式选将已知定义在 R 上的函数（I）求的值；（II）若【答案】（I）【解析】试题分析：（I）已知定义在R 上的函数数的最小值.即可得到结论.（II）由（I）可得试题解析：（I）因为所以的最小值等于 3,即.,又因为是正数,所以,即考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.,再根据柯西不等式即可得到结论.,当且仅当时,等号成立,的最小值,由绝对值的性质可得函为正实数，且;（II）参考解析，求证：.的最小值为.（II）由（I）知6【题文】设函数的解集为 N.，记的解

3、集为 M，（1）求 M；（2）当时，证明：.【答案】（1）【解析】试题分析：（1）不等式得不等式解集；（2）详见解析.变形为，然后分类讨论去绝对号解不等式；（2）解不等式，得故当时，此时代入中为二次函数，求其最大值即可（1）当时，当时，由得故；由得，故所以的解集为（2）由得，故当时，故考点：1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值7【题文】若函数的最小值 3，则实数的值为（）A5 或 8【答案】D【解析】B或 5C或D或试题分析：由题意，当时，即，则当时，解得或（舍）；当时，即，则当时，解得时，即故选 D.考点：1.绝对值函数的最值；2.分类讨论思想应用.，此时（舍）或，不满足题意，所以；当或，

4、【题文】设函数（1）证明：（2）若；，求的取值范围【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由绝对值三角不等式得，由结合基本不等式得，故；（2）由，得关于的不等式，去绝对号解不等式即可（1）由，有，所以（2）当时，由得当时，由得综上，的取值范围是考点：1、绝对值三角不等式；2、基本不等式；3、绝对值不等式解法8【题文】若不等式_.对任意实数恒成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】试题分析：令线部分），其图象如下所示（图中的实由图可知：由题意得：，解这得:所以答案应填：考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.9【题文】设函数（1）证明：（2）若=2；，求的取值范

5、围.【答案】（2），从而得的取值【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出出结论；对第（2）问，由范围.去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：时，取等号，所以.，当且仅当（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.10题号：2162181，题型：填空题，难度：一般标题标题/来源：来源：20142014 年全国普通高等学校招生统一考

6、试理科数学年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析）（辽宁卷带解析），日期：日期：2014/6/202014/6/20【题文】对于，当非零实数 a，b 满足，且使最大时，的最小值为.【答案】【解析】试题分析：法一：判别式法：令得，则，即，代入到中，因为关于的二次方程有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，当时，综上可知当时，法二：柯西不等式：由可得：，当且仅当时取等号，即时，取等号，这时或当时，当时，综上可知当考点：柯西不等式.时，11【题文】已知，则满足且的概率为.【答案】【解析】试题分析：因为满足且的平面区域是一个矩形，面积为，而圆的半径为 2，面积为，根据古典概型公式得所求

7、的概率为.考点：古典概型,简单的线性规划，圆的面积公式.12【题文】设 a、b、c 为正数，a+b+9c=1，则此时 a+b+c=.2的最大值是，【答案】【解析】试题分析：由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以考点：柯西不等式.的最大值是，此时.13【题文】若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是。【答案】【解析】试题分析：解：不等式令当至少有一个正解等价于不等式，和在内有解，时，在同一坐标系中画出函数的图象如图一所示，由题意知即当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图二所示，由题意知方程组有两组不同的解，消去得，由得：，即综上：，所以答案应填考点：1、含绝对值的不等式；2、等价

8、转化与数形结合的思想.14【题文】不等式【答案】【解析】试题分析：因为不等式对任意实数恒成立，所以，利用绝对值的几何意义可知（当且仅当求解得到或，而，所以.时等号成立），从中对任意实数恒成立，则正实数的取值范围.考点：1.恒成立问题；2.绝对值的三角不等式；3.二次不等式.15【题文】已知函数（1）解不等式（2）若不等式；,都成立，求实数的取值范围【答案】（1）【解析】；（2）-1m2,则关于实数 x 的不等式【答案】R【解析】考察绝对值不等式的基本知识。，函数.所以，不等式的解集为 R。的值域为：的解集是.29【题文】在实数范围内，不等式【答案】【解析】.考点：本题主要考查绝对值不等式的解法

9、，考查运用能力.因此解集为的解集为_.30【题文】若关于的不等式【答案】存在实数解，则实数的取值范围是【解析】先确定当当当时，时，时，的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可；，所以只要，解得或，综上可得即实数的取值范围是31【题文】设不等式|x2|a(aN)的解集为 A,且(1)求 a 的值;(2)求函数 f(x)=|x+a|+|x2|的最小值.【答案】（1）1（2）3*A,A.【解析】(1)因为所以 a=1.A,且,所以|2|a,且|2|a,解得1.(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)4|x4|的解集;(2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)2f(x)|2 的解集为x|1x2,求

10、a 的值.【答案】(1)x|x1 或 x5.(2)3【解析】(1)当 a=2 时,f(x)+|x4|=当 2x4 时,f(x)4|x4|无解;当 x2 时,由 f(x)4|x4|得2x+64,解得 x1;当 x4 时,由 f(x)4|x4|得 2x64,解得 x5;所以 f(x)4|x4|的解集为x|x1 或 x5.(2)记 h(x)=f(2x+a)2f(x),则 h(x)=由|h(x)|2,解得x又已知|h(x)|2 的解集为x|1x2.所以=1 且=2于是 a=3.33【题文】在实数范围内,不等式【答案】0,4【解析】由绝对值的性质知：|x2|1|11|x2|110|x2|22x22（其中

11、0 x4的解集为.34【题文】已知关于 x 的不等式（1）当时，求不等式的解集；）（2）若不等式有解，求实数的取值范围【答案】（1）x|4x【解析】；（2）试题分析：本题主要考查对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，先将 a=4 代入，得到等式有解转化为，然后用零点分段法解绝对值不等式，分情况讨论，解不等式组；第二问，将不，用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，结合图形，求出函数的最小值，代入到所转化的表达式中，利用对数函数的单调性解对数不等式（1）当 a=4 时，不等式即|2x+1|x 1|2，

12、当 x时，不等式为 x 22，解 得4x；当x1 时，不等式为 3x2，解得x；当 x1 时，不等式为 x+22，此时 x 不存在综上，不等式的解集为x|4x 5 分（2）设 f（x）=|2x+1|x 1|=故 f（x）的最小值为，所以，当 f（x）log2a 有解，则有，解得 a，即 a 的取值范围是。10 分考点：对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法35【题文】已知关于 x 的不等式【答案】【解析】试题分析：解：由关于 x 的不等式即 a 的最小值是，所以答案应填的解集不是空集得：的解集不是空集，则 a 的最小值是_。考点：1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的

13、解法36【题文】已知函数（1）当时，解不等式.；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）【解析】试题分析：（1）将代入函数；（2）.的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对，利用双绝对值函数值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为的最小值为，于是得到即可.，问题转化为来求解，解出不等式（1）由得，或，或，解得：或，原不等式的解集为，；（2）由不等式的性质得：要使不等式恒成立，则解得：或所以实数的取值范围为.考点：1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立37【题文】函数（1）若，求函数的定义域；（2）设【答案】（1）【解析】试题分析：（1）由，当实数，或;（2）参考解

14、析时，求证：，绝对值的零点分别为-1 和-2.所以通过对实数分三类分别去绝对值可求得结论.（2）由（1）可得定义域 A.又，当实数，所以可以求得实数，的范围.需求证：即可得到结论.（1）由解得或 5 分，等价于平方的大小比较，通过求差法，又（2），又及分，10考点：1.绝对值不等式.2.求差法比较两个数的大小.38【题文】若【答案】【解析】试题分析：考点：柯西不等式，则函数的最大值为 39【题文】若不等式【答案】【解析】试题分析：因为时等号成立），不等式即范围为.（当且仅当恒成立，所以的取值即恒成立，则的取值范围为 考点：绝对值不等式.40【题文】对于实数A4【答案】B【解析】试题分析：因为，

15、若B6，则C8的最大值为（）D10又因为考点：绝对值不等式.，可得，故选 B.41【题文】函数数的值为.【答案】3【解析】试题分析：将代入，解之得，故考点：不等式选讲.再将代入得且得其解集为，若不等式的解集为，则实42【题文】若存在实数使【答案】【解析】由又因为存在实数使成立则，则成立，则实数的取值范围_【考点】绝对值不等式；存在性问题.43【题文】已知，且求证：【答案】详见解析【解析】试题分析：由柯西不等式得试题解析：因为，8 分当且仅当所以，即 10 分时，取等，考点：利用柯西不等式证明（难题）43【题文】已知【答案】详见解析【解析】，求证试题分析：利用分析法或作差法证明不等式.即，而显然

16、成立，【证明】因为即证即证即证而，所以，5 分，所以要证，显然成立，故考点：不等式相关知识 10 分44【题文】若不等式【答案】的解集为，则的取值范围为_;【解析】试题分析：令的解集为，则的取值范围为，则.；若不等式考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题.45【题文】若不等式AB对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是CD【答案】C【解析】试题分析：不等式.解得对于一切非零实数均成立.由.故选 C.所以考点：1.绝对值不等式.2.恒成立问题.45【题文】已知【答案】1.【解析】，且，求的最小值试题分析：观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件，此时，由柯西不等式得化为，即，当且仅当

17、，即，或时，等号成立，从而可得试题解析：,的最小值为 1.,，当且仅当，或时的最小值是 1.考点：柯西不等式.46【题文】已知函数（1）求（2）设函数围【答案】（1）【解析】试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、分段函数图象、直线图象等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力和数形结合思想.第一问，先将被开方数写成完全平方式，开方需要加绝对值，解绝对值不等式，利用零点分段法去掉绝对值符号，解不等式组；第二问，“对任意的都成立”转化为“的图象恒在图象的或；（2）.的解集；，若对任意的都成立，求的取值范上方”利用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，画出分段函数图象，而恒过（3,0）点，将取值

18、范围.试题解析：（1）即的直线绕（3,0）点旋转，找出符合题意的位置，得到 k 的解得不等式：所以或；：无解：的解集为或或 5 分（2）即的图象恒在图象的上方图象为恒过定点图象如图,其中由图可知，要使得实数的取值范围为的图象恒在，且斜率变化的一条直线作函数，图象的上方，10 分考点：绝对值不等式的解法、分段函数图象、直线图象.47【题文】已知函数实数的取值范围为【答案】【解析】试题分析：，解此不等式得考点：含绝对值的不等式性质或，即的最小值等于 4，所以.若关于的不等式的解集为空集，则.故实数的取值范围为3，5.48【题文】若实数a，b，c，d 满足【答案】2【解析】试题分析：由柯西不等式可得

19、：，所以由条件可得：，解得，则a 的最大值为 a 的最大值是 2.考点：柯西不等式49【题文】设 a,b,c,dR,若 a+d=b+c,且|a-d|bc【答案】C【解析】选 C.|a-d|b-c|(a-d)(b-c)a+d-2adb+c-2bc,又因为 a+d=b+c(a+d)=(b+c)a+d+2ad=b+c+2bc,所以-4adbc.222222222222Bad5.【答案】(-,-1)(4,+)【解析】根据绝对值的几何意义,|x-1|表示数轴上的点 x 到点 1 的距离,|x-2|表示数轴上的点 x到点 2 的距离,所以不等式的解集为数轴上到 1 的距离与到 2 的距离的和大于 5 的实

20、数的集合,所以不等式的解集为(-,-1)(4,+).51号：2075407，题型：解答题，难度：困难标题标题/来源：来源：2013-20142013-2014 学年人教学年人教 A A 版高中数学选修版高中数学选修 4-54-5 课时提升课时提升 1-21-2 练习卷（带解析），日期：练习卷（带解析），日期：2014/5/112014/5/11【题文】已知实数 a,b 满足:关于 x 的不等式|x+ax+b|2x-4x-16|对一切 xR 均成立.(1)请验证 a=-2,b=-8 满足题意.(2)求出所有满足题意的实数 a,b,并说明理由.(3)若对一切 x2,均有不等式 x+ax+b(m+2

21、)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围.【答案】(1)见解析(2)a=-2,b=-8，理由见解析(3)(-,2【解析】(1)当 a=-2,b=-8 时,有|x+ax+b|=|x-2x-8|2|x-2x-8|=|2x-4x-16|.(2)在|x+ax+b|2x-4x-16|中,分别取 x=4,x=-2,222222222得所以 a=-2,b=-8,所以,因此满足题意的实数 a,b 只能是 a=-2,b=-8.(3)由 x+ax+b(m+2)x-m-15(x2),所以 x-2x-8(m+2)x-m-15,即 x-4x+7m(x-1),222所以对一切 x2,均有不等式m 成立,而=(x-1)

22、+-22-2=2(当且仅当 x=3 时等号成立),所以实数 m 的取值范围是(-,2.52【题文】已知 aR,设关于 x 的不等式|2x-a|+|x+3|2x+4 的解集为 A.(1)若 a=1,求 A.(2)若 A=R,求 a 的取值范围.【答案】(1)A=x|x0,x2(2)a-2【解析】(1)当 x-3 时,原不等式为-3x-22x+4,得 x-3,当-3x 时,原不等式化为 4-x2x+4,得-3 时,3x+22x+4,得 x2,综上,A=x|x0,x2.(2)当 x-2 时,|2x-a|+|x+3|02x+4 成立.当 x-2 时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+32x+

23、4,得 xa+1 或 x,所以 a+1-2 或 a+1,得 a-2.综上,a 的取值范围为 a-2.53【题文】在实数范围内,不等式|x-2|-1|1 的解集为.【答案】0,4【解析】【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.解：由绝对值的意义,|x-2|-1|1 等价于 0|x-2|2,即-2x-22,即 0 x4.54【题文】已知函数 f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数 f(x)-g(x)m+1 的解集为 R,求 m 的取值范围.【答案】(-,-3【解析】【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求 f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.f(x)

24、-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,解：因为 xR,由绝对值三角不等式得 f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有 m+1-2,得 m-3,即 m 的取值范围是(-,-3.55【题文】已知函数 f(x)=x-x+13,|x-a|1.求证:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).【答案】见解析【解析】证明：|f(x)-f(a)|=|x-x+13-(a-a+13)|=|x-a-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|x+a-1|x+a-1|=|x-a+2a-1|x-a|+|2a-1|1+|2a|+1

25、=2(|a|+1),所以|f(x)-f(a)|2(|a|+1).2222256【题文】已知 f(x)=3x+1,若当|x-1|b 时,有|f(x)-4|a,a,b(0,+),则 a,b 满足的关系为.【答案】a-3b0【解析】因为|f(x)-4|=|3x-3|=3|x-1|a,所以|x-1|,又当|x-1|b 时,有|f(x)-4|a,即|x-1|b|x-1|,所以 b.57【题文】不等式|x+3|+|x-1|a-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为()A-1,4C(-,-25,+)【答案】A【解析】选 A.由绝对值的几何意义易知|x+3|+|x-1|的最小值为 4,所以不等

26、式|x+3|+|x-1|a-3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a-3a4,解得-1a4.222B(-,-14,+)D-2,558【题文】已知实数 a,b 满足 ab|a-b|C|a-b|a|-|b|【答案】B【解析】选 B.因为 ab0,所以|a-b|=|a|+|b|,又|a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|=|a-b|.B|a+b|a-b|D|a-b|a|+|b|59【题文】设正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则【答案】1+的最小值为.【解析】因为 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.于是(3a+2)+(3b+2)+

27、(3c+2)33=9,当且仅当 a=b=c=时等号成立,即+1,故+的最小值为 1.60【题文】设 AxZ|x2|5，则 A 中最小元素为()A2B3C7D0【答案】B【解析】由|x2|5，得3x7，又 xZ，A 中的最小元素为3，选 B.61【题文】已知不等式|2xt|t10 的解集为A0B-1C-2D-3【答案】A，则 t()【解析】|2xt|1t，t12xt1t，即 2t12x1，t0，选 A.，62【题文】若关于 x 的不等式|x2|xa|a 在 R 上恒成立，则 a 的最大值是（）A0B1C1D2【答案】B【解析】由于|x2|xa|a2|，等价于|a2|a，解之得 a1.故实数 a 的最大值为 1，选 B.