2020届山东省日照市高三一模数学试题(解析版).pdf

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1、20202020 届山东省日照市高三一模数学试题届山东省日照市高三一模数学试题一、单选题一、单选题1 1已知复数已知复数z满足满足z12ii,则复数则复数z在复平面内对应点所在的象限是在复平面内对应点所在的象限是()A A第一象限第一象限【答案】【答案】A【解析】【解析】把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由z12ii，B B第二象限第二象限C C第三象限第三象限D D第四象限第四象限得z i12ii2i，=12i55 2 15 5复数 z 在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限故选：A【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2 2已知集合已知集合M

2、 x|x 2x 0，N 2,1,0,1,2，则，则MA A【答案】【答案】B【解析】【解析】可以求出集合 M，然后进行交集的运算即可【详解】由 M中不等式得xx2 0，解得0 x 2，即M (0,2)，B B12N（），0，1D D11C C0，M N 1，故选 B【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算3 3南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：理：“幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异”.”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平其含义是

3、：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2，被平，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2，则，则“S1,S2总相等总相等”是是“V1,V2相等相等”的（的（）A A充分不必要条件充分不必要条件C C充分必要条件充分必要条件【答案】【答案

4、】AB B必要不充分条件必要不充分条件D D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.【详解】根据祖暅原理，当S1,S2总相等时，V1,V2相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“S1,S2总相等”是“V1,V2相等”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.4 4已知圆已知圆C:x2 y21，直线，直线l:ax y 4 0若直线若直线l上存在点上存在点M，以，以M为圆为圆心且半径为心且半径

5、为 1 1 的圆与圆的圆与圆C有公共点，则有公共点，则a的取值范围（的取值范围（）A A,3 3,B B3,3C C,33,【答案】【答案】CD D 3,3【解析】【解析】由已知可得直线l上存在点M，使得|MC|2，转化为圆心C到直线l的距离d 2，求解即可.【详解】直线l上存在点M，以M为圆心且半径为 1 的圆与圆C有公共点，则|MC|2，只需|MC|min 2，即圆C:x y 1的圆心到直线l:ax y 4 0的距离d 2，22d 4a21 2,a2 3,a 3或a 3.故选：C.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，考查计算求解能力，属于基础题.5 5当当a 1时，时，在

6、同一坐标系中，函数在同一坐标系中，函数y ax与与y logax的图像是（的图像是（）A AB BC CD D【答案】【答案】D【解析】【解析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.【详解】由于a 1，所以y ax 1 为R上的递减函数，且过0,1；y logax为ax0,上的单调递减函数，且过1,0，故只有 D选项符合.故选：D.【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.x6 6已知已知fx x2，a f log35，b flog31，c fln3，则，则a,b,c的的2大小关系为（大小关系为（）A Ac b aB Bb c aC

7、Ca b cD Dc a b【答案】【答案】D【解析】【解析】分类讨论得到分段函数解析式，可确定当x 0时，fx0，由此得到b 0；利用导数可求得fx在0,上单调递增，由对数函数性质可确定log35 ln3，由此得到大小关系.【详解】x2x,x 0当x 0时，fx 0；由题意得：fx 1 x，当x 0时，fx0；x,x 02log31 1 log31 0，b flog3 0；22xxx当x 0时，f x 2 x2 ln2 21 xln2 0，fx在0,上单调递增，0 log31 log35 1 lne ln3，fln3 f log35 0；综上所述：c a b.故选：D.【点睛】本题考查根据函

8、数的单调性比较函数值大小的问题，涉及到对数函数性质的应用，关键是能够利用导数求得函数的单调性，将函数值的大小关系问题转化为自变量的大小的比较.7 7已知函数已知函数f(x)2sinx和和g(x)2cosx（0）图象的交点中，任意连）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到为了得到y g(x)的图象，只需把的图象，只需把y f(x)的图象（的图象（）A A向左平移向左平移 1 1 个单位个单位C C向右平移向右平移 1 1 个单位个单位【答案】【答案】A【解析】【解析】如图所示，计算f(x)g(x)得到x 点，A个单位个单

9、位2D D向右平移向右平移个单位个单位2B B向左平移向左平移k,kZ，取靠近原点的三个交45323 5,1，C,1，B,1，得到 4，故，244444根据平移法则得到答案.【详解】如图所示：f(x)2sinx g(x)2 cosx，故tanx 1，x k,kZ.43 5,1，C,1，B,1，444取靠近原点的三个交点，AABC为等腰直角三角形，故故f(x)532 4，故，2442sin2x，g(x)2cosx 2sinx，222故为了得到y g(x)的图象，只需把y f(x)的图象向左平移 1 个单位.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数图像，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合

10、应用.8 8如图，在直角坐标系如图，在直角坐标系xOy中，一个质点从中，一个质点从Aa1,a2出发沿图中路线依次经过出发沿图中路线依次经过Ba3,a4，Ca5,a6，Da7,a8，a2017a2018a2019a2020（），按此规律一直运动下去，则，按此规律一直运动下去，则A A20172017B B20182018C C20192019D D20202020【答案】【答案】C【解析】【解析】由已知点坐标，得出an的前 8 项，归纳出数列an项的规律，即可求解.【详解】由直角坐标系可知，A1,1，B1,2，C2,3，D2,4，E3,5，F3,6，即a11，a21，a3 1，a4 2，a5 2

11、，a63，a7 2，a8 4，由此可知，数列中偶数项是从1 开始逐渐递增的，且都等于其项数除以 2，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为20204505，则a2019 505，所以a2017 505，a20181009，a20201010，a2017a2018a2019a2020 2019.故选：C【点睛】本题考查归纳推理问题，关键是找到规律，属于基础题.二、多选题二、多选题9 9为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了2020名肥胖者，测量了他们的体重（单名肥胖者，测量了他们的体重

12、（单位：千克）位：千克）健身之前他们的体重情况如三维饼图（健身之前他们的体重情况如三维饼图（1 1）所示，经过半年的健身后，他们）所示，经过半年的健身后，他们的体重情况如三维饼图（的体重情况如三维饼图（2 2）所示，对比健身前后，关于这）所示，对比健身前后，关于这2020 名肥胖者，下面结论正确名肥胖者，下面结论正确的是（的是（）A A他们健身后，体重在区间他们健身后，体重在区间90,100内的人数不变内的人数不变B B他们健身后，体重在区间他们健身后，体重在区间100,110内的人数减少了内的人数减少了 2 2 个个C C他们健身后，体重在区间他们健身后，体重在区间110,120内的肥胖者体

13、重都有减轻内的肥胖者体重都有减轻D D他们健身后，这他们健身后，这 2020位肥胖着的体重的中位数位于区间位肥胖着的体重的中位数位于区间90,100【答案】【答案】ACD【解析】【解析】根据饼图分别求出 20名肥胖者在健身前和健身后在各区间体重的人数，逐项验证，即可得出答案.【详解】图（1）中体重在区间90,100，100,110，110,120内的人数分别为 8，10，2；图（2）中体重在区间80,90，90,100，100,110内的人数分比为为 6，8，6；故选：ACD【点睛】本题考查识图能力，考查统计知识，准确理解图形是关键，属于基础题.1010为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生

14、到古都西安游学为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学 在某景区，由于时在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一 1 1 班的班的 2727名同学决名同学决定投票来选定游览的景点，定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选得票数高于其它景点的入选 据据了解，若只游览甲、乙两个景点，有了解，若只游览甲、乙两个景点，有1818人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有1919人会选择乙，那么关于这轮投票

15、结果，下列说法正确的是（人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（）A A该班选择去甲景点游览该班选择去甲景点游览C C丙景点的得票数不会比甲景点高丙景点的得票数不会比甲景点高【答案】【答案】AC【解析】【解析】根据已知可得出游览两个景点时乙和丙选择的人数，得出游览三个景点时，选择乙和丙的人数的范围，即可得出结论.【详解】由已知只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为9 人，则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于9人；若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为8 人，则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于8人，所以选择甲的一定大于等于1

16、0人.B B乙景点的得票数可能会超过乙景点的得票数可能会超过 9 9D D三个景点的得票数可能会相等三个景点的得票数可能会相等故选：AC【点睛】本题以数学文化为背景，考查推理与证明，属于基础题.1111若定义在若定义在R R上的函数上的函数fx满足满足f0 1，其导函数其导函数f x满足满足f x m 1，则下列成立的有（则下列成立的有（）A Af 1 1mmm11m1m1B Bf 1 1m1 0m1C CfD Df【答案】【答案】AC【解析】【解析】由已知条件，构造函数gx fxmx，可得g(x)在R R上单调性，利用函数的单调性，结合m的取值范围，得到g 1 1,g的范围，进而求出mm1

17、1 f,m1f的范围，即可求出结论.m1【详解】设gx fxmx，则gx f xm 0，故函数gx fxmx在R R上单调递增，且1 0，m 1 g g0，故m而 1 f1 1，fm 1 0，m1m 1 1m 0，f，故 A正确，B 错误mmm11 0，故g g0，m1m1所以fm1 1，m1m111f 0，m1m1故 C 正确，D错误故选：AC.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用，构造函数是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.x2y21212已知双曲线已知双曲线1nN N*，不与，不与x轴垂直的直线轴垂直的直线l与双曲线右支交于点与双曲线右支交于点B，

18、nn（B在在x轴上方，轴上方，C在在x轴下方）轴下方），与双曲线渐近线交于点与双曲线渐近线交于点A，D（A在在x轴上方）轴上方），C，O为坐标原点，下列选项中正确的为（为坐标原点，下列选项中正确的为（）A AAC BD恒成立恒成立B B若若SBOC1SAOD，则，则AB BC CD3C CAOD面积的最小值为面积的最小值为 1 1D D对每一个确定的对每一个确定的n，若，若AB BC CD，则，则AOD的面积为定值的面积为定值【答案】【答案】ABD【解析】【解析】对于 A 选项，设直线l方程为y kx b，分别与双曲线方程以及双曲线的渐近线方程联立，求出BC,AD中点坐标，并判断是否相等即可；

19、对于B 选项，由11SBOCSAOD，得到BC AD，结合 A选项的结果，即可判断选项B是否正33确；对于 C选项，设直线l方程为x ty m，t(1,0)(0,1),m 1，直线l分别与渐近线方程联立，求出A,D坐标，进而求出AOD的面积，根据t,m的范围，求出AOD的面积的范围即可；对于D选项，由已知可得BC 方程，得到n,b,k关系，求出AOD的面积即可.【详解】22设l:y kxb，代入x y n得1k1AD，利用选项 A 的32x22bkxb2n 0，显然k 1，4b k 4 1k222b2n 0，即b2n1k2 0，设Bx1,y1，Cx2,y2，则x1，x2是方程的两个根，2kb

20、b2n有x1 x2，x x，21221k1ky kxbb设Ax3,y3，Dx4,y4，由得x3，y x1k由y kxbb，得x4；1ky x2kb，所以AD和BC的中点重合，1k2所以x3 x4所以AB CD，所以AC BD恒成立故 A正确因为AD和BC的中点重合为P，所以AB CD，又SBOC11SAOD，所以BC AD，33所以AB BC CD，故 B正确设直线l方程为x ty m，t(1,0)(0,1),m 1，x tymx tymmm由得y3，由得y4，y xy x1t1tOA 2mm，OD 2，AOD 90，1t1tSAOD1m22|OA|OD|m 1，故 C错误.221t因为AB

21、BC CD，所以BC 1AD，得319n1k2x1 x21k2x3 x4，即b2k21 0，382bb，OD 2，AOD 90，1k1k所以n 0，k21，又OA 所以SAOD1b29nOA OD 是定值故 D 正确221k8故选：ABD.【点睛】本题考查双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系，应用根与系数关系是解题的关键，考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.三、填空题三、填空题1313已知向量已知向量m a,1，n 1,3，若，若m n，则，则a _【答案】【答案】3【解析】【解析】根据向量垂直坐标表示，即可求解.【详解】因为m n，所以a30，即a 3.故答案为：3【点睛】本题考查向量坐

22、标运算，属于基础题.1414【答案】【答案】展开式中的常数项为展开式中的常数项为_.【解析】【解析】利用通项公式即可得出【详解】通项公式 Tr+1（x2）6r（1）rx123r，令 123r0，解得 r4展开式中的常数项故答案为 15【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题1515若点若点M在平面在平面外，过点外，过点M作面作面的垂线，则称垂足的垂线，则称垂足N为点为点M在平面在平面内的内的正投影，记为正投影，记为N fM.如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD A1B1C1D1中，记平面中，记平面15AB1C1D为为，平面，平面ABCD为为

23、，点，点P是棱是棱CC1上一动点（与上一动点（与C,C1不重合）不重合），Q1 ffP.给出下列三个结论：线段给出下列三个结论：线段PQ2长度的取值范长度的取值范fP，Q2 f12围是围是,；存在点；存在点P使得使得PQ1/平面平面；存在点；存在点P使得使得PQ122结论的序号是结论的序号是_._.PQ2.其中正确其中正确【答案】【答案】【解析】建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，利用向量法验证各个结论，即可得到结果.【详解】过P作PE C1D，垂足为E；过E作EM/CC1，交CD于M；连接CD1，交C1D于O，如下图所示：AD平面CDD1C1，PE 平面CDD1C1，PE AD，又PE C

24、1D，AD,C1D 平面AB1C1D，ADC1D D，PE 平面AB1C1D，EM/CC1，CC1平面ABCD，EM 平面ABCD，M ffP，M即为Q1；四边形CDD1C1为正方形，CD1C1D，AD平面CDD1C1，CD1平面CDD1C1，CD1 AD，又AD,C1D 平面AB1C1D，ADC1D D，CO 平面AB1C1D，O ffP，O即为Q2.以C为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，11 1aQQ,0,P 0,0,aC 0,0,0CP a 0 a 1设，222，12,0,0，则，1a1a E,0,，22111 111对于，PQ2a，a0,1，a,，244 24212 PQ2

25、,，正确；22对于，22 11 CQ2平面，平面的一个法向量CQ2,0,，221111a,0,a，令PQ CQ 0，即aa 0，124422又PQ1解得：a 10,1，存在点P，使得PQ1/平面，正确；31a 11PQ,0,aPQ 对于，1，2,0,a，222令PQ1PQ21a131aa2 a2a 0，方程无解，4244PQ2，错误.不存在点P，使得PQ1故答案为：.【点睛】本题考查立体几何中的线段长度、线面关系和线线关系问题的求解，关键是能够应用空间向量法构造方程求出是否存在满足题意的点，属于较难题.四、双空题四、双空题1616直线直线l过抛物线过抛物线C:y 2pxp 0的焦点的焦点F1,

26、0，且与，且与C交于交于M，N两点，两点，2则则p _，MF1的最小值是的最小值是_9NF【答案】【答案】2【解析】【解析】由抛物线焦点坐标，求出p 2；设直线l方程为x my 1，将直线方程与抛物线方程联立，得出M,N的纵坐标积为定值，进而得到横坐标积为定值，结合抛物线的定义将所求的式子转化为点M（或点N）横坐标的函数，即可求解.【详解】2因为抛物线C:y 2pxp 0的焦点F1,0，所以p 2；13设点Mx1,y1，Nx2,y2，直线l:x my 1，x my1联立方程2，得y24my 4 0，y 4x所以y1 y2 4m，y1y2 4，所以x1x21，MFx 1x 1111111法一：9

27、NF9x2191x1x11111，当且仅当x11 3时取等号9x1131111法二：MFNFx11x21my1 y2411my12my22my12my22my1 y244m2421，22m y1y22my1 y244m 8m 4所以MF9MF11MF1111，NF9MF9MF3当且仅当MF 3时取等号故答案为：2；.【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质、直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握抛物线焦半径公式和焦点弦的性质，考查数学运算、逻辑推理能力，属于中档题.五、解答题五、解答题1717ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，且满足且满足ccosAacosC a（1 1

28、）求）求13a的值；的值；b3，求，求ABC的面积的面积（2 2）若）若a 1，c【答案】【答案】（1）a31；（2）b4【解析】【解析】（1）将已知等式边化角，再由两角和正弦得sinB sin A，即可求解；（2）由（1）的结论结合已知，根据余弦求出其中一个角，即可得出结论.【详解】（1）由正弦定理，ccosAacosC a可化为sinCcosAcosCsin Asin A，也就是sinACsin A由ABC中A BC 可得sinACsinBsinB即sinB sin A由正弦定理可得b a，故（2）由a 1可知b 1而c a1b3，a2b2c21由余弦定理可知cosC 2ab2又0C 于是

29、C 23SABC1123absinC 11sin2234【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.1818在在a2a3 a5b1，a2a3 2a7，S315这三个条件中任选一个，补充这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答在下面问题中，并解答.已知等差数列已知等差数列an的公差的公差d 0，前，前n项和为项和为Sn，若，若_，数列数列bn满足满足b11，b21，anbn1 nbnbn1.3（1 1）求）求an的通项公式；的通项公式；（2 2）求）求bn的前的前n项和项和Tn.【答案】【答案】（1）选：an 3n1；选：an 3n1；

30、选：an 3n1；（2）选：33313n；选：13n；选：13n222【解析】【解析】若选：（1）先令n 1，代入anbn1 nbnbn1求出a1，再由a2a3 a5b1求出公差d，进而求出an；（2）先由（1）中求出的an结合anbn1 nbnbn1得到bn，再求Tn.若选：（1）先令n 1，代入anbn1 nbnbn1求出a1，再由a2a3 2a7，d 0，求出公差d，进而求出an；（2）先由（1）中求出的an结合anbn1 nbnbn1得到bn，再求Tn.若选：（1）（1）先令n 1，代入anbn1 nbnbn1求出a1，再由S315求出公差d，进而求出an；（2）先由（1）中求出的an

31、结合anbn1 nbnbn1得到bn，再求Tn.【详解】若选：（1）anbn1 nbnbn1，当n 1时，a1b2 b1b2，b11，b2又1，a1 2.3a2a3 a5b1，2a13d a14d b1，d 3，an 3n1；（2）由（1）知：3n1bn1nbnbn1，即3nbn1 nbn，bn11bn，3n111又b11，数列bn是以1为首项，以为公比的等比数列，bn331133Tn13n.1213若选：（1）n，anbn1 nbnbn1，当n 1时，a1b2 b1b2，b11，b2又1，a1 2.3a2a3 2a7，a1da12d 2a16d，d 3，an 3n1；1bn，3n1（2）由（

32、1）知：3n1bn1nbnbn1，即3nbn1 nbn，bn111又b11，数列bn是以1为首项，以为公比的等比数列，bn331133Tn13n.1213若选：（1）n，anbn1 nbnbn1，当n 1时，a1b2 b1b2，1，a1 2.332d 15，d 3，an 3n1；又S315，3a12b11，b2（2）由（1）知：3n1bn1nbnbn1，即3nbn1 nbn，bn11bn，3n111又b11，数列bn是以1为首项，以为公比的等比数列，bn331133Tn13n.1213【点睛】n，本题考查等差和等比数列通项公式的求解和等比数列前n项和的求解问题，考查学生对于等差和等比数列基本量

33、的计算.1919如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，为等腰梯形，BDEF为正方形，平面为正方形，平面BDEF 平面平面ABCD，AD/BC,AD AB 1，ABC 60.(1)(1)求证求证:平面平面CDE 平面平面BDEF；(2)(2)点点M为线段为线段EF上一动点，求上一动点，求BD与平面与平面BCM所成角正弦值的取值范围所成角正弦值的取值范围.5 1,【答案】【答案】（1）证明见解析（2）52【解析】【解析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD，由面面垂直的性质定理证得CD平面BDEF，由此证得平面CDE 平面BDEF.（2）建立空间直角坐标系，设出EM的长，利用直线B

34、D的方向向量和平面BCM的法向量，求得BD与平面BCM所成角正弦值的表达式，进而求得BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD中，AD/BC,AD AB 1，ABC 60，BAD CDA 120,ADB 30，CDB90.即BD CD.BDAB2 AD22ABADcos120 3，BC 2.又平面BDEF 平面ABCD，平面BDEF 平面ABCD BD,CD 平面ABCD，CD平面BDEFCD 平面CDE，平面CDE 平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线DB,DC,DE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设EM m(0 m 3)，则B(3,0,0),C0,1,

35、0,D0,0,0，M m,0,3,BC 3,1,0，BM (m3,0,3),DB (3,0,0)设平面BMC的法向量为n x,y,x 3x y 0nBC 0，即m3 x3z 0nBM 0令x 3，则y 3,z 3 m，平面BMC的一个法向量为n (3,3,3 m).设BD与平面BCM所成角为，sin cos n,BD n,BDn BD3m 32121当m 0时取最小值5，当m 3时取最大值52故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.5 1,.52x2y2202

36、0已知椭圆已知椭圆C:221a b 0的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F1，F2，以，以F2为圆心过为圆心过ab椭圆左顶点椭圆左顶点M的圆与直线的圆与直线3x 4y 12 0相切于相切于N，且满足，且满足MF1（1 1）求椭圆）求椭圆C的标准方程；的标准方程；（2 2）过椭圆）过椭圆C右焦点右焦点F2的直线的直线l与椭圆与椭圆C交于不同的两点交于不同的两点A，B，问，问F1AB内切圆内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由1F1F229x2y2【答案】【答案】（1）（2）有，最大值1；1643【解析】【解析】（1）由已知

37、可得F2到直线3x 4y 12 0的距离等于ac，结合MF11F1F2，建立a,c方程组，求解即可得出椭圆C的标准方程；2（2）即求F1AB内切圆的半径r是否有最大值，因为F1AB周长为4a，转化为F1AB的面积是否有最大值，设Ax1,y1,Bx2,y2，则SF1AB1F1F2y1 y2，再设出2F1AB直线l的方程为x my 1，与椭圆方程联立，得出y1,y2关系，S数，根据其特征求出范围，即可得出结论.【详解】表示为m的函x2y2（1）由已知椭圆C方程为221(a b 0)，ab设椭圆右焦点F2c,0，由F2到直线3x 4y 12 0的距离等于ac，得3c12 ac，125a2c，51F1

38、F2，2c a，2又MF1又a2 b2c2，求得a2 4，b2 3x2y2椭圆C方程为1，43（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，设F1AB的内切圆半径为r，F1AB的周长为AF1 AF2 BF1 BF2 4a 8，所以SABF114ar 4r，2根据题意，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x my 1，x2y2122由 4，得3m 4y 6my9 0，3x my1 6m363m24 0，mR，2y1 y296my y，123m243m2 41F1F2y1 y22所以SF AB1y1 y2212 m21，4y1y223m 412t4令t m21，则t 1，所以3t21t 1，3t11令ft

39、t，则当t 1时，f t12 0，3t3t14ftt 单调递增，所以ft f1，SABF1 3，33tSF1AB即当t 1，m 0，直线l的方程为x 1时，SABF1的最大值为 3，此时内切圆半径最大r 3，4F1AB内切圆面积有最大值【点睛】916本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，等价转化为求三角形面积最大值是解题的关键，要熟练掌握根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.2121每年的每年的 3 3 月月 1212日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲

40、、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满 3030棵获得一次甲棵获得一次甲箱内摸奖机会，箱内摸奖机会，植树每满植树每满 5050棵获得一次乙箱内摸奖机会，棵获得一次乙箱内摸奖机会，每箱内各有每箱内各有 1010个球个球（这些球（这些球除颜色外全相同）除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球，个红球，b个黄球，个黄球，5 5个黑球，个黑球，乙箱内有乙箱内有 4 4 个红球和个红球和 6 6 个黄球，个黄球，每次摸一个球后放回原箱，每次摸一个球后放回原箱，摸得红球奖摸得红球奖 1001

41、00 元，元，黄球奖黄球奖 5050 元，摸得黑球则没有奖金元，摸得黑球则没有奖金（1 1）经统计，每人的植树棵数）经统计，每人的植树棵数X服从正态分布服从正态分布N35,25，若其中有，若其中有200200 位植树者参位植树者参与了抽奖，请估计植树的棵数与了抽奖，请估计植树的棵数X在区间在区间30,35内并中奖的人数（结果四舍五入取整内并中奖的人数（结果四舍五入取整数）数）；附：若附：若XN,2，则，则P X 0.6827，P2 X 20.9545（2 2）若）若a 2，某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会，求中奖金额，某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会，求中奖金额Y（单位：元）的（单位：元）的分

42、布列；分布列；（3 3）某人植树）某人植树 100100棵，有两种摸奖方法，棵，有两种摸奖方法，方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大【答案】【答案】（1）34人；（2）分布列见解析；（3）选方法二所得奖金的期望值较大【解析】【解析】（1）甲箱内摸奖一次中奖的概率为0.5，根据已知正态分布，X在区间30,35的概率为P(X)根据参考数据，即可求解；（2）先求出中奖金额Y的可能值，求出对应值的概率，即可得到分布列；（3）ab 5

43、，先求出甲摸一次所得奖金的期望，并用a表示，从而得到方法一所得奖金的期望，再求出方法二所得奖金的期望值，两种方法期望值对比，即可得出结论.【详解】（1）依题意得 35，2 25，得5，植树的棵数X在区间30,35内有一次甲箱内摸奖机会，中奖率为15 0.5，植树棵数在区间30,35内人数约为：10200P X 2000.6827 68人2中奖的人数约为：680.534人（2）中奖金额Y的可能取值为 0，50，100，150，200PY 00.50.50.25；PY 50 20.30.50.3；PY 100 20.50.20.30.3 0.29；PY 150 20.20.30.12；PY 200

44、0.20.20.04；故Y的分布列为YP（3）00255003100029150012200004ab 5，甲箱摸一次所得奖金的期望为ab5010a5b 255a，1010E1100方法一所得奖金的期望值为3E1 7515a；乙箱摸一次所得奖金的期望值为E21000.4500.6 70，方法二所得奖金的期望值为140，a的值可能为 1，2，3，4，3E1 7515a 135 140所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大【点睛】本题考查正态分布、离散型随机变量分布列以及期望，求解随机变量的概率是解题的关键，考查数学计算能力，属于中档题.2222已知函数已知函数fxxbe2x1ab 0在点在点,

45、f21处的切线方程为处的切线方程为2e1xeye1 02（1 1）求）求a，b；（2 2）函数）函数fx图像与图像与x轴负半轴的交点为轴负半轴的交点为P，且在点，且在点P处的切线方程为处的切线方程为y hx，函数函数Fx fxhx，xR R，求，求Fx的最小值；的最小值；（3 3）关于）关于x的方程的方程fx m有两个实数根有两个实数根x1，x2，且，且 x1 x2，证明：，证明：12mme21e1【答案】【答案】（1）a 1，b；（2）0；（3）证明见解析2x2 x1【解析】【解析】（1）由已知可得f方程组，求解即可；（2）先求出f(x)0的负根，进而求出切线方程y hx，求出函数F(x),

46、F(x)，进而求出单调区间，即可得出结论；（3）根据（2）可得f(x)的图像在h(x)的上方，同理可证出f(x)的图像也在以f(x)的e11 1 0f，求出f(x)，可得a,b的e22,x2x1 x2，另一零点为切点的切线上方，求出y m与两切线交点的横坐标为x1 x1，即可证明结论.则有x2 x1 x2【详解】e11 0中，（1）将x 代入切线方程e1xey22得y 0，所以f1 0，2又f1 1111 ba 0 b a 或，2e2e22x又f xe所以f 若a 2x2b1a，e111 2ba 1，2eee12e，则b（舍去）；e21所以b，则a 1；21（2）由（1）可知a 1，b，21

47、2xfx x所以 e1，21令fx 0，有x 或x 0，2故曲线y fx与x轴负半轴的唯一交点P为1,02曲线在点P1,0处的切线方程为y hx，21 1 x，22则hx f 因为Fx fxhx，所以Fx fx f 1 1 x，22所以Fx f x f 若x 1，Fx0，若x1,11 1 2x 2ex1 F，0e2211 1 12xx1 0,e，2,，22ee112x2x2 x1 e所以0,.Fx 2ex1 0ee若x1 1,，x1,，2211e2x,，2x1e2x,ee1Fx0，所以y Fx在,上单调递增，21 1Fx F 0，函数y Fx在,上单调递增221当x 时，F(x)取得极小值，也

48、是最小值，2所以Fx最小值 F1 02（3）hx1 1，1x，设hx m的根为x12e 则x11me，又y hx单调递减，21e由（2）知fxhx恒成立 x1，fx1 hx1，所以x1又m hx1设曲线y fx在点0,0处的切线方程为y tx，则tx x，令Tx fxtxx1 2xe1 x，2Tx 2x1e2x2当x1时，Tx 2x1e2x2 20，0，当x 1时，Tx 22x3e2x故函数y Tx在1,上单调递增，又T00，所以当x,0时，Tx0，当x0,时，Tx0，所以函数y Tx在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增，所以TxT0 0，即fxtx，则x2 m，设tx m的根为x2 x2 fx2tx2，故x2又函数y tx单调递增，故mtx2 x1 m x1，所以x2 x1 x2又x11me 12mme21e21e【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、极值最值、不等式的证明，要注意利用数形结合找到解题的突破口，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.