2021年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ).pdf

《2021年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ).pdf（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分）1（5 分）设集合A4，5，7，9，B3，4，7，8，9，全集 UAB，则集合U（AB）中的元素共有（）A3 个2（5 分）已知A1+3i3（5 分）不等式B4 个C5 个D6 个2+i，则复数 z（）B13iC3+iD3i1 的解集为（）Bx|0 x1Dx|x01（a0，b0）的渐近线与抛物线 yx2+1 相切，则该Ax|0 x1x|x1Cx|1x04（5 分）已知双曲线双曲线的离心率为（）A B 2 D 5（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名

2、女同学；乙组有6 名男同学、2 名女同学若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（）A150 种B180 种C300 种，则C1D345 种的最小值为（）D16（5 分）设、是单位向量，且A227（5 分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影D为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1所成的角的余弦值为（）ABCD，0）中心对称，那么|的最小8（5 分）如果函数 y3cos（2x+）的图象关于点（值 为（）A B C D 9（5 分）已知直线yx+1 与曲线 yln（x+a）相切，则a 的值为（）A1B

3、2C1D2，10（5 分）已知二面角l 为 60，动点 P、Q 分别在面、内，P 到 的距离为Q 到 的距离，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（）A1B2CD411（5 分）函数 f（x）的定义域为R R，若 f（x+1）与 f（x1）都是奇函数，则（）Af（x）是偶函数Bf（x）是奇函数Df（x+3）是奇函数+y21 的右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF 交 C 于点Cf（x）f（x+2）12（5 分）已知椭圆C：B，3A，则|（）D 3 B 2二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13（5 分）（xy）10的展开

4、式中，x7y3的系数与 x3y7的系数之和等于14（5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S981，则 a2+a5+a815（5 分）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于16（5 分）若三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，已知 a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC，求 b，则函数 ytan2xtan3x 的最大值为18（12 分）如图，四棱锥SABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD底

5、面 ABCD，AD，DCSD2，点 M 在侧棱 SC 上，ABM60（I）证明：M 是侧棱 SC 的中点；（）求二面角 SAMB 的大小19（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜1 局（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望20（12 分）在数列an中，a11，an+1（1+）an+（1）设，求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前 n 项和 Sn21（12 分）如图，

6、已知抛物线 E：y2x 与圆 M：（x4）2+y2r2（r0）相交于 A、B、C、D 四个点（）求 r 的取值范围；（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标22（12 分）设函数f（x）x3+3bx2+3cx 有两个极值点x1、x2，且x11，0，x21，2（1）求 b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：20092009 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷）（全国卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题

7、 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分）1（5 分）设集合A4，5，7，9，B3，4，7，8，9，全集 UAB，则集合U（AB）中的元素共有（）A3 个B4 个C5 个D6 个【分析】根据交集含义取 A、B 的公共元素写出 AB，再根据补集的含义求解【解答】解：AB3，4，5，7，8，9，AB4，7，9U（AB）3，5，8故选A 也可用摩根律：U（AB）（UA）（UB）故选：A【点评】本题考查集合的基本运算，较简单2（5 分）已知A1+3i2+i，则复数 z（）B13iC3+iD3i【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求 z【解答】解故选：B【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以

8、用待定系数方法求解，z13i3（5 分）不等式1 的解集为（）Bx|0 x1Dx|x0Ax|0 x1x|x1Cx|1x0【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值【解答】解：|x+1|x1|，x2+2x+1x22x+1x01，不等式的解集为x|x0 故选：D【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方4（5 分）已知双曲线1（a0，b0）的渐近线与抛物线 yx2+1 相切，则该双曲线的离心率为（）A B 2 D【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于

9、 0，找到 a 和 b 的关系，从而推断出a 和 c 的关系，答案可得【解答】解：由题双曲线代入抛物线方程整理得ax2bx+a0，因渐近线与抛物线相切，所以b24a20，即，故选：C【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题5（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（）A150 种的一条渐近线方程，B180 种C300 种D345 种【分析】选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法，1 名女同学来自甲组和乙组两类型112【解答】解

10、：分两类（1）甲组中选出一名女生有 C5C3C6225 种选法；211（2）乙组中选出一名女生有 C5C6C2120 种选法故共有 345 种选法 故选：D【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6（5 分）设、是单位向量，且A22，则C1的最小值为（）D1【分析】由题意可得cos值域求出它的最小值，故要求的式子即1cos（）+1，再由余弦函数的【解答】解、是单位向量，）+，）+11（0（cos1cos故选：D【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律7（5 分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的

11、射影D为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1所成的角的余弦值为（）ABCD【分析】首先找到异面直线 AB 与 CC1所成的角（如 A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B 的长度即可；不妨设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为 1，利用勾股定理即可求之【解答】解：设 BC 的中点为 D，连接 A1D、AD、A1B，易知 A1AB 即为异面直线AB 与 CC1所成的角；并设三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1，则，|A1D|，|A1B|，由余弦定理，得故选：D【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理8（5 分）如果函数 y3cos（2x+）的图象关

12、于点（值 为（）A B C，0）中心对称，那么|的最小 D 中心对称，令代【分析】先根据函数 y3cos（2x+）的图象关于入函数使其等于0，求出 的值，进而可得|的最小值【解答】解：函数 y3cos（2x+）的图象关于 故选：A【点评】本题主要考查余弦函数的对称性属基础题中心对称由此易9（5 分）已知直线yx+1 与曲线 yln（x+a）相切，则a 的值为（）A1B2C1D2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程【解答】解：设切点 P（x0，y0），则 y0 x0+1，y0ln（x0+a），又x0+a1y00，x01a2 故选：B【点

13、评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10（5 分）已知二面角l 为 60，动点 P、Q 分别在面、内，P 到 的距离为Q 到 的距离，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（），A1B2CD4【分析】分别作QA 于 A，ACl 于 C，PB 于 B，PDl 于 D，连 CQ，BD 则ACQPBD60，在三角形 APQ 中将 PQ 表示出来，再研究其最值即可【解答】解：如图分别作QA 于 A，ACl 于 C，PB 于 B，PDl 于 D，连 CQ，BD 则又，当且仅当AP0，即点 A 与点 P 重合时取最小值 故选：C【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之

14、间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题11（5 分）函数 f（x）的定义域为R，若 f（x+1）与 f（x1）都是奇函数，则（）Af（x）是偶函数Bf（x）是奇函数Df（x+3）是奇函数Cf（x）f（x+2）【分析】首先由奇函数性质求 f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项【解答】解：f（x+1）与 f（x1）都是奇函数，函数 f（x）关于点（1，0）及点（1，0）对称，f（x）+f（2x）0，f（x）+f（2x）0，故有 f（2x）f（2x），函数 f（x）是周期 T2（2）4 的周期函数f（x1+4）f（x1+4），f（x+3）f（x+3），f（x+3）是奇函

15、数 故选：D【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法12（5 分）已知椭圆C：B，3A+y21 的右焦点为F，右准线为l，点A l，线段AF 交 C 于点，则|（）D 3 B 2【分析】过点 B 作 BMx 轴于 M，设右准线l 与 x 轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN1，进而根，求出 BM，AN，进而可得|AF|【解答】解：过点 B 作 BMx 轴于 M，并设右准线l 与 x 轴的交点为N，易知 FN1 由题，故，故 B 点的横坐标，纵坐标为即，故 AN1，故选：A【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题 二、填空题（共二、填空题（共 4 4

16、小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13（5 分）（xy）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于240n0 n 01 n1 12 n2 2r n【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）na b+nab+nab+nar rb+nna0bn，各项的通项公式为：Tr+1nran rbr然后根据题目已知求解即可【解答】解：因为（xy）10的展开式中含x7y3的项为 C103x10 3y3（1）3C3x7y3，107 10 7 7含 x3y7的项为C10 xy（1）7C710 x3y7由 C103C107120 知，x7y3与 x3y7的系数之和为240

17、 故答案为240【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n0anb0+1annn1 12 n 2 2r n r rb+b+nab+na0bn，属于重点考点，同学们需要理解记忆nan14（5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S981，则 a2+a5+a827【分析】由 s9解得 a5即可【解答】解：a59a2+a5+a83a527故答案是 27【点评】本题考查前 n 项和公式和等差数列的性质15（5 分）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于 20【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆

18、圆心为 O，球心为 O，在 RTOBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：在ABC 中 ABAC2，BAC120，可由正弦定理，可得ABC 外接圆半径 r2，设此圆圆心为O，球心为 O，在 RTOBO中，易得球半，故此球的表面积为 4R220故答案为：20【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力16（5 分）若，则函数 ytan2xtan3x 的最大值为8【分析】见到二倍角 2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于 tanx 的函数，将 tanx 看破成整体，最后转化成函数的最

19、值问题解决【解答】解：令，故填：8【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，已知 a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC，求 b【分析】根据正弦定理和余弦定理将 sinAcosC3cosAsinC 化成边的关系，再根据 a2c22b 即可得到答案【解答】解：法一：在ABC 中sinAcosC3cosAs

20、inC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2c2）b2 又由已知a2c22b4bb2 解得 b4 或 b0（舍）；法二：由余弦定理得：a2c2b22bccosA 又 a2c22b，b0所以 b2ccosA+2又 sinAcosC3cosAsinC，sinAcosC+cosAsinC4cosAsinCsin（A+C）4cosAsinC，即 sinB4cosAsinC 由正弦定理故 b4ccosA由，解得 b4【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用属基础题，18（12 分）如图，四棱锥SABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD底面 ABCD，ADDCSD2，点 M 在侧棱 SC

21、 上，ABM60，（I）证明：M 是侧棱 SC 的中点；（）求二面角 SAMB 的大小【分析】（）法一：要证明M 是侧棱 SC 的中点，作MNSD 交 CD 于 N，作 NEAB交 AB 于 E，连 ME、NB，则 MN面设 MNx，则 NCEBx，解 RTMNE 即可得 x 的值，进而得到 M 为侧棱 SC 的中点；法二：分别以DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，并求出 S 点的坐标、C 点的坐标和 M 点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明（）

22、我们可以以D 为坐标原点，分别以DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，我们可以利用向量法求二面角SAMB 的大小【解答】证明：（）作 MNSD 交 CD 于 N，作 NEAB 交 AB 于 E，连 ME、NB，则 MN面设 MNx，则 NCEBx，在 RTMEB 中，MBE60 在 RTMNE 中由 ME2NE2+MN23x2x2+2解得 x1，从M 为侧棱 SC 的中点 M（）证法二：分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系 Dxyz，则设 M（0，a，b）（a0，b0），则，由题得，即解之个方程组得a1，b1 即 M（0，1，1）所以

23、 M 是侧棱 SC 的中点（I）证法三：，则又故，即，解得 1，所以 M 是侧棱 SC 的中点（）由（），分别是平面SAM、MAB 的法向量，又设则且，即且分别得 z11，y11，y20，z22，即，二面角 SAMB 的大小【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独

24、立，已知前 2 局中，甲、乙各胜1 局（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望【分析】（1）由题意知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果（2）由题意知 表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知 的可能取值是 2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望【解答】解：记 Ai表示事件：第i 局甲获 胜，（i3、4、5）Bi表示第 j 局乙获胜，j3、4（1）记 B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，前 2

25、局中，甲、乙各胜 1 局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，BA3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，P（B）P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.60.648（2）表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知 的可能取值是 2、3由于各局相互独立，得到 的分布列P（2）P（A3A4+B3B4）0.52 P（3）1P（2）10.520.48E20.52+30.482.48【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题另外，还要注

26、意表述，这也是考生较薄弱的环节20（12 分）在数列an中，a11，an+1（1+）an+（1）设，求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前 n 项和 Sn【分析】（1）由已知公式（2）由题设知设+，即，由此能够推导出所求的通项，故+），从而导出数列，由错位相减法能求出an的前 n 项和 Sn【解答】解：（1）由已知得b1a11，且即，从而，（n2）+2+，b3b2+bnbn1+于是 bnb1+（n2）又 b11，故所求的通项公式为（2）由（1）知故+设得，Tn1+，），2，Tn44Snn（n+1）+【点评】本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用21（1

27、2 分）如图，已知抛物线E：y2x 与圆 M：（x4）2+y2r2（r0）相交于A、B、C、D 四个点（）求 r 的取值范围；（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到 x 的二次方程，根据抛物线E：y2x 与圆 M：（x4）2+y2r2（r0）相交于 A、B、C、D 四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r 的范围（2）先设出四点 A，B，C，D 的坐标再由（1）中的 x 二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点 P的坐标【解答】解：（

28、）将抛物线E：y2x 代入圆 M：（x4）2+y2r2（r0）的方程，消去 y2，整理得 x27x+16r20（1）抛物线 E：y2x 与圆 M：（x4）2+y2r2（r0）相交于A、B、C、D 四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根即解这个方程组得，（II）设四个交点的坐标分别为、则直线 AC、BD 的方程分别为y（xx1），y+（xx1），解得点 P 的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x27，x1x216r2，则令，则 S2（7+2t）2（72t）下面求 S2的最大值由三次均值有：当且仅当 7+2t144t，值 经检验此故所求的点 P 的坐标时取最大满足题意【点评】

29、本题主要考查抛物线和圆的综合问题圆锥曲线是高考必考题，要强化复习22（12 分）设函数f（x）x3+3bx2+3cx 有两个极值点x1、x2，且x11，0，x21，2（1）求 b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c 表示出 f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出 f（x2）的范围即可【解答】解：（）f（x）3x2+6bx+3c，（2 分）依题意知，方程 f（x）0 有两个根 x1、x2，且 x11，0，x21，2等价于 f（1）0，f（0）0，f（1）0，f（2）0由此得 b，c 满足的约束条件为（4 分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分（6 分）2（）由题设知f（x2）3x2+6bx2+3c0，则，故由于 x21，2，而由（）知c0，故（8 分）又由（）知2c0，（10 分）所【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题