高等数学练习题附答案.pdf

《高等数学练习题附答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学练习题附答案.pdf（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高高等等数数学学专业专业年级年级学号学号姓名姓名一、判断题一、判断题.将或填入相应的括号内将或填入相应的括号内.（每题（每题 2 2 分，共分，共 2020 分）分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若f(x)在x0点可导，则f(x)也在x0点可导.（）6.若连续函数y f(x)在x0点不可导，则曲线y f(x)在(x0,f(x0)点没有切线.（）7.若f(x)在a,b上可积，则f(x)在a,b上连续.（）8.若z f(x,y)在（x0,y0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z f(x

2、,y)在（x0,y0）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数f(x)在区间(1,1)内具有二阶导数，且f(0)f(0)1,则f(0)为f(x)的一个极小值.二、填空题二、填空题.（每题（每题 2 2 分，共分，共 2020 分）分）1.设f(x 1)x，则f(x 1).22.若f(x)21211x1x，则lim .x03.设 单 调 可 微 函 数f(x)的 反 函 数 为g(x),f(1)3,f(1)2,f(3)6则g(3).4.设u xy 2x,则du .y35.曲线x 6y y在(2,2)点切线的斜率为 .26.设f(x)为可导函数,f(1)1,

3、F(x)f()f(x),则F(1).1x7.若f(x)0t2dt x2(1 x),则f(2).8.f(x)x 2 x在0,4上的最大值为 .9.广义积分0e2xdx .225y 1 x dxdy .D10.设 D 为圆形区域x y 1,三、计算题三、计算题（每题（每题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）111).1.计算lim(222nn(n 1)(2n)2.求y (x 1)(x 2)(x 3)(x 10)在（0，+）内的导数.23103.求不定积分1x(1 x)dx.4.计算定积分0sin3x sin5xdx.3225.求函数f(x,y)x 4x 2xy y的极值.6.设平面区域 D

4、是由y x,y x围成，计算Dsin ydxdy.y7.计算由曲线xy 1,xy 2,y x,y 8.求微分方程y y 3x围成的平面图形在第一象限的面积.2x的通解.y四、证明题四、证明题（每题（每题 1010 分，共分，共 2020 分）分）1.证明：arctanx arcsinx1 x2(x ).2.设f(x)在闭区间a,b上连续，且f(x)0,F(x)f(t)dt 0 xxb1dtf(t)证明：方程F(x)0在区间(a,b)内有且仅有一个实根.高等数学参考答案高等数学参考答案一、判断题一、判断题.将或填入相应的括号内（每题将或填入相应的括号内（每题 2 2 分，共分，共 2020 分）

5、分）1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.二、二、填空题填空题.（每题（每题 2 2 分，共分，共 2020 分）分）21.x 4x 4；2.1；3.1/2；4.(y 1/y)dx (x x/y)dy；25.2/3；6.1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题三、计算题（每题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）n1111n1L 1.1.解：解：因为(2n)2n2(n1)2(2n)2n2且lim由迫敛性定理知：lim(nn1n1 0，=0limn(2n)2nn2111)=0222n(n 1)(2n)2.2.解：解：先求对数ln y ln(x 1)

6、2ln(x 2)10ln(x 10)11210y yx 1x 2x 10 y (x 1)(x 10)(3.3.解：解：原式=21210)x 1x 2x 1011 xdx =211(x)2dx =2arcsin4.4.解：解：原式=x c0sin3xcos2xdx =2020cosxsinxdx 322cosxsinxdx32 =sinxdsin x 322sinxdsin x32222 =sin2x0sin2x552 =4/525.5.解：解：fx 3x 8x 2y 0fy 2x 2y 055故x 0 x 2或y 0y 2当x 0(0,0)2，fxy(0,0)2(0,0)8，fyy时fxxy

7、0 (8)(2)22 0且 A=8 0（0，0）为极大值点 且f(0,0)0当x 2(2,2)2，fxy(2,2)2(2,2)4，fyy时fxxy 2 4(2)22 0无法判断6.6.解：解：D=(x,y)0 y 1,y2 x yD1ysin y1sin ysin ydxdy dy2dx=xydyy20y0yyy =(sin y ysin y)dy0101 =cos y 10yd cos y1 =1cos1ycos y0cos ydy01 =1sin17.7.解：解：令u xy，v y；则1 u 2，1 v 3x1J xuyuxv2 uvyvvu2v v12vu2 uv231dv ln3A d

8、du112vD8.8.解：解：令y u，知(u)2u 4x由微分公式知：u y e22dx2(4xe2dxdx c)e2x(4xe2xdx c)e2x(2xe2x e2x c)四四.证明题（每题证明题（每题 1010 分，共分，共 2020 分）分）1.1.解：解：设f(x)arctan x arcsinx1 x221 f(x)21 x1x11 x221 x1 x2x21 x2=0 f(x)c x 令x 0 f(0)00 0c 0即：原式成立。2.2.解：解：F(x)在a,b上连续且F(a)abb1dt0af(t)故方程F(x)0在(a,b)上至少有一个实根.又F(x)f(x)1 f(x)0f

9、(x)F(x)2即F(x)在区间a,b上单调递增F(x)在区间(a,b)上有且仅有一个实根.高等数学高等数学专业专业学号学号姓名姓名一、判断题（对的打，错的打；每题一、判断题（对的打，错的打；每题2分，共分，共10分）分）1.f(x)在点x0处有定义是f(x)在点x0处连续的必要条件.2.若y f(x)在点x0不可导，则曲线y f(x)在(x0,f(x0)处一定没有切线.3.若f(x)在a,b上可积，g(x)在a,b上不可积，则f(x)g(x)在a,b上必不可积.4.方程xyz 0和x y z 0在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5.设y是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所

10、对应的齐次方程的通解，则*222y y y*为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题二、填空题（每题2分，共分，共20分）分）1.设f(3x)2.设f(x)2x 1,f(a)5,则a .ln(1 2x)，当f(0)时，f(x)在点x 0连续.arcsin3xt3.设f(x)limx(1)4.已知1t2xt，则f(x).f(x)在x a处可导，且f(a)A，则limh0f(a 2h)f(a 3h).hd f(x)2，并且f(0)1，则f(x).dx6.若f(x),g(x)在点b左连续，且f(b)g(b),f(x)g(x)(a x b)，则f(x)与g(x)大小比较为f(x)g(x).5.若2

11、f(x)cosx 7.若y sin x，则2dydy.；2d(x)dx8.设f(x)9.设z ex2y1，则f().lntdtx22x，则dz(1,1).f(x2 y2)dy化为极坐标下的累次积分为.10.累次积分R0dx1tR2x20三、计算题（前三、计算题（前6题每题题每题5分，后两题每题分，后两题每题6分，共分，共42分）分）1.limx0sin x0 x(1t)dtt0sintdt2sin x cosxe2x;2.设y ln，求;3.dx;y2x1sin2xe14.20 x24 x dx;5.设z z2z,求.,22yxyx yxsin ydxdy.y6.求由方程2y x (x y)l

12、n(x y)所确定的函数y y(x)的微分dy.7.设平面区域D是由y x,y x围成，计算D8.求方程yln ydx (x ln y)dy 0在初始条件yx1 e下的特解.四、四、（7分）分）已知f(x)x ax bx在x 1处有极值2，试确定系数a、b，并求出所有的极大值与极小值.32五、应用题（每题五、应用题（每题7分，共分，共14分）分）1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h)时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行1km所消耗的费用最小？2.过点(1,0)向曲线y 图形绕y轴旋转所得旋转体的体积

13、.x 2作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）六、证明题（六、证明题（7分）分）设函数f(x)在0 x a上的二阶导数存在，且f(0)0,f(x)0.证明g(x)f(x)在0 x a上单调增加.x高等数学参考答案高等数学参考答案一、判断题一、判断题1.；2.；3.；4.；二、填空题二、填空题1.36；2.22x3；3.4(1 x)e；4.5A；5.7.cos x2,2xcos x2；8.ln2；10.20dR0f(rcos2)rdr.三、计算题三、计算题1sin x1.原式 lim(1sin x)cosxx0 xsin xe1 e2.y 1e2x(e2x1)e2x2e2xe2x1

14、2e2x(e2x1)2e2x12e2x1e2x12e2x2e2x(e2x1)211e2x3原式=sin x cosx(sin x cosx)2dx5.1sin x；6.9.2dx dy；1(sin x cosx)2d(sin x cosx)1Csin x cosx4设x 2sint则dx 2costdt原式=204sin2t 2cost 2costdt162sin2t cos2tdt0200 42sin 2tdt 22(1cos4t)dt12 2(t sin4t)04 x z5y2y2x2 y2x2 y22232 xy(x2 y2)3213y(x y)xy(x2 y2)2 2x2 z2 223

15、xy(x y)(2x2y y3)x2 y2(x y)2236两边同时微分得：2dy dx (dx dy)ln(x y)(x y)1(dx dy)x y即2dy dx ln(x y)dx ln(x y)dy (dx dy)2 ln(x y)dx3 ln(x y)（本题求出导数后，用dy ydx解出结果也可）故dy 1ysin ysin ydxdy dy2dx70yyyD(sin y ysin y)dy01 cosy0 ycosy0cos ydy01111cos1 cos1siny011sin1dx11x 8原方程可化为dyyln yy通解为x eyln ydy1yln ydy1edy Cy1 e

16、lnln y1elnln ydy Cy1111ln ydy C(ln y)2Cln yyln y 21Cln y 2ln yyx1 e代入通解得C 1故所求特解为：(ln y)2xln y 1 02四四、解：解：f(x)3x2 2ax b因为f(x)在x 1处有极值2，所以x 1必为驻点故f(1)3 2a b 0又f(1)1 a b 2解得：a 0,3b 32于是f(x)x 3xf(x)3(x 1)f(x)6x由f(x)0得x 1，从而f(1)6 0，在x 1处有极小值f(1)2f(1)6 0，在x 1处有极大值f(1)2五、五、1.1.解：解：设船速为x(km/h)，依题意每航行1km的耗费

17、为y 1(kx396)x3又x 10时，k 10 6故得k 0.006，所以有y 1(0.006x396)，x(0,)x0.0123(x 8000)0，得驻点x 202x由极值第一充分条件检验得x 20是极小值点.由于在(0,)上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为20(km/h)时，每航令y 行1km的耗费最少，其值为ymin 0.00620 296 7.2（元）202.2.解：解：（1）设切线与抛物线交点为(x0,y0)，则切线的斜率为2y0，x01又因为y x 2上的切线斜率满足2y y 1，在(x0,y0)上即有2y0y 1所以2y0y0 x

18、011，即2y0 x012又因为(x0,y0)满足y0 x02，解方程组2x0 32y0 x01得2y01y0 x0 2所以切线方程为y 1(x 1)216则所围成图形的面积为：S 102 y2(2y 1)dy（2）图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为：V 31(x 1)2dx(x 2)dx 04261f(x)xf(x)f(x)xf(x)f(x)f(0)六、六、证证：xx2x2在0,x上，对f(x)应用拉格朗日中值定理，则存在一点(0,x)，使得f(x)f(0)xf()f(x)xf(x)f()2xx由假设f(x)0知f(x)为增函数，又x，则f(x)f(),代入上式得于是f(x)f()0,从而f(

19、x)f(x)0，故在(0,a)内单调增加.xx高等数学试卷高等数学试卷专业专业学号学号姓名姓名一、填空题（每小题一、填空题（每小题 1 1 分，共分，共 1010 分）分）1函数y arcsin 1 x x211 x2的定义域为_。2函数y xe上点（，）处的切线方程是_。3设f(x)在x0可导且f(x0)A，则limh0f(x02h)f(x03h)_。h 4设曲线过(0,1)，且其上任意点(x,y)的切线斜率为2x，则该曲线的方程是_。5x1 x4dx_。xlim xsin1_。x 7设f(x,y)sin xy，则fx(x,y)_。8累次积分R0dxR2x20f(x2 y2)dy化为极坐标下

20、的累次积分为_。d3y3 d2y2 9微分方程3(2)0的阶数为_。dxx dx 10设级数an1n发散，则级数n1000an _。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（在题干的（）内，（）内，（1 11010 每小题每小题 1 1 分，分，11111717 每小题每小题 2 2 分，共分，共 2424 分）分）1设函数f(x)11,g(x)1 x，则f(g(x)（）x1111xx1 x 2x 0时，xsin11是（）x无穷大量无穷小量有界变量无界变量 3下列说法正确的是（）若f(x

21、)在x x0连续，则f(x)在x x0可导若f(x)在x x0不可导，则f(x)在x x0不连续若f(x)在x x0不可微，则f(x)在x x0极限不存在若f(x)在x x0不连续，则f(x)在x x0不可导 4若在(a,b)内恒有f(x)0,f(x)0，则在(a,b)内曲线弧y f(x)为（）.上升的凸弧下降的凸弧上升的凹弧下降的凹弧 5设F(x)G(x)，则（）F(x)G(x)为常数F(x)G(x)为常数F(x)G(x)06ddF(x)dx G(x)dxdxdx11xdx（）7方程2x 3y 1在空间表示的图形是（）平行于xOy面的平面平行于Oz轴的平面过Oz轴的平面直线8设f(x,y)x

22、 y x y，则f(tx,ty)（）tf(x,y)t f(x,y)t f(x,y)233321f(x,y)2tan19设an 0，且lim，则级数an（）nan1n在p 1时收敛，p 1时发散在P 1时收敛，p 1时发散在p 1时收敛，p 1时发散在p 1时收敛，p 1时发散10方程y3xy 6x y是（）一阶线性非齐次微分方程齐次微分方程可分离变量的微分方程二阶微分方程11下列函数中为偶函数的是（）y ey x 1y x cos xy ln x12设f(x)在(a,b)可导，a x1 x2 b，则至少有一点(a,b)使（）f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()(x2 x1)f(

23、x2)f(x1)f()(ba)f(x2)f(x1)f()(x2 x1)13设f(x)在x x0的左右导数存在且相等是f(x)在x x0可导的（）充分必要的条件必要非充分的条件必要且充分的条件既非必要又非充分的条件14设2 f(x)cos x x323d f(x)2，则f(0)1，则f(x)（）dxcos x2cosx1sin x1sin x15过点（，）且切线斜率为4x的曲线方程为（）4x4443316设幂级数a xnn0n在x0（x0 0）收敛，则a xnn0n在x x0（）绝对收敛条件收敛发散收敛性与an有关 17设域由y x,y x所围成，则112sin xd（）xD1ysin xsin

24、 xdy；dydx；dx0 x0yxxdx01xx1xsin xsin x；dydydx.0 xxx三、计算题（三、计算题（1 13 3 每小题每小题 5 5 分，分，4 49 9 每小题每小题 6 6 分，共分，共 5151 分）分）设y x1求y.x(x3)sin(9x216)求lim.x43x43计算设x 求过点（，），（，）的直线方程.设u e计算求微分方程dy (将f(x)xysin zdx(1ex)2.t0(cosu)arctan udu,y 1t(sinu)arctan udu，求dy.dx，求 .0 xasin0rsindrd.y12)dx的 通解.x13展成的幂级数.(1 x

25、)(2 x)四、应用和证明题（共四、应用和证明题（共 1515 分）分）（分）设一质量为的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为k 0）求速度与时间的关系。（分）借助于函数的单调性证明：当x1时，2 x 31。x高等数学参考答案高等数学参考答案一、填空题一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）（，）21arctanx2c（）220df(r2)rdr三阶发散0二、单项选择题二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，110 每小题 1 分，1117 每小题 2 分，共 24 分）12 345 678910 1112131415 1617三、

26、计算题三、计算题（13 每小题 5 分，49 每小题 6 分，共 51 分）解：解：ln y 1ln(x1)ln xln(x3)211111y()y2 x1xx3y 1x1111()2x(x3)x1xx318xcos(9x216)解：解：原式limx4334418()cos(9()216)333(1exex)dx解：解：原式(1ex)2dxd(1ex)-(1ex)(1ex)2(1exex)dx11ex1ex1xxln(1e)c1ex解：解：因为dx (cost)arctgtdt,dy (sint)arctgtdtdy(sint)arctgtdt tgtdx(cost)arctgtdt解：解：所

27、求直线的方向数为，所求直线方程为解：解：du e e解：解：原积分xysinzx1y1z 2103d(xy sinz)(dx12ydy coszdz)xysin z02sind20asin01rdr a2sin3d0222a3dydx2解：解：两边同除以(y 1)得22(1 y)(1 x)asin3d两边积分得dydx(1 y)2(1 x)211 cx1y 1亦即所求通解为解：解：分解，得f(x)111 x2 x1111 x21x2nx1nx1）x(1)n（x 1且22n02n0n1n1(1)n1x（x 1）2n0n四、应用和证明题四、应用和证明题（共分）解：解：设速度为，则满足m 解方程得u

28、 由t=0定出，得u 证：证：令f(x)2 x du mg kudt1(mg cekt)kmg(1ekt)k13则f(x)在区间，连续x112 0(x 1)而且当x 1时，f(x)xx因此f(x)在，单调增加从而当x 1时，f(x)f(1)即当x 1时，2 x 31x高等数学高等数学专业专业学号学号姓名姓名一、判断正误（每题一、判断正误（每题 2 2 分，共分，共 2020 分）分）1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.2.初等函数在其定义域内必定为连续函数.3.y fx在点x0连续，则y fx在点x0必定可导.4.若x点为y fx的极值点，则必有f x0 0.5.初等函数在其定义域区间内必定存

29、在原函数.6.方程x y1表示一个圆.22 7.若z fx,y在点M0 x0,y0可微，则z fx,y在点M0 x0,y0连续.x8.y 2x e是二阶微分方程.29.dxsintdt sin x sin1.1dx10.若y fx为连续函数，则ftdt必定可导.ax二、填空题（每题二、填空题（每题 4 4 分，共分，共 2020 分）分）1.dx _.1sin x2.limsin2x _.xx3.设f x1，且f01，则fxdx _.4.z xy2，则dz _.5.db2sin x _.dxa三、计算题与证明题（共计三、计算题与证明题（共计 6060 分）分）n2（5 分）；1.1lim，nn

30、12limn11x（5 分）。，x0 xe 1cosx2.求函数y sin xcos xsinx的导数。（10 分）3.若在,上f x 0,f0 0.证明：Fx上单调增加.（10 分）fx在区间,0和0,x4.对物体长度进行了n次测量，得到n个数x1,x2,xn。现在要确定一个量x，使之与测得的数值之差的平方和最小.x应该是多少？（10 分）5.计算xsin x2dx.（5 分）6.由曲线y ln x与两直线y e1 x,y 0所围成的平面图形的面积是多少.（5 分）7.求微分方程xdy x y满足条件yxdx2（5 分）0的特解。8.计算二重积分x2dxdy,D是由圆x2 y21及x2 y2

31、 4围成的区域.（5 分）D高等数学参考答案高等数学参考答案一、判断正误（每题一、判断正误（每题 2 2 分，共分，共 2020 分）分）1-5，.6-10.，二、填空题（每题二、填空题（每题 4 4 分，共分，共 2020 分）分）1.tan x 1cosx c；2.0；3.12x2 c；4.y2dx 2xydy；三、计算题与证明题。三、计算题与证明题。（共计（共计 6060 分）分）nn1 1.1n23 33nn1nlimn1=nlim1n13n =enlimn12lim11ex1 xex1 xx0 xex1=limx0=xex1limx0 x2 =limex1exx02 limxx021

32、2 2.令ycosx1sin xycos xsinx则ycos xlnsin x21 eyecosxlnsin xecos xlnsin xcosxlnsin x1 sin xcosx1cot2x lnsin x同理ysin x12 cosxlncosx tan2xy sin xcos x1cot2x lnsin x cos xsin x1lncos x tan2x.5.0.3.Fxfxxfxxf x fx=xx2令gx xf x fx则gx xf x 0当x 0时，gx为单调递增；x 0时，gx为单调递减。Fx则当x 0时g(x)g00Fx 0当x 0时，Fx为单调递增当x 0时g(x)g0

33、0Fx 0当x 0时，Fx为单调递增故命题成立。4.令fxx x1x x2 x xn222f x 2nx x1 x2 xn则令f x 0 x0 x1 xn为驻点nf x0 2n 0 x0点为fx的极小值点x应为x1 xnn5.xsin x2dx=x1cos2x1dx=x xcos2xdx22=6.S 11211x xsin2x cos2x c448y10e1 y edy e1y012y210ey 10327.方程变形为y1y 1x11c1xdxxdx1edx c而y e=xx2初始条件：yx 2 0 c 1 y*11xx28、D*r,1 r 2,0 222223x dxdy r cosrdrd

34、cosdr dr DD*0122154高等数学高等数学专业专业学号学号姓名姓名一、判断（每小题一、判断（每小题 2 2 分，共分，共 20 20 分）分）1.f(x)在点 x0处有定义是 f(x)在点 x0处连续的必要条件.()2.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.()3.y=f(x)在 x0处可导,则 y=|f(x)|在 x0处也可导.()4.初等函数在其定义域内必连续.()5.可导函数 f(x)的极值点一定是 f(x)的驻点.()6.对任意常数 k,有kf(x)dx=kf(x)dx.()7.若 f(x)在a,b上可积,则 f(x)在a,b上有界.()8.若 f(x,y)在区域 D 上连续且

35、区域 D 关于 y 轴对称,则当 f(x,y)为关于 x 的奇函数时,f(x,y)dxdy=0.()D2x9.(y)=-2x-e 的通解中含有两个独立任意常数.()10.若 z=f(x,y)在 Po的两个偏导数都存在,则 z=f(x,y)在 P0连续.()二、填空（每空二、填空（每空 2 2 分，共分，共 2020 分）分）1.lim xsinx112 xx+sinx+()=.xxx2.函数 f(x)=x3 x在0,3上满足罗尔定理的条件,定理中的数值=.exx 03.设 f(x)=当 a=时,f(x)在 x=0 处连续.a xx 04.设 z=ex22y,则 dz|(0,0)=.5.函数 f

36、(x)=ex-x-1 在内单调增加;在内单调减少.6.函数y ax bx cx d满足条件时,这函数没有极值.7.32ddxbasin x2dx=其中 a,b 为常数.8.f(x)=1 且f(0)0,则9.若 I=f(x)dx=.10dx2f(x,y)dxdy 交换积分次序后得 .xx三、计算（每小题三、计算（每小题 5 5 分分,共共 40 40 分）分）yexlnt111.求lim(2-)；2.dt+(cost 3)dt=2,求 dy；11x0txxtgx3.求111dx；4.求3dx；5.求xe2xdx；0 x(1 x)41 x 1z2z6.设 z=ln(x+y)求,；xxy227.计算

37、 I=22.其中 D 是由圆 x+y=4 围成的区域；xdxdyD8.求微分方程-ydx+(x+y)dy=0 的通解.3四、应用题四、应用题(每题每题 7 7 分分,共共 1414 分分)1.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌 20 米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.2.求由 y=积.1,x=1,x=2 与 x 轴所围成的图形的面积及该图绕 x 轴旋转一周的旋转体的体x五、证明五、证明(本题本题 6 6 分分)证明:当 x0 时,不等式 1+1x 1 x成立.2高等数学参考答案高等数学参考答案一、判断正误（每题一、判断正误（每题 2 2 分，共分，

38、共 2020 分）分）1 ；2 ；3 ；4；5 ；6；7 ；8 ；9 ；10.二、填空题（每题二、填空题（每题 4 4 分，共分，共 2020 分）分）1.1e；2.2；3.1；4.2dx；5.0，+)，（-,0；6.b 3ac 0；1y127.0；8.x c；9.dyf(x,y)dx.0y222三、计算题与证明题（共计三、计算题与证明题（共计 6060 分）分）1 1 tan x x tan x xlimlim1.lim2x02x03x0 xxtan xx tan xx 2sec2x tan x1secx1limlim2x0 x03x6x3 2.方程两边同时对x求导得：lnexx则xe(co

39、s y3)y 0ex(cos y3)0y dy 3.xcos y 3xdxcos y 312dx dx1 xx(1 x)24、令1 x t当x 11(x)2dx2arctanx cx 1t2dx 2tdt31时t；当x 1时t 042111t12t2dt 221dtdt2原式10t 10t 1t 122t ln t 112ln 21205.0 xe2xdx 0111x(e2x)dx x(e2x)(e2x)dx022201 e2x46.014z12x222(x y)222xx yx y2z2x4xy 22y 22222xy(x y)(x y)x rcos，y rsin227.令I drcosrdr0013222cosdr dr sin r 0 00003dx1x y28.解：dyy22x eydy1(y2eydy1dy c)1 y(y2 c)21原方程的通解为：x y(y2 c)2四、四、（每题（每题 7 7 分，共分，共 1414 分）分）1.解：设长方形的长和宽分别为x和y，面积为s，则x 2y 20即x 20 2ys xy 20y 2y(y 0)2s 20 4y 0，得y 5s 4 0当长x 10M；宽y 5M 时，面积最大。五、五、（本题（本题 6 6 分）分）111 0令f(x)1x 1 xf(x)22 1 x2f(x)f(0)0即11x 1 x2